2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)-幾何小：三角形綜合之解答題專項(xiàng)

2021年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)——幾何小專題:

三角形綜合之解答題專項(xiàng)

1.如圖，在中，N/C3=9(T,AC=BC,。為/C邊的中點(diǎn)，AELAB交BD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CE.

(1)尺規(guī)作圖：作N/C夕的平分線交3后于點(diǎn)尸(保留作圖痕跡)；

(2)求證：DE=DF-,

(3)探究助與。E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明結(jié)論.

2.如圖，已知點(diǎn)。到△/BC的兩邊/A/C所在直線的距離相等，且08=。。.

(1)如圖①，若點(diǎn)。在上，求證：△4BC是等腰三角形；

(2)如圖②，若點(diǎn)。在△45。內(nèi)部，求證：AB=AC;

(3)若點(diǎn)。在的外部，/3=力。還成立嗎？請(qǐng)畫圖說(shuō)明.

3.已知，如圖AD為△力4。的中線，分別以AS和/C為一邊在的外部作等腰三

角形/3E和等腰三角形ACF,KAE=AB,AF^=AC,EF,/_EAF+ABAC=180°

(1)如圖1,若N/BE=63°,NA4C=45°,求NR4。的度數(shù)；

(2)如圖1,請(qǐng)?zhí)骄烤€段即和線段40有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

(3)如圖2,設(shè)EF交AB于點(diǎn)G,交力。于點(diǎn)K,延長(zhǎng)廠GEB交于點(diǎn)M,若點(diǎn)G

為線段底的中點(diǎn)，且NA4E=70°,請(qǐng)?zhí)骄?月C歸和NC4斤的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

4.在△/3C中，。是直線3c上一點(diǎn)，以力。為一條邊在力。的右側(cè)作

使ZDAE=ZBAC,連接CH.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在B。延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，若/A4C=40°,則N/CH=,

ADCE=,BC、DC、CE之間的數(shù)量關(guān)系為;

(2)^Z.BAC=a,"CE=S.

①當(dāng)點(diǎn)。在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，a與0之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)點(diǎn)。在直線口。上(不與6,。兩點(diǎn)重合)移動(dòng)時(shí)，a與B之間有什么數(shù)量關(guān)系？

請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

(3)當(dāng)CE///B時(shí)，若△力四中最小角為15°,試探究的度數(shù)(直接寫出結(jié)

果，無(wú)需寫出求解過(guò)程).

備用圖備用圖

5.如圖①，在△ABC和△OEC中，CA=CB,CD=CE,NACB=￡DCE=Q,且點(diǎn)/

在即的延長(zhǎng)線上，連接BE.

(1)①求證：△ACg4BCE,,

②填空：乙CDE=(用含a的式子表示)；

(2)如圖②，若a=60。，利用(1)中的結(jié)論，探究線段CH,AE,BE之間的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（圖①）（圉②）

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/、B分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)C

在AS的延長(zhǎng)線上,3。=84,3。14。,8=2再。=6,且實(shí)數(shù)4,6滿足@2-44加4〃

=0.

(1)如圖1,求證：為等邊三角形；

(2)如圖2,連接。。，OD,若。。平分求NCQ4的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)后在ZM的延長(zhǎng)線上，連接OE,若。石=12,Z

COD-ZOCB=2ZAOE,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

fyfyfy

（圖1）（圖2）（圖3）

7.已知，RtA/lBC中，NZCB=90°,/Z=30°,點(diǎn)。是邊Z3上一點(diǎn)，連接C。，

且CD=AD.

(1)如圖①，求證即=8;

(2)如圖②，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn),連接。E,以。E為邊在的左側(cè)作等邊三角形

DEF,連接BF,則N。砂'的大小=(度)；

(3)如圖③，過(guò)點(diǎn)。作。尸交/。于點(diǎn)尸，點(diǎn)〃為線段力。上一點(diǎn)，連接夕河，

作NB〃Q=60°,MQ交陽(yáng)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.線段用%尸。與期之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系，并證明.

圖①圖②圖③

8.在△力和中，AB=AC,DE=DC,氤E在AB上

(1)如圖1,若NACB="CE=60。,求證：ZDAC=ZEBC-,

(2)如圖2,設(shè)/C與。E交于點(diǎn)尸.

①若N/4CB=NOCE=45°,求證：ADIICB-,

1DP

②在①的條件下，設(shè)力。與。E交于點(diǎn)P,當(dāng)tan/49￡=(時(shí)，直接寫出器的值.

ZEr

9.如圖，已知四邊形458中，NB=60°,邊AB=BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)R。同時(shí)從力、

3兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿/A口。方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的速度是每秒1皿，點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2cm,當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，P、。兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1

秒.

解答下列問(wèn)題：

(1)AP=,BP=,BQ=.(用含f的代數(shù)式表示，f<4)

(2)當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，PQ與的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在點(diǎn)尸與點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否能成為等邊三角形？若能，請(qǐng)求出t,

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

A

//\

BQT

10.已知：中，AB=AC,點(diǎn)H為BC中點(diǎn)、,連接4/7,點(diǎn)。為上一點(diǎn)，連接

8交于點(diǎn)歹，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接。E,2AFD=￡ACB+"DE.

(1)如圖1,求證：CDIDE;

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)B作/。的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接CG,DH,若BD

=DH,求證：BG+AC=CG-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)尸為CG上一點(diǎn)，CP=CA,連接7W,若NA4。

=120°,/￥7=6,乙PHB+LADF=9G°,求線段8的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,0),以線段。4為邊在第四象限內(nèi)

作等邊三角形點(diǎn)。為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn),連接BG以線段為邊

在第四象限內(nèi)作等邊三角形△C3。，連接N4并延長(zhǎng)，交，軸于點(diǎn)￡

(1)求證：XOBUXABD.

(2)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NC4。的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出NC4。的

度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以Z,E,。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

12.已知：△A8C中，4c3=90°,AC=BC.

(1)如圖1,點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線上，連AD,過(guò)3作BE上AD于E,交力。于點(diǎn)F.求

證：AD=BF-,

(2)如圖2,點(diǎn)。在線段8c上，連/。，過(guò)工作力￡1/。，且力￡=力。，連迎交

于五，連。E,問(wèn)四與。尸有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,點(diǎn)。在CB延長(zhǎng)線上，/￡:=力。且/反，力。，連接與反、力。的延長(zhǎng)線交

BE千熬M,若/C=3MC,請(qǐng)直接寫出空的值.

13.如圖，在△45。中，AB=AC,點(diǎn)〃是線段BC中點(diǎn)，/期。=30°.

(1)如圖1,若點(diǎn)。、E分別在邊/8、力。上，且“。1/B,ME]_AC.求證

ME;

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在邊ZB上，點(diǎn)Q在邊力。的延長(zhǎng)線上，且NR0Q=15O°,求

證MP=MQ;

(3)如圖3,若4l/=12cm,點(diǎn)、N,F,G分別在3GAB,/C上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)XNFG

的周長(zhǎng)最小時(shí)，指出此時(shí)點(diǎn)N的位置，并求出周長(zhǎng)的最小值.

14.【問(wèn)題提出】在中，AB=AC^BC,點(diǎn)。和點(diǎn)/在直線的同側(cè)，BD=

BC,NBAC=a,/_DBC=%,且a+B=120°,連接AD,求NAOB的度數(shù).(不必

解答)

【特例探究】小聰先從特殊問(wèn)題開始研究，當(dāng)a=90。，p=30°時(shí)，利用軸對(duì)稱知識(shí)，

以為對(duì)稱軸構(gòu)造△43。的軸對(duì)稱圖形△/由‘，連接8'(如圖2),然后利用

a=90°,3=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便可解決這個(gè)問(wèn)題.

請(qǐng)結(jié)合小聰研究問(wèn)題的過(guò)程和思路，在這種特殊情況下填空：△0’3。的形狀是

三角形；NADB的度數(shù)為.

【問(wèn)題解決】

在原問(wèn)題中，當(dāng)/。(如圖1)時(shí)，請(qǐng)計(jì)算/月。夕的度數(shù)；

【拓展應(yīng)用】在原問(wèn)題中，過(guò)點(diǎn)工作直線為交直線3。于E,其他條件不變?nèi)?/p>

BC=7,2.請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)為.

15.如圖，△力為等邊三角形，45=6,將邊ZB繞點(diǎn)Z順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6(0°<0<120°)

得到線段力。，連接CD,CD與AB交于點(diǎn)G,NA4。的平分線交CD于點(diǎn)區(qū)點(diǎn)戶

為8上一點(diǎn)，且DF=2CF.

(1)當(dāng)/區(qū)42=30°時(shí)，求N/EC的度數(shù)；

(2)當(dāng)線段B尸的長(zhǎng)取最小值時(shí)，求線段4G的長(zhǎng)；

(3)求△/年的周長(zhǎng)的最大值.

A

D

G

參考答案

1.(1)解：如圖所示，。戶是N/CB的平分線；

(2)證明：???//CB=90°,AC=BC,

.\Z.ACB=^ABC=45°,

丹是N/CB的平分線，

:.乙ACF=乙BCF=4S°,

'：AELAB,

：./_EAB=^a,

r./胡C=90°-NG4B=45°,

在△4E。和△。在D中，

"ZEAD=ZFCD

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

:.XAE牛XCFD(ASA),

：.DE=DF-,

(3)解：BD=3DE,

理由如下：由(2)可知，4AED9l\CFD、

：.AE=CF,

在△區(qū)4c和△AC8中，

'AE=CF

>ZEAC=ZFCB,

AC=CB

:.XEAC^AFCB(S4S),

：.EC=FB,AACE=Z.CBF,

■：ZECF=ZACE+ZACF=ZACE+A50,ZEFC=ZCBF+/_BCF=ZCBF+45°,

ZECF=ZEFC,

：.EF=EC=BF,

BD=3DE.

2.(1)證明：過(guò)點(diǎn)。分別作?！旯?5于E,OFJ_AC于F,

由題意知，LOEB=￡OFC=9G°,

在RtAOEB和RtAOFC中，

fOB=OC

lOEOF,

RtAOEB^Rt/^OFC(HL),

Z.ABC=/.ACB,

：.AB=AC.

(2)證明：過(guò)點(diǎn)。分別作OE1/3于E,。反L/C于居

圖②

由題意知，OE=OF.ZBEO=ZCFO=90°,

???在RtAOEB和RtAOFC中，

fOB=OC

lOE=OF，

RtAOFC(HL),

ZOBE=ZOCF,

又.03=OC,

ZOBC=zOCB,

：.AABC=/.ACB,

.'.AB—AC.

(3)解：不一定成立，當(dāng)N/的平分線所在直線與邊5。的垂直平分線重合時(shí)力8=力。,

否則/4#月。.(如示例圖)

3.(1)解：-：AE=AB,

；.2AEB=/ABE=63°,

：.^EAJB=54Q,

■：ABAC=45°,/.EAF+ABAC=\SOa,

：.ZEAB+2￡BAC+Z.FAC=1SQQ,

.?.54°+2X45°+Z/^4C=180°,

Z/^4C=36°;

(2)EF=2AD;理由如下：

延長(zhǎng)至H,使?！?力。，連接8班,如圖1所示:

為的中線，

BD=CD,

'BD=CD

在△石和△OD4中，|NBDH=NCDA,

DH=AD

：.l\BDH9XCDA(SAS),

??,HB=AC=AF,ZBHD=ZCAD,

.-.ACIIBH,

:.NABH+/BAC=180°,

Z.EAF+ABAC=180°,

ZEAF=ZABH,

，AE=AB

在△/B〃和△及1尸中，,ZEAF=ZABH,

AF=BH

:AABH9XEAF(SAS),

：.EF=AH=2AD-,

(3)ZACB-yZCAF=55°；理由如下:

由(2)得，AD=^EF,又點(diǎn)G為防中點(diǎn)，

EG=AD,

由(2)AABHqAEAF,

；.NAEG=NBAD,

'AE=AB

在和中，<ZAEG=ZBAD,

EG=AD

：.XEAG91\ABD(SAS),

：.Z.EAG=Z.ABC=70°,

■：/.EAF+ABAC=1SQ°,

Z￡>1^+2ZBAC+ACAF=180°,

即：70°+2ZS4C+ZG4F=180°,

.-.Z^C+yZG4F=55°,

：./_BAC=55°-^/.CAF,

■：ZABC+ZACB+Z5!4C=1800,

.,.Zfi4C=1800-AABC-Z^C^=180°-70°-/_ACB=\\^-Z.ACB,

.-.55°--j-ZC4F=U0°-/_ACB,

：.LACB-^LC4F=55°.

A

4.解：(1)如圖1所示：???/"!￡=NA4C,

ZDAE+ZCAD=ZBAC+/_CAD,

：.Z.BAD=ZCAE,

，AB=AC

在△氏4。和△C4E中，1/BAD=/CAE,

AD=AE

:.XBAD^XCAE〈SAS),

：./_ACE=/_B=^(180°-40°)=70°,BD=CE,

BC+DC=CE,

??,ZACD=NB+NBAC=ZACE+/_DCE,

???乙BAC=乙DCE,

??,/A4C=40°,

，/DCE=40。,

故答案為：70°;40°;BC+DC=CE;

(2)①當(dāng)點(diǎn)。在線段3。的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，a與B之間的數(shù)量關(guān)系是a=B,理由如

下：

?/ZDAE=ZBAC,

???/ZME*+NCAD=Z_BAC^/_CAD,

???ZBAD=ZCAE,

rAB=AC

在△期。和中，ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：?l\BAD^l\CAE〈SAS),

：,Z_B=LACE,

NACD=/_B+/_BAC=/_ACE+ZDCE,

:.￡BAC=(DCE,

9：Z.BAC=ayZ_DCE=^>,

「.Q=B；

②分三種情況：

(I)當(dāng)。在線段石。上時(shí)，a+p=180°,如圖2所示，理由如下：

同理可證明：△ZAC匕△/CE(S4S),

,"ADB=￡AEC,乙ABC=Z.ACE,

???/4DC+N4c歸=180°,

AADC+Z.AEC=180°,

/.ZDAE+ADCE=180°,

?「"AC=NDAE=a,乙DCE=，,

a+p=180°;

(H)當(dāng)點(diǎn)。在線段B。反向延長(zhǎng)線上時(shí)，a=p,如圖3所示，理由如下:

同理可證明：XABD^XACE〈SAS),

：./_ABD=/_ACE,

?/ZACE=ZACLh-ZDCE,ZABD=ZACLh-ZBAC,

：.乙ACA/_DCE=/_ACA/_BAC,

??./_BAC=/_DCE,

???NA4C=a,/_DCE=，,

「.Q=B；

(DI)當(dāng)點(diǎn)。在線段EC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1所示，a=p;

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)。在夕。上移動(dòng)時(shí)，Q=B或Q+B=180°;

(3)AACB=60Q,理由如下：

???當(dāng)點(diǎn)少在線段的延長(zhǎng)線上或在線段反向延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，Q=B,

即/期。=/。。區(qū)

?；CEIIAB,

/ABC="CE,

/_ABC=/_BAC,

\-AB=AC9

??.zABC=zACB="AC,

??.△ZB。是等邊三角形，

AACB=60Q;

???當(dāng)。在線段BC上時(shí)，a+p=180°,

即/A4C+/ACH=180°,

?；CEIIAJB,

：.AABC+ADCE=180°,

：./_ABC=/_BAC,

AB-AC,

??.ZABC=ZACB="AC,

???△力石。是等邊三角形，

AACB=60°;

綜上所述，當(dāng)。石//月3時(shí)，若△45。中最小角為15°,N4CE的度數(shù)為60°.

圖3

A

BCD

圖1

5.(1)①證明：

Z.ACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB,

即/48=N3CE,

在△48和中，

'CA=CB

<ZACD=ZBCE,

,CD=CE

:.XACD^ABCE<SAS);

②?：/\AC恒XBCE,

CD=CEy

??.zCDE=zCED,

*.*ZDCE=a,

(2)CE+BE=AE,

理由如下：由(1)知AD=BE,ACDE=90°-yX60°=60°,

「?CD=CE=DE,

又AEh-DE=AE,

：.BE+CE=AE.

6.解：⑴,.?a2-4aZH-4Zz2=0,

(a-2b)2=0,

.\a-2b=0,

...a=2by

:.CD=2BC,

,:BC=BA,BDA_AC9

:,CD=AC,CD=ADy

CD=AC=AD,

???△/CO為等邊三角形；

(2)在x軸上取點(diǎn)G,使OG=QD,連接。尸,

(12)

??。。平分/。。4,

??.ZCOD=ZOFD,

??,OD=OD,

.\^OCD^^OFD(S4S),

/.ZOCD=ZOFD,CD=DF,

???△Z8為等邊三角形，

CD=DAy

:,DA=DF,

ZOFD=ZDAF,

??.ZOCD=ZDAF,

?/ZO4ZHZZZ4F=180°,

/.ZOCLH-Z.OAD=180°,

,?,/。。6/04功//。。+//。。=360°,

AAOC+ADC=180°,

???N4DC=60°,

.\ZAOC=120°;

(3)在x軸的正半軸上取點(diǎn)G,使OD=OG,過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)H,

y

??,2040=120°,09平分N/OG

.\^AOD=60°,

?/OD=OG,

??.△OAG為等邊三角形，

/.OD=DG,

過(guò)點(diǎn)。作。AU/斤于M

:,AF=FM,OM=MG9

：.OA=FG,

,：XOCD^XOFD,

??.OC=OF,

??.OD=ORFG=OC+OA,

???/。。力=120°,2AOH=30°,

:./_COH=30°,

OC=2CH,

?：BC=BA,/_CBH=/_ABO,/_CHB=/_ABO.

:.△CBH9XABO(AAS),

；.CH=OA,

OC=2OA9

OD=3OA9

設(shè)N4OE=a,

ACOD=ACAD=60°,

??.ZOCB=ZODA,

,/ZCOD-ZOCB=2/_AOE,

.*.60°-/。ZM=2a,

?：AODA=180°一LDOA-Q-LE,

Z^=a+60°,

ADOE=60°+a,

???/_E=乙DOE,

/.OD=DE,

,:DE=12,

OA=4,

：.A(4,0)?

7.(1)證明：???N/CB=90°,Z?=30°,

??.NB=90。-30°=60°,

,:CD=AD,Z^=30°,

???/。。4=/力=30°,

???/38=90°-30°=60°,

??./_B=/_BCD,

BD=CD;

(2)解：?：Z.CBD=2BCD=60°,

，/BDC=60°,

???△OE廠是等邊三角形，

；.￡EDF=60°,DE=DF,

AZBDC=ZFDE,

ZBDC-ZFDC=ZFDE-ZFDC,即ZBDF=ZCDE,

在△BE＞尸和△CDE中，

'BD=CD

-ZBDF=ZCDE,

FD=ED

△BDF^△CDE{SAS),

：.￡DBF=NDCE=3G°,

故答案為：30;

(3)解：PQ=ARPM,

理由如下：如圖③，連接30，延長(zhǎng)BP至儲(chǔ)使PF=PM,連接M尸，

在Rt^4BC中，ZC=90°,/力=30°,點(diǎn)。是中點(diǎn)，DPLAB,

：.AP=BP,N4B尸=//=30°,

???ZFPM=Zy4+ZABP=300+30°=60°,

；.4PMF為等邊三角形,

；.PF=PM=MF,"=60°,

:N4PQ=90°-ZA=60°,

：.NF=/QPM=6G°,

“0。=180°-乙APQ-Z.FPM=60°,

:.￡BPQ=￡BMQ=60°,

N。=NMBF,

在△BA='和中，

'/F=NQPM

■ZMBF=ZQ,

,MF=MP

(A4S),

:.PQ=FB=BRPF,

■：AP=BP,PM=PF,

：.PQ=AP^PM.

圖③

8.(1)證明：-：AB=AC,DE=DC,/ACB=NDCE=60°,

△力CB和△。。反都是等邊三角形，

：.BC=AC,EC=DC,ZDCA=ZECB,

rAC=BC

在△Z?C4和△ECB中，＜ZDCA=ZECB,

CD=CE

：.XDCA2t\ECB〈SAS),

NDAC=ZEBC-,

(2)①證明：\AB=AC9DE=DC,AACB=ADCE=45°,

△力。石和石都是等腰直角三角形，CAB=ACDE=90°,￡ECB=^DCA,

cosZACB=cosZDCE,

.AC或即EEJD

^BC"ECBC'AC，

又，：ZECB="CA,

：,AECBSADCA,

???N6=/ZMC=45°,

ADAC=^ACJB=45°,

：.ADIICB\

②解：作EHIIAD交AC干點(diǎn)H,如圖2所示：

DPAD

貝niUI：=,

PEEH

由①中的△ECBs/\Z?C4得：器噌■啦,

?：ADAC=^B=45°=ZDEC,

.\AADE=Z_ACE9

tanZACE=tanZADE=-^-y

設(shè)AE=2m,

AR1

??.tan//CE=^=高，

AvZ

AC=4TH,

：.BE=AB-AE=AC-AE=4m-2m=2my

：,AE=BE,

BC=\p^AC=4A/2ZT2,

YEHIIAD,ADIICB9

：.EHIICB,

???石//是△SBC的中位線，

EH=^BC=^-X4-,f2m=2y]2m,

.BE2mr~

FF二如m，

.DP_AD_V2m1

"PE=EH-2V2m-'2'

D,

圖2

9.解：(1)由題意得，AP=t,BP=8-t,BQ=2t,

故答案為：f；8-t;2t-,

(2)PQLAB,

理由如下：連接力。，

?."2=60°,AB=BC,

為等邊三角形，

,??點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，BQ=BC=8cm,AP=4,

..?尸為44的中點(diǎn)，

：.PQ1AB;

(3)△8PQ能稱為等邊三角形，

??,"=60°,

.?.當(dāng)BP=3。時(shí)，能稱為等邊三角形，

此時(shí)，8-t=2t,

解得，

10.(1)證明：???43=/。，H為B。的中點(diǎn),

:./_B=LACB,AH\_BC,

??.NCWF=9(T,

???ZDEC=ZBDE+ZB,

??.ZDEC=ZBDE+ZACB,

??,ZAFD=ZACB+ZBDE,

：.AAFD=/_DEC,

?：￡CFH=/_AFD,

??.ZDEC=ZCFH,

^CFH+Z.DCE=90°,

1,ZDCE+ZDEC=90°,

?,./8E=1800-{ADCE+/_DEO=90°,

：.CD_\_DE;

(2)證明：由(1)得，ZAHB=90°,

?:BD=DH,

??.ZDBH=ZDHB,

.-.90°-ADBH=90°-Z_DHB,

：./_DAH=/_DHA,

:.DH=AD,

BD=AD,

如圖2,延長(zhǎng)GO交C4的延長(zhǎng)線于M,

■：BGIIAC,

:.乙M=乙BGD、ZDAM=ZDBG,

：./\DBG^/\DAM(AAS),

：.DG=DM,AM=BG,

由(1)知，CD'DE,

：.CG=CM,

：.CG=CM=AM+AC=BG+AC-,

(3)解：如圖3,

延長(zhǎng)GO交。1的延長(zhǎng)線于M,連接/尸交CD于Q,連接BP交DG于N,連接DP,

延長(zhǎng)PH交CD于K,連接AK,在。。上取一點(diǎn)R,使DR=HK,

由(2)知，ZDAM=ZDBG,BD=AD,

■：CP=CA,

：.CD\_AP,8平分Z尸，

:,AD=DP,NCQ尸=90°,

,:BD=AD=DP,

：.ZDBP=ZDPB,ZDPA=ZDAP,

?/ZABP^ZAPB+ZBAP=1800,

/.ZDBP^/_DPB+/_DPA^/_DAP=180°,

??.ZAPB=90°,

:./_CQP=/_APB,

：.CD\\PB.

/.ZHBP=ZHCK,乙HPB=LHKC,

,:BH=CH,

MXHKSXHPB(AAS),

:.HK=PH=6,CK=PB,

：,PK=PH+HK=6+6=12,

???點(diǎn)K在CD上,

.\AK=PK=12,

?：￡AHK+/PHB=\8G-AAHB=90°,

,:ZPHB+￡ADF=9G°,

??.Z.AHK=AADF,

'：AD=AH9DR=HK,

:.RADR^XAHK〈SAS),

：,AR=AK,/_DAR=/_HAK,

:.QR=QK,ZDAR+/_RAF=ZHAK+Z.RAF,

ZDAF=ZRAK,

ABAC=120°,AB=AC9AH_LBC,

??.NZMF=//期。=60。,

??.△NKR是等邊三角形，

.?.M?=4f=12,

-：AP_\_CD,

.?.&0=/A7?=6,

DQ=DR+RQ=6+6=12,

?.28G=90°,

??.ZCDE=ZCQP,

：.MGIIAP,

，/APB+/DNP=180°,

：.ADNP=9G°,

YBD=DP,

；.BN=NP,

??,MGHAP,

??.ZNDP=ZQPD,

?：/_DNP=/_CQP=)S,DP=DP,

:.XND蜂XQPD(AAS),

：,DQ=PN=\2,

:.PB=2PN=2DQ=24,

:,CK=PB=24,

??.CD=DR+KR+CK=6+12+24=42,

即線段8的長(zhǎng)為42.

M

八

圖3

圖2

ii.解：(1)???△/oe,△。加都是等邊三角形，

OB=AByCB=DJB,ZABO=Z_DBCy

:./_OBC=/_ABC,

在△OBC和中，

'OB=AB

Z0BC=ZABC,

,CB=DB

:./\OBC^^ABD(S/1S)；

(2)點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NC4。的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由如下:

是等邊三角形，

.?./504=/043=60°,

,：XOBSlxABD,

/期。=/口。。=60°,

ZO4Z?=180°-/OAB-/BAD=60°;

(3)-：AOBC^AABD,

；."OC=/BAD=60°,

又?.,NQ4B=60°,

CME=180°-60°-60°=60°,

ZEAC=120°,NOEA=30°,

.?.以/,E,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，力E和是腰，

?.?在RtZ\/OE中，OA=1,NOEA=30°,

'.AE=r2,

\AC—AE=2,

OC=1+2=3,

???當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,0)時(shí)，以E,。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

12.(1)證明：如圖1中，

YBE1AD于E,

：,Z.AEF=/_BCF=3D°,

,:乙AFE=/_CFB,

；?Z_DAC=/_CBF,

?;BC=CA,

；.BF=AD.

(2)結(jié)論：BD=2CF.

理由：如圖2中，作石于H

?/ZAHE=ZACD=ZDAE=90°,

???NZZ4C+N400=90。,/_DAC+/_EAH=90°,

:.乙DAC=(AEH,???AD=AE,

:.XACD^XEHA,

：.CD=AH,EH=AC=BC9

,:CB=CA,

???BD=CH,

VZEHF=ZJBCF=90°,ZEFH=ZBFC,EH=BC,

:.XEHF^XBCF、

:.FH=CF,

：,BD=CH=2CF.

(3)如圖3中，同法可證m=2C〃.

-：AC=3CM,設(shè)CM=a,則ZC=CS=3a,BD=2a,

?DB=2a_=2

,?而一石-T

13.證明：(1)...ZB=4GM是中點(diǎn)，

是NA4O的角平分線，

'：MDAB,MEIAC,

：.ME=MD,

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)〃作MELACTE,作MDJ_AB于D,則ZMDP=ZMEQ=90°,

ED

C

MB

O

圖2

由(1)知：ME=MD,

?：APMQ=150°,/840=30°,

AZBAC+APMQ=180°,

???/力必什N0=180°,

'：Z.APM+/_DPM=180°,

???ZDPM=ZQ,

:.XMDP^XMEQ(AAS),

：.MP=MQ;

(3)如圖3,作點(diǎn)N關(guān)于SC的對(duì)稱點(diǎn)N,點(diǎn)N關(guān)于ZB的對(duì)稱點(diǎn)抽，連接“抽交

ZC于F,交4S于G,連接4佻，ANz,AN,

圖3

由對(duì)稱得：AN=ANi=AN?,乙CAN=々CAN】,/_BAN=/_BAN?,

,.284。=30°,

：.ANxAN2=60°,

抽是等邊三角形,

:.AN[=N[N2,

■：FN=FNX,GN=GN2,

：.4NFG的周長(zhǎng)=FN+GN+FG=FNX+FG+GN2,

?.?點(diǎn)MF,G分別在BGAB,/C上運(yùn)動(dòng)，

，當(dāng)FN>FG,G叫共線時(shí)，△TVRG的周長(zhǎng)最小，

.,.△NRG的周長(zhǎng)的最小值是“、的長(zhǎng)，即當(dāng)“、最小時(shí)，△7VFG的周長(zhǎng)最小,

,:N\N?=AN,

當(dāng)時(shí)，/N最小，此時(shí)N與"重合,

-：AM=12,

二△八獷G的周長(zhǎng)的最小值是12.

14.解：【特例探究】①如圖2中，作N/B?！?/_ABD,BD'=BD,連接8',47',

?：AB=AC,NA4C=90°,

/45。=45°,

?；"BC=30°,

：.ZABD=ZABC-ZDBC=15°,

，AB=AB

在△/BZ?和△/B?！校?，ZABD=ZABD/

BD=BD'

：.AABD=AABD'=15°,/_ADB=/_AD'B,

zD'BC=AABD'+AABC=60a,

■：BD=BD',BD=BC,

：.BD'=BC,

.?.△O'是等邊三角形，

②???△O'BC是等邊三角形，

：.D'B=D'C,乙BD'C=60°,

，AD，二AD，

在8和△力。'。中，(D'B=D'C,

AB=AC

:.^AD'B^/\AD'C,

：./_AD'B=ZAD'C,

：./_AD'ZBD'C=30°,

：.￡ADB=30a.

故答案為：等邊，30°;

【問(wèn)題解決】解：NDBC<ZABC,

.,.60°<a<120°,

如圖3中，作NAB。'=￡ABD,BD'=BD,連接8',AD',

D'

圖3

■：AB=AC,

：.AABC=/_ACB,

?：/_BAC=a.,

：.AABC=^(180°-a)=90°--^-a,

ZABD=ZABC-ZDBC=900-^a-p,

同（1）①可證，

：.AABD=ABD'=90°-石a-0,BD=BD',/_ADB=/_AD'B

：.ZD'BC=/_ABD'+/ABC=90°--^-a-p+90°--1-a=180o-（a+p）,

???a+p=120°,

ZD'30=60°,

由（1）②可知，XAD'B^