四邊形的難題

矩形例1已知：如圖4-26所示，AABC中，AB二AC,ZBAC=90°,D為BC的中點，P為BC的延長線上一點，PE丄直線AB于點E,PF丄直線AC于點F.求證：DE丄DF并且相等.分析如圖4-26，由已知AD丄CD并且相等，而求證是DE丄DF并且相等，所以應該有△ADE^^CDF.反之，如果證明了這兩個三角形全等，問題也就解決了.在厶ADE和ACDF中，只要證明了AD=CD，AE=CF及ZEAD=ZFCD就可以了.但這三個相等關系都容易證明.證明如圖4-26所示,AD=CD.由已知條件可知AEPF為矩形，所以AE=PF.而由于ZPCF=45°，ZCPF=45°，所以ZPCF=ZCPF，所以PF=CF，這就有AE=CF.最后ZEAD=135°=ZFCD，所以AADE空ACDF.于是ZEDF=ZADC=90°，從而有DE丄DF并且相等.例2已知：如圖4-27,ABCD為矩形，CE丄BD于點E，ZBAD的平分線與直線CE相交于點F.求證：CA=CF.分析一如圖4-27所示，由于CA，CF是ACAF的兩邊，因此要證明CA=CF,可試證ZCFA=ZCAF.由于CF丄BD，因此作AG丄BD于點G，則AG〃CF，從而ZCFA=ZFAG.于是問題轉化為證明ZFAG=ZCAF.但已知AF是ZBAD的平分線，因此問題又轉化為證明ZBAG=ZCAD.但證明這兩個角相等不會有什么困難了.證法一如圖4-27所示，作AG丄BD于點G,ZBAG與ZABD互余，ZCAD二ZADB與ZABD互余，所以ZCAD-ZBAG.而AF平分ZBAD，所以ZCAF=ZFAG.由于AG〃CF，所以ZCFA=ZFAG，從而ZCFA=ZCAF.所以CA=CF．分析二證明ZCFA=ZCAF還可以考慮用計算的方法進行.設ZCAD=ZBDA=a，則ZACE=90°-ZC0D=90°-2a.而ZCAF=ZDAF-ZCAD=45所以ZCFA=45°-a從而ZCFA=ZCAF.問題解決了．證明從略．4菱形例1已知：如圖4-44所示，ABCD為菱形，通過它的對角線的交點O作AB，BC的垂線，與AB，BC，CD，AD分別相交于點E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH為矩形．分析證明四邊形EFGH為矩形有幾個方法.而已知EFGH的對角線都通過AC,BD的交點O并且各垂直于菱形的兩組對邊，所以考慮通過EFGH的對角線的關系證明EFGH為矩形.由于0E丄AB,0H丄AD,所以立即看出OE=OH.這樣EFGH明顯是矩形了.證明如圖4-44所示，由于OA平分ZA,并且OE丄AB,OH丄AD，由角平分線的性質知道OE=OH.同理，OE=OF,OF=OG,OG=OH.所以EFGH的對角線EG,FH互相平分并且相等，所以EFGH為矩形.例2已知：如圖4-45所示，五邊形ABCED中，AB=BC=CE=ED=DA，并且ZCED=2ZAEB.求證：四邊形ABCD為菱形.分析在四邊形ABCD中，已知AB=BC=AD，因此只要證明ABCD是平行四邊形就可以了.在ABCD中，已知AD=BC,因此只要證明了AD〃BC問題就解決了.由于ZCED=2ZAEB，從而在ZAEB內部作射線EF,使ZAEF二ZAED,同時也就有ZBEF=ZBEC.而由于ED=DA，所以ZEAD=ZAED,從而ZAEF=ZEAD，這就有AD〃EF.至此，問題已經解決了.證明如圖4-45所示，由于ZCED=2ZAEB,所以ZAEB=ZAED+ZBEC.因此可在ZAEB內部作射線EF,使ZAEF=ZAED,ZBEF=ZBEC.而由于ED=DA,所以ZAED=ZEAD.從而ZAEF=ZEAD.這樣AD〃EF.同理BC〃EF,從而AD〃BC.既然AD〃BC，又已知AD=BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形.而AB=BC,所以ABCD為菱形.§5正方形例1已知：如圖4-55所示，是正方形ABCD內一點，且ZEAB=ZEBA=15°.求證：ACDE為等邊三角形.分析一在厶CDE中，顯然CE=DE,所以只要證明了CD=DE問題就解決了.但直接證明CD=DE有困難，因此可改證DA=DE.DA,DE是ADAE的兩條邊，因此可證明ZDEA=ZDAE?而證明這兩個角相等也有困難，所以考慮加輔助線利用全等三角形證明.由于ZADE應該是30°，而ZDAE=75°，所以在厶DAE內取點F，使ZFDA=ZFAD=15°，這就容易證明厶FDA空△FDE,問題得到解決.證法一如圖4-55A.，在厶DAE內部取點F,使ZFDA=ZFAD=15°，連結線段EF-在厶AEF中，ZFAE=60°,AE=AF（為什么？），所以△AEF為等邊三角形，所以AF=EF.又ZAFD=150°,ZEFD=360°-ZEFA-ZAFD=360°-60°-150°=150°，從而ZAFD=ZEFD.在AFDA和AFDE中，F(xiàn)D二FD,AF=EF,ZAFD=ZEFD，所以△FDA^^FDE.從而DA=DE.于是DE=DA=CD,同理CE=CD,所以△CDE為等邊三角形.分析二本例也可以用一種間接的方法證明.如圖4-55B.，先在正方形內作一等邊三角形CDE',只要證明了ACDE和厶CDE'重合就可以了.而要證這兩個三角形重合，只需證明E與E'重合，要證明這兩個點重合，只需證明射線AE與射線AEZ重合，射線BE與射線BE'重合，要證明這兩組射線分別重合，只需證明ZBAEZ=ZABEZ=15°.但這很容易.證法二如圖4-55B.,在正方形ABCD內作等邊三角形CDE',連結線段AE',BE'.在厶DAE'中，ZE，DA=90°-60°=30XDA=DE7,所以ZDAE7=j(180°-30°)=75°,從而Z：BAE'=90°-75°=15°，從而射線AE與射線AE'重合.同理，射線BE與射線BE'重合，于是E與E'重合.這樣，ACDE與厶CDE'重合，所以△CDE是等邊三角形.點評證法二的方法如下：當要證明某個圖形具有某種性質而又不易直接證明時，可先作出具有該性質的圖形，然后證明所作的圖形與原圖形重合，即是同一圖形.因而原圖形具有該性質.這種間接的證明方法叫做同一法.例2已知：如圖4-56A.，直線l通過正方形ABCD的頂點D平行于對角線AC，E為l上一點，EC=AC，并且EC與邊AD相交于點F.求證：AE=AF.分析如圖4-56A.，AE，AF是厶AEF的兩邊，因此要證明AE=AF，可考慮證明ZAEF=ZAFE.由已知條件EC=AC，如果求出ZACE的大小顯然問題就解決了.在初等幾何中見到的特殊角常是30°，45°，60°的角.從直觀上看，ZACE可能是30°角.作EH丄AC于點H.如杲發(fā)現(xiàn)EH二|eC,我們的猜想就是對的.由于1//AC,所以l上每個點到AC上引的垂線段都相等，所以EHS于對角線ED的一半DO,即EH=|eC,從而ZACE=30°，問題得到解決.證明如圖4-56，作DO丄AC于點0，作EH丄AC于點H，貝UEH=DO=|aC=|eC,ly^ZACE=30°.在厶ACE中，ZACE=30°，EC=AC，所以ZCEA=75°，ZCAE=75°.而ZCAD=45°，所以ZEAF=30°，所以ZAFE=75°.這樣，ZAEF二ZAFE(=75°),從而AE=AF.

點評本例中，點E與A位于BD同側.如圖4-56B.，點E與A位于BD異側，直線EC與DA的延長線交于點F,這時仍有AE=AF.請讀者自己證明.例3已知：如圖4-57,E,F分別是正方形ABCD的邊BC,CD上的一點,并且ZEAF=45°.求證：AAEF的高線AH=AB.AD圖AD圖4—57分析如圖4-57,AH,AB分別是△AHE和AABE的邊，這兩個三角形應該全等.證明了它們全等，也就證明了AH=AB.這兩個三角形都是直角三角形，并且有一條公共邊，證明它們全等還缺少一個條件.應注意ZEAF=45°恰是直角的一半，所以ZFAD+ZBAE=45。是直角的一半.如果把AFAD繞頂點A旋轉90°到△KAB的位置，那么新得到的AAEK和AAEF就各有一個45°角，很容易證明這兩個三角形全等，進一步就有△AHE^AABE，問題得到解決.證明如圖4-57，延長CB到K,令BK=DF.連結線段AK,則AABK^AADF,所以ZBAK=ZDAF,從而ZEAK=ZEAB+ZBAK=45°=ZEAF.在AEAF和AEAK中，AE=AE,AF=AK,ZEAF=ZEAK,所以△EAF^AEAK,所以ZAEF=ZAEK.在△人円已和厶ABE中，ZAEH二ZAEB,ZEHA二ZEBA二直角，AE為公共邊，所以厶AHE^^ABE,從而AH=AB.6.判定正方形為什么不強調判定定理？答：在“四邊形”這一章里，順次學習了平行四邊形、矩形、菱形的性質、判定定理，可是學到正方形時，書上就只有性質定理，而沒有判定定理了.是遺漏了嗎？不！這是因為正方形的判定方法有多種多樣.先看看正方形與其他四邊形的關系：邊邊形亠.'.:正邊邊形亠.'.:正要判定正方形，可以從平行四邊形出發(fā)，證一組鄰邊相等且夾角為90°；可以從矩形出發(fā)，證一組鄰邊相等；可以從菱形出發(fā)，證一角為直角等等；或者干脆從定義出發(fā)，都可進行判定．只要搞清它們之間的關系，看清題目中的條件，就不會感到束手無策．例1已知：正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH．求證：四邊形EFGH是正方形．分析：這個圖形是一種旋轉型的圖形，有四個直角三角形．如果能證出其中兩個全等，那么就能證得周邊四個直角三角形全等，從而證得四邊形EFGH的四條邊相等，且各個角是直角，即能得到結論．（證明略）例2求證：矩形各內角平分線（對角的平分線不在一直線上）所圍成的四邊形EFGH是正方形.分析：四邊形ABCD是矩形，每個內角是90°，加上內角平分線的條件，可以得到Z1=Z2=……=Z8=45°，那么容易得到ZH、ZF、ZHEF和ZHGF是90°，四邊形EFGH已經是矩形了.所以這題證明的最好方法是從證矩形出發(fā)再證一組鄰邊相等，即可證得結論.（證明略）例3已知：在四邊形ABCD中，AC=BD，AC丄BD，E、F、G、H分別是各邊中點.求證：四邊形E