中考數(shù)學復(fù)習：專題(八)　特殊四邊形中的證明與計算

專題(八)特殊四邊形中的證明與計算1．(2021·廣安)如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD的延長線上，且BE＝DF，連接CE，CF.求證：CE＝CF.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△CDF和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CB，,∠CDF＝∠CBE，,DF＝BE，))∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴CE＝CF2．(2021·株洲)如圖所示，在矩形ABCD中，點E在線段CD上，點F在線段AB的延長線上，連接EF交線段BC于點G，連接BD，若DE＝BF＝2.(1)求證：四邊形BFED是平行四邊形；(2)若tan∠ABD＝eq\f(2,3)，求線段BG的長度．解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，又∵DE＝BF，∴四邊形BFED是平行四邊形(2)∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DB∥EF，∴∠ABD＝∠F，∴tan∠ABD＝tanF＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BG,BF)＝eq\f(2,3)，又∵BF＝2，∴BG＝eq\f(4,3)3．(2021·泰安)四邊形ABCD為矩形，E是AB延長線上的一點．(1)若AC＝EC，如圖①，求證：四邊形BECD為平行四邊形；(2)若AB＝AD，點F是AB上的點，AF＝BE，EG⊥AC于點G，如圖②，求證：△DGF是等腰直角三角形．解：(1)∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形(2)∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AB＝FE，∴FE＝AD，在△EGF和△AGD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(GE＝GA，,∠E＝∠DAG＝45°，,EF＝AD，))∴△EGF≌△AGD(SAS)，∴GF＝GD，∠DGA＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DGA＋∠AGF＝∠EGF＋∠AGF＝∠AGE＝90°，∴△DGF是等腰直角三角形4．(2021·丹東)如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接CO并延長交BA的延長線于點E，連接AC，DE.(1)求證：四邊形ACDE是平行四邊形；(2)若AB＝AC，判斷四邊形ACDE的形狀，并說明理由．解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∵點O是邊AD的中點，∴AO＝DO，在△AEO和△DCO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEO＝∠DCO，,∠AOE＝∠DOC，,AO＝DO，))∴△AEO≌△DCO(AAS)，∴AE＝CD，∵AE∥DC，∴四邊形ACDE是平行四邊形(2)四邊形ACDE是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵AB＝AC，∴CD＝AC，∴四邊形ACDE是菱形5．(2021·玉林)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，已知OA＝OC，OB＝OD，過點O作EF⊥BD，分別交AB，DC于點E，F(xiàn)，連接DE，BF.(1)求證：四邊形DEBF是菱形；(2)設(shè)AD∥EF，AD＋AB＝12，BD＝4eq\r(3)，求AF的長．解：(1)∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EBO＝∠FDO，在△BOE和△DOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBO＝∠FDO，,OB＝OD，,∠BOE＝∠DOF，))∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形DEBF是菱形(2)過點F作FG⊥AB于點G，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∵AD＋AB＝12，BD＝4eq\r(3)，∴AD2＋(4eq\r(3))2＝(12－AD)2，解得AD＝4，∴AB＝8，∴∠ABD＝30°，∵四邊形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根據(jù)勾股定理，得FG＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，在Rt△AGF中，AG＝6，根據(jù)勾股定理，得AF＝eq\r(AG2＋FG2)＝eq\r(62＋（2\r(3)）2)＝4eq\r(3)6．(2021·菏澤)在矩形ABCD中，BC＝eq\r(3)CD，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的動點，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．(1)如圖①，當EH與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；(2)如圖②，當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；(3)當AB＝5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長．解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折變換可知，∠DEF＝∠PEF，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF(2)如圖②，連接AC交EF于點O，連接PM，PO.∵AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF，∵PE＝PF，∴PO平分∠EPF，∵AD＝BC，AE＝FC，∴ED＝BF，由折疊的性質(zhì)可知ED＝EH，所以BF＝EH，∴PE－EH＝PF－BF，∴PB＝PH，∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，∴Rt△PMH≌Rt△PMB(HL)，∴PM平分∠EPF，∴點P，M，O共線，∵PO⊥EF，OE＝OF，∴點M在線段EF的垂直平分線上(3)如圖③，由題意，知點E由點A移動到AD中點的過程中，點G運動的路徑是圖中弧BC.在Rt△BCD中，tan∠CBD＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠CBD＝30°，∴∠ABO＝∠OAB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，∴點G運動的路徑的長＝eq\f(120×π×5,180)＝eq\f(10,3)π7．(2021·綏化)如圖所示，四邊形ABCD為正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延長線與CD的延長線交于點F，點D，B，H在同一條直線上．(1)求證：△CDE≌△CBH；(2)當eq\f(HB,HD)＝eq\f(1,5)時，求eq\f(FD,FC)的值；(3)當HB＝3，HG＝4時，求sin∠CFE的值．解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCB＝90°，∵∠ECH＝90°，∴∠DCB－∠BCE＝∠ECH－∠BCE，即∠DCE＝∠BCH，又CE＝CH，∴△CDE≌△CBH(SAS)(2)由(1)得：△CDE≌△CBH，∴∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CDB＝∠DBC＝45°，∴∠CDE＝∠CBH＝180°－45°＝135°，∴∠EDH＝135°－45°＝90°，∵BH∶DH＝1∶5，∴設(shè)BH＝a，則DH＝5a，∴DE＝a，在Rt△HDE中，EH＝eq\r(DE2＋DH2)＝eq\r(26)a，過點C作CM⊥EH于點M，過點D作DN⊥FH于點N，如圖①所示，則DN∥CM，∵S△DEH＝eq\f(1,2)DN·EH＝eq\f(1,2)DE·DH，∴DN·eq\r(26)a＝a·5a，解得DN＝eq\f(5\r(26),26)a，∵CE＝CH，∠ECH＝90°，∴CM＝eq\f(1,2)EH＝eq\f(\r(26),2)a，∵DN∥CM，∴△FDN∽△FCM，∴eq\f(FD,FC)＝eq\f(DN,CM)＝eq\f(\f(5\r(26),26)a,\f(\r(26),2)a)＝eq\f(5,13)(3)過點E作PE∥DH交CF于點P，過點E作EQ⊥CF于點Q，如圖②所示．∵PE∥DH，∴∠BHG＝∠PEF，∠FPE＝∠FDH＝135°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠HBG＝∠FDH＝135°，∴∠HBG＝∠EPF＝135°，∴∠EPQ＝45°，∵∠CDE＝135°，∴∠EDQ＝45°，∴△PED為等腰直角三角形，∴DE＝PE，由(1)得：△CDE≌△CBH，∴DE＝BH，∴DE＝BH＝PE＝3，在△BHG和△PEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BHG＝∠PEF，,BH＝PE，,∠HBG