相似三角形的判定

相似三角形的判定ABCC’B’A’回憶：目前我們知道有哪些判定相似三角形的方法?AC/B/A/

CB（１）．定義法（不常用）（２）．“平行”定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。（３）．“三邊”定理：三邊成比例的兩個三角形相似.（４）．“兩邊夾角”定理：兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似.復習引入

如果兩個三角形有兩組角對應相等，它們一定相似嗎？邊邊邊SSS√邊角邊SAS√斜

邊直角邊HL角角邊AAS角邊角ASA復習引入ASA、AAS只有一組邊，能成比例嗎？猜想:ABCA/

C/

B/

已知：在△ABC和△A/B/C/

中,求證:ΔABC∽△A/B/C/

論證猜想證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A/B/,AE=A/C/，連結DE。ABCA/

C/

B/

DE∵AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ΔADE≌ΔA/B/C/（SAS）∴∠1=∠B/，又∵∠B/=∠B，∴∠1=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC?！唳/B/C/∽ΔABC已知：在△ABC和△A/B/C/

中,求證:ΔABC∽△A/B/C/

論證猜想1CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用數(shù)學符號表示：定理歸納“兩角”定理：兩個角分別對應相等的兩個三角形相似

如果兩個三角形有一個內角對應相等，那么這兩個三角形一定相似嗎？一角對應相等的兩個三角形不一定相似。探究思考已知：ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.角角AA探究新知√

“直角邊、斜邊”定理：

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。HLABC∴△ABC∽△A1B1C1.√A1B1C1在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中定理歸納用數(shù)學符號表示：例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=400，∠B=800，∠E=800，∠F=600。求證：ΔABC∽ΔDEFAFECBD證明：∵在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，∴∠C=1800－∠A－∠B=1800－400

－800

＝600∵在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600∴∠B=∠E，∠C=∠F∴ΔABC∽ΔDEF（兩角對應相等，兩三角形相似）。400

800

800

600

600

例題講解例2.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，試說明△ADE∽△EFC.

AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知）∴∠1＝∠B,∠2＝∠C（兩直線平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（兩個角分別對應相等的兩個三角形相似．）123∵EF∥AB（已知）∴∠B

＝∠3

,∴∠1

＝∠3

,∵∠1

＝∠3,∠2＝∠CABCDE例3.已知D、E分別是△ABC的邊AB,AC上的點，若∠A=35°,∠C=85°,

∠AED=60°,求證：AD·AB=AE·AC已知：如圖25-4-5，在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB，AC，BC上，且DE∥BC,DF∥AC.求證：△ADE∽△DBF.1.下面每組的兩個三角形是否相似？為什么？①②③④70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o課堂練習2、判斷題：(1)所有的直角三角形都相似.()(2)有一個銳角對應相等的兩直角三角形相似.()(3)所有的等邊三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()(5)頂角相等的兩個等腰三角形相似.()(6)有一個角相等的兩個等腰三角形相似.()×√√√√×課堂練習ABDC圖33、填一填（1）如圖3，點D在AB上，當∠

＝∠

時，△ACD∽△ABC。（2）如圖4，已知點E在AC上，若點D在AB上，則滿足條件

，就可以使△ADE與原△ABC相似。●ABCE圖4ACD

B

(或者∠

ACB＝∠

ADB)DE//BCD(或者∠

C＝∠

ADE)(或者∠

B＝∠

ADE)D課堂練習4、如圖，弦AB和CD相交于圓O內一點P，

求證：PA·PB=PC·PD證明：連接AC、BD?！摺螦和∠D都是弧CB所對的圓周角，∴∠

A=∠D。同理∠C=∠B（或∠APC＝∠DPB）?！唷鱌AC∽△PDB?！郃BCDPO·即PA·PB=PC·PDCADB5.找出圖中所有的相似三角形△ACD∽△CBD∽△ABC你能寫出對應邊的比例式嗎?常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACD試證明：6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，對角線BD⊥DC。求證：BD2＝AD·BCBDAC課堂練習相似三角形的判定方法有那些？課堂小結（１）．定義法（不常用）（２）．“平行”定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。（３）“三邊”定理：三邊成比例的兩個三角形相似.（４）“兩邊夾角”定理：兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似.（5）“兩角”定理：兩個角分別對應相等的兩個三角形相似（6）“直角邊、斜邊”定理：

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。DBCA184√2

12√2

7、如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

若AB=6AD=2則AC=BD=BC=課堂練習8、已知：如圖，在ΔABC中，AD、BE分別是BC、AC上的高，AD、BE相交于點F。（2）圖中還有與ΔAEF相似的三角形嗎？請一一寫出。（1）求證：ΔAEF∽ΔADC；DEABCF答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF課堂練習ABCDEABCDE21OCBAD常見圖形OCDABABCDE課堂小結DEABCF1、如圖,⊿ABC中,CD是邊AB上的高,且AD:CD=CD:BD,求∠C的大小.補充練習2.如圖，P是RtΔABC的斜邊BC上異于B、C的一點，