序列的收斂性與子序列的收斂性

序列的收斂性與子序列的收斂性摘要:本文研究序列的收斂性與子序列的收斂性之間的關系情況，分析和推導Bolzano-Welerstrass定理和一些結論，得出序列和子序列的收斂的幾種判定方法并應用于控制收斂定理的一個重要推廣，這對于我們進一步了解序列與子序列之間的關系有著一定的意義。關鍵詞：序列；子序列；收斂；極限1引言在數(shù)學分析里，對于序列的研究主要是極限問題，但沒有較系統(tǒng)地討論序列的收斂性與子序列的收斂性的關系;本文主要分析序列與子序列之間的關系，從中得出一些定理和結論，這對于我們對序列收斂性判定和研究序列與子序列間的關系具有很大的幫助。2序列和子序列的定義及其相互關系2.1序列和子序列的定義定義：若函數(shù)f的定義域為整個全體正整數(shù)集合N+，則稱f:NtR或f(n),neN為序列。因為正整數(shù)集合N+的元素可按照由大到小的順序排列，故序列f(n)也可以寫為a1，a2，"3，?"4,n十"，或者簡單地記為｛a｝，其中a稱為該序列的通項。序列可分為有界序列，無界序列，單調序列，常序列或周期序列等。從序列｛a｝中將其項抽出無窮多項來，n按照它們在原來序列中的順序排成一列：a，a，…，a，…又得一個新nin2 nk的序列｛an｝，稱為原來序列的子序列。易見｛an｝中的第k項是｛aj中的第nk項，所以總有七＞k，事實上｛aj本身也是｛aj的一個子序列，且是一個最大的子序列(n"時)。

2.2序列與子序列之間的若干關系定理1(Bolzano-Welerstrass):若序列｛。｝有界，則必存在收斂子序列nb｝，若序列｛a｝無界，則必存在子序列b｝，使a*(或aT—s).nk n nk nk nk證明：(1)不妨設｛a｝中有無限多個不同的項，否則結論顯然成立.用有限n覆蓋定理(見注釋①)來證明結論.設序列｛a｝為一有界序列，則存在m,M，使nm<a<M(n=1,2,...)下面先證明在［m,M］中存在一點c，使該點任一鄰域內有｛a｝中的無窮多n項.用反證法，若此斷言不成立，則對任意ae［mM都存在一鄰域(a-%a+々)，5盧0在此鄰域內它有｛an)中的有限項，A=｛(a—5,a+5),ae［m,M］｝構成［m,M］的一開區(qū)間覆蓋.由有限覆蓋定理，存在有限子覆蓋，即存在a*存在有限子覆蓋，即存在a*(j=1,2,...,k)，使

j[m,M]uU(a*—5 〃*工5)j=1依反證假設，*j a*j中至多含有｛a｝的有限項與

nm<a<M1=,2.)矛盾.n據(jù)以上證明，存在a據(jù)以上證明，存在ae(c—1,c+1)，一」1 1、，…一，，又在c—-,c+-中，存在一項a使"2 2) n否則與c的任何鄰域中有｛a｝的無窮項矛盾，同樣我們可以在n(1 1、…一.一 」1 1、…一一c--,c+-中找到一項a，使n>n>...在c-一,c+-中找到一項a使"3 3) n3 3 2 "kk) nknk>nk1>...，最終得到一個序列bn｝滿足:(i) ｛a｝是｛a｝的子序列nk n

(ii)a(ii)ank于是，由（i）和（ii）知，ak是an的收斂子序列.（2）另外對于無界序列｛a｝，則可以利用序列無界定義，類似（1）后面一部分n可以證明出存在子序列｛a｝—8.例1：對于有界序列n｛一*例1：對于有界序列n｛一*｝，它存在子序列113攵斂于1，當一.例2：對于無界序列｛n｝，它的一切子序列都發(fā)散到+8.以上是關于序列與其子序列在序列有界和無界的情況下進行的關系探討，進｛a｛a｝為｛a｝的一個子序列，且有a—a，定理2：若｛a｝為單調有界序列n（k—8）則有(n—8).證明：由于｛證明：由于｛a｝是單調有界序列，n可根據(jù)序列單調有界定理（見注釋②）知道，｛a｝收斂，而lima存在，現(xiàn)假設記為b，即lna=b，由定義，對Vsn n—8n n—8n使當n>氣時候，有由于｛由于｛a｝是｛a｝的子序列，且nk na-b<2，且a—a(k—8)，故對上述s>0使當nk>k>N2時，就有a又取N=又取N=max｛N,N｝，當k>N時，就有nk>N2，于是有:a<S+-<S+-=s22|b一a|=b一a+a即有a=b成立，所以lima=a成立.X—8例3設序列a=寸2+ +寸2,｛a2J為｛a｝的一個子序列且有a—2,（kT3）,則有a—2（n—3）.3序列與子序列的三個定理定理3：序列｛七｝收斂于a的充要條件是它的任何子序列匕〃｝也都收斂于同一個極限a?證明：依題意，設lim氣=a,'〃｝為｛%｝的一個子序列，于是對于任給的n—3 nk ng>0，存在N，使得n〉N當時就有|氣-a|<e，因為｝是｛七｝的子序列，故有nk>k，所以當k>N時，nk>N,從而有：x一a<￡nk按照序列極限定義知limx=a,即｛x｝收斂且與｛x｝的極限相同.n—3 nk n反之若序列｛x｝的任一子序列都收斂，且有相同的極限a，因為｛x｝本身為nn自己的一個子序列，所以有l(wèi)imx=a.n—3定理4：序列｛an）收斂的充要條件是奇子序列｛a2k1）與偶子序列｛a2J都收斂，且它們的極限相等.證明：根據(jù)定理3,序列｛aj的奇子序列｛a2k1）與偶子序列｛a2J，且它們的極限相等.設lima=lima=a.根據(jù)序列極限的定義，即k—32k-1 k—32kpk1eN,V2k-1>k1,有|a21-a\<￡.'BkeN,V2k>k,有l(wèi)a-a|<￡.12 212k 1BN=max{k,k).于是，Vn>N，有a-a<￡，艮口 lima=a. （證畢）n—3n定理5：若序列｛xj收斂于a的充要條件是｛xj的任一子序列%”）中必有子

序列｛［使得x—a(kT3).nk nk證明：由定理3我們可以知道：若序列｛氣｝收斂于a，則它的任何子序列七｝也都收斂于同一個極限a，由題意必要性得證.nknk已知序列｛x｝的任一子序列匕｝中必有子序列｛｝使得x-—a(k-—3>)，n nknk則由定理3有x—a(k—3).nk用反證法，假設limx用反證法，假設limx。ax—3則必然存在e0>0對于任意自然數(shù)N，都有n0>0時，有x-a>&當N-1時，n>1，使x一a>e1 n1 0xn2當N-nk1時，由此可以得到｛x｝的一個子序列k｝，它的每一項xn都滿足故｛xn｝不收斂于a，且bn｝中不存在收斂于a的子序列，這與已知矛盾，因此limx-a成立。n—34序列與子序列定理的應用4.1定理3的應用利用定理3,可以用來判定一個序列不收斂的情況.即若對一個序列｛a｝，n可以找到兩個不可能有相同極限的子序列｛a,｝和｛a,,扁有｛aj必發(fā)散。nk nk例4證明｛sinn｝發(fā)散。證明：因下述兩區(qū)間長度均大于1，故必存在自然數(shù)n和n"滿足:

氣E2kn+4,2kn+~r,n"&I"(2k+1)兀,(氣E2kn+4,2kn+~rkL 一顯然n<n<...，及n”<n”<...,且sinn'>^-，sinn"<0，因此，｛inn'｝和1 2 1 2 k2 k k｛sinn｝是兩個不可能有相同極限的子序列，這證明了｛sinn｝發(fā)散.k4.2定理5的應用應用定理5,可以判斷一個序列收斂。例5(控制收斂定理的推廣)n,n>1,jg(x)dF(x)<3且n,n>1,jg(x)dF(x)<3且f(x)—np^f(x),則有n- RIf(x)|<g(x)nlimf(x)dF(x)=jf(x)dF(x)成立.nT3nR R引理1：設(f)及f均為實值可測函數(shù)，且fn—Pf,(nT3)則存在子序列(fn)，使f——a—f,(nT3).引理2(控制收斂定理):設X為一隨機變量，其分布函數(shù)為F(x),若隨機n>1,jg(x)dF(xn>1,jg(x)dF(x)<3，且f(x)——Tf(x),則有l(wèi)imjf(x)dF(x)=jf(x)dF(x).(見注釋③)nT3nR R .I證明：由f(x)——Tf(x)知，對｛f｝的任一子序列｛｝均有由引理1,必存在｛f｝的子序列｛f｝,使得k|f(x)|<g(x),f(x)—p——f)x.nfn(x)—Tf(x).于是用引理2就有l(wèi)imjf(x^dF(x)=ff(x^dF(x).ksnkRR由于子序列"｝的任意性，上式說明：序列"f(x)dF｝］的任一子序列〃’ IR"Jjf,G)dF(x)｝均收斂于jf(x)dF(x)，故由定理5知:rn 」 Rlimjf(x)dF(x)=jf(x)dF(x).ns"R R證畢.參考文