中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第20節(jié)　銳角三角函數(shù)與解直角三角形

第20節(jié)銳角三角函數(shù)與解直角三角形1．(2020·河池)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是(D)A．eq\f(5,12)B．eq\f(12,5)C．eq\f(5,13)D．eq\f(12,13)2．(2021·云南)在△ABC中，∠ABC＝90°.若AC＝100，sinA＝eq\f(3,5)，則AB的長是(D)A．eq\f(500,3)B．eq\f(503,5)C．60D．803．(2021·宜昌)如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則cos∠ABC的值為(B)A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(4,3)D．eq\f(2\r(2),3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))4．(2020·牡丹江)如圖，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝2，AB＝3，則AC的長為(B)A．eq\r(2)B．eq\f(\r(5),2)C．eq\r(5)D．25．(2021·東營)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科學(xué)計(jì)算器求AC的長，則下列按鍵順序正確的是(D)A．eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(sin)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)B．eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(cos)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)C．eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(tan)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)D．eq\x(8)eq\x(×)eq\x(tan)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))6．(2021·杭州)計(jì)算：sin30°＝eq\f(1,2)．7．(2020·黔南州)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8.連接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝eq\f(1,3)，則AD長度是10．8．(2021·無錫)一條上山直道的坡度為1∶7，沿這條直道上山，每前進(jìn)100米所上升的高度為10eq\r(2)米．9．(2021·賀州)如圖，一艘輪船離開A港沿著東北方向直線航行60eq\r(2)海里到達(dá)B處，然后改變航向，向正東方向航行20海里到達(dá)C處，求AC的距離．解：延長CB交AD于點(diǎn)D，則∠ADB＝90°，由題意可知∠DAB＝45°，∴∠ABD＝90°－∠DAB＝45°，∴∠ABD＝∠DAB，∴AD＝BD，在Rt△ABD中，∵AB＝60eq\r(2)海里，sin∠DAB＝eq\f(BD,AB)，∴AD＝BD＝AB·sin45°＝60eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝60(海里)，∵BC＝20海里，∴DC＝60＋20＝80(海里)，在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(602＋802)＝100(海里)，答：AC的距離為100海里10．(2021·上海)如圖，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝eq\f(4,5)，BF為AD邊上的中線．(1)求AC的長；(2)求tan∠FBD的值．解：(1)∵cos∠ABC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5)，BC＝8，∴AB＝10，∵AC⊥BD，在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(102－82)＝6，即AC的長為6(2)如圖，連接CF，過F點(diǎn)作BD的垂線，垂足E，∵BF為AD邊上的中線，即F為AD的中點(diǎn)，∴CF＝eq\f(1,2)AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，∵△CFD為等腰三角形，F(xiàn)E⊥CD，∴CE＝eq\f(1,2)CD＝2，在Rt△EFC中，F(xiàn)E＝eq\r(CF2－CE2)＝eq\r(13－4)＝3，∴tan∠FBD＝eq\f(FE,BE)＝eq\f(3,BC＋CE)＝eq\f(3,10)11．(2021·十堰)如圖，小明利用一個(gè)銳角是30°的三角板測操場旗桿的高度，已知他與旗桿之間的水平距離BC為15m，AB為1.5m(即小明的眼睛與地面的距離)，那么旗桿的高度是(A．(15eq\r(3)＋eq\f(3,2))mB．5eq\r(3)mC．15eq\r(3)mD．(5eq\r(3)＋eq\f(3,2))meq\o(\s\up7(),\s\do5(第11題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))12．(2021·宜賓)如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD，BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是(A)A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(\r(6),3)D．eq\f(\r(6),4)【點(diǎn)撥】把∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函數(shù)定義即可求．13．(2021·海南)如圖，△ABC的頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是(1，0)，(0，eq\r(3))，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，eq\r(3))．【點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G.只要求出AG，OG，則可求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))14．(2021·黃岡)如圖，建筑物BC上有一高為8m的旗桿AB，從D處觀測旗桿頂部A的仰角為53°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，則建筑物BC的高約為24.2m.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈【點(diǎn)撥】根據(jù)正切的定義列出關(guān)于x的方程，解方程即可．15．(2021·棗莊)2020年7月23日，我國首次火星探測“天問一號(hào)”探測器，由長征五號(hào)遙四運(yùn)載火箭在中國文昌航天發(fā)射場發(fā)射成功，正式開啟了中國的火星探測之旅．運(yùn)載火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測得AD＝4000米，仰角為30°.3秒后，火箭直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面點(diǎn)C處的雷達(dá)站測得點(diǎn)B處的仰角為45°.點(diǎn)O，C，D在同一直線上，已知點(diǎn)C，D兩處相距460米，求火箭從點(diǎn)A處到點(diǎn)B處的平均速度．(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)解：由題意，得AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝eq\f(1,2)AD＝2000米，OD＝eq\f(\r(3),2)AD＝2000eq\r(3)米，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD－CD＝(2000eq\r(3)－460)米，∴AB＝OB－OA＝2000eq\r(3)－460－2000≈1004(米)，∴火箭的速度為1004÷3≈335(米/秒)，答：火箭的速度約為335米/秒16．(2021·涼山州)王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測量河對(duì)岸大樹AB的高度，他在點(diǎn)C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走2eq\r(10)米到達(dá)斜坡上D點(diǎn)，在點(diǎn)D處測得樹頂端A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比為i＝1∶3(點(diǎn)E，C，B在同一水平線上).(1)求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度；(2)求大樹AB的高度(結(jié)果保留根號(hào)).解：(1)過點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，由題意知CD＝2eq\r(10)米，∵斜坡CF的坡比為i＝1∶3，∴eq\f(DH,CH)＝eq\f(1,3)，設(shè)DH＝x米，則CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2eq\r(10))2，∴x＝2，∴DH＝2米，CH＝6米，答：王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度為2米(2)過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BC＝a米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四