廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期第二次大測數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期第二次大測數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．等差數(shù)列中，若，則的值是（）A．14 B．15 C．16 D．173．在一次運(yùn)動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（

）種A． B． C． D．4．將字母a,a,b,b,c,c,排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有A．12種 B．18種 C．24種 D．36種5．將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是（

）．A．420 B．180 C．64 D．256．函數(shù)的最小值為（

）A． B． C．-1 D．07．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同排課順序共有A．種 B．種 C．種 D．種8．將數(shù)列中的各項依次按第一個括號1個數(shù)，第二個括號2個數(shù)，第三個括號4個數(shù)，第四個括號8個數(shù)，第五個括號16個數(shù)，…，進(jìn)行排列：（1），（3，5）（7，9，11，13），（15，17，19，21，23，25，27，29），…，則以下結(jié)論中錯誤的是（

）A．第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為1023 B．2021在第11個括號內(nèi)C．前10個括號內(nèi)一共有1023個數(shù) D．第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和評卷人得分二、多選題9．下列等式中，成立的有（

）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（

）A． B．為的最小值C． D．11．甲、某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i（，2，…，6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．某人拋擲n次骰子后棋子恰好又回到點A處，則（

）A．若時，則共有3種不同走法 B．若時，則共有5種不同走法C．若時，則共有25種不同走法 D．若時，則共有27種不同走法12．已知函數(shù)的定義域為，則（

）A．為奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．恰有4個極大值點D．有且僅有4個極值點第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．設(shè)數(shù)列中，，則通項___________．14．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)有___________個.15．若直線是曲線的切線，則________．評卷人得分四、雙空題16．如圖，用四種不同的顏色給三棱柱的六個頂點涂色，要求每個點涂一種顏色．若每個底面的頂點涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有________種；若每條棱的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有________種．評卷人得分五、解答題17．已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.18．一場小型晚會有個唱歌節(jié)目和個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．（1）個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（3）前個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？19．已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．20．如圖，在以P，A，B，C，D為頂點的五面體中，平面ABCD為等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.(1)求證：△PAD為直角三角形；(2)若，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.21．已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點：等比數(shù)列2．C【解析】【分析】先由等差數(shù)列的性質(zhì)得，再用性質(zhì)求解【詳解】解：依題意，由，得，即所以故選C【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的等差中項進(jìn)行化簡求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)3．C【解析】【分析】利用分步乘法原理求解.【詳解】由題意四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種．故A，B，D錯誤.故選：C．4．A【解析】【詳解】【思路點撥】先排第一列三個位置,再排第二列第一行上的元素,則其余元素就可以確定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1種不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1種排法,因此共有3×2×1×2=12(種)不同的方法.5．B【解析】【分析】由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，討論A，D同色和異色，根據(jù)乘法原理可得結(jié)論．【詳解】由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行區(qū)域有5種涂法，有4種涂法，，不同色，有3種，有2種涂法，有種，，同色，有1種涂法，有3種涂法，有種，共有180種不同的涂色方案．故選：B．【點睛】本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是分步和分類的方法選取，屬于中等題.6．C【解析】【分析】根據(jù)題意得到為偶函數(shù)，由時，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且滿足，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，可得，在單調(diào)遞增，又由為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.故選：C.7．A【解析】【分析】該題屬于有限制條件的排列問題，在解題的過程中，需要分情況討論，因為“數(shù)”必須排在前三節(jié)，這個就是不動的，就剩下了五個不同的元素，所以需要對“數(shù)”的位置分三種情況，對于相鄰元素應(yīng)用捆綁法來解決即可.【詳解】當(dāng)“數(shù)”排在第一節(jié)時有排法；當(dāng)“數(shù)”排在第二節(jié)時有種排法；當(dāng)“數(shù)”排在第三節(jié)時，當(dāng)“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有種排法，當(dāng)“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)的時候有種排法，所以滿足條件的共有種排法，故選：A.【點睛】在解決問題時一是注意對“數(shù)”的位置分三種情況，二是在“數(shù)”排在第三節(jié)時，要對兩個相鄰元素的位置分類討論，再者還要注意“數(shù)”排在第二節(jié)時，兩個相鄰元只能排在后四節(jié).8．B【解析】【分析】先判斷出第n個括號有個數(shù)，求出前9個括號共有511個數(shù)，則第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列的第512項，即可判斷A選項；由等比數(shù)列求和公式即可判斷C選項；結(jié)合A、C選項即可判斷B選項；由等差數(shù)列求和公式即可判斷D選項.【詳解】由題意，第n個括號有個數(shù)，前9個括號內(nèi)共有個數(shù)，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列的第512項，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為，故A正確：前10個括號內(nèi)共有個數(shù)，故C正確：令，得，所以2021為數(shù)列的第1011項，由上面選項A、C分析可得，2021在第10個括號內(nèi)，故B錯誤；因為第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為，最后一個數(shù)為，所以第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和，故D正確．故選：B．9．ACD【解析】【分析】利用排列數(shù)公式逐項計算、驗證并判斷作答.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，而，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D正確.故選：ACD10．AC【解析】利用和與項的關(guān)系，分和分別求得數(shù)列的通項公式，檢驗合并即可判定A;根據(jù)數(shù)列的項的正負(fù)情況可以否定B;根據(jù)前16項都是正值可計算判定C;注意到可計算后否定D.【詳解】,,對于也成立，所以，故A正確；當(dāng)時，,當(dāng)n=17時,當(dāng)時，,只有最大值，沒有最小值，故B錯誤；因為當(dāng)時，,∴，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查數(shù)列的和與項的關(guān)系，數(shù)列的和的最值性質(zhì)，絕對值數(shù)列的求和問題，屬小綜合題.和與項的關(guān)系,若數(shù)列的前項為正值，往后都是小于等于零，則當(dāng)時有，若數(shù)列的前項為負(fù)值，往后都是大于或等于零，則當(dāng)時有.若數(shù)列的前面一些項是非負(fù)，后面的項為負(fù)值，則前項和只有最大值，沒有最小值，若數(shù)列的前面一些項是非正，后面的項為正值，則前項和只有最小值，沒有最大值.11．BD【解析】【分析】當(dāng)時，骰子的點數(shù)之和是，列舉出點數(shù)中兩個數(shù)字能夠使得和為的情況，即可判斷A、B，若時，三次骰子的點數(shù)之和是，，列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為，的情況，再按照分類分步計數(shù)原理計算可得.【詳解】解：由題意知正方形（邊長為2個單位）的周長是．當(dāng)時，骰子的點數(shù)之和是，列舉出在點數(shù)中兩個數(shù)字能夠使得和為的有，，共種組合，拋擲骰子是有序的，所以共種結(jié)果，故A錯誤，B正確；若時，三次骰子的點數(shù)之和是，，列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為，的有，，，，，，共有種組合，前種組合，，每種情況可以排列出種結(jié)果，共有種結(jié)果，其中，，，，各有種結(jié)果，共有種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種結(jié)果．故選：BD．12．BD【解析】由函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，可知函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值.【詳解】解：因為的定義域為，所以是非奇非偶函數(shù)，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增.顯然，令，得，分別作出，在區(qū)間上的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間上共有4個公共點，且兩圖象在這些公共點上都不相切，故在區(qū)間上的極值點的個數(shù)為4，且只有2個極大值點.故選：BD.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，有利于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，屬于中檔題.13．【解析】【詳解】∵∴，，，，，，將以上各式相加得：故應(yīng)填；【考點】：此題重點考察由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式；【突破】：重視遞推公式的特征與解法的選擇；抓住中系數(shù)相同是找到方法的突破口；此題可用累和法，迭代法等；14．120【解析】【詳解】試題分析：首位為的有個，首位為的有個，故共有個.考點：排列組合.15．2【解析】【分析】設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點，則，由點在切線上得，即，所以，解得，．故答案為：216．

576

264【解析】【分析】（1）直接利用分步乘法原理得不同的涂色方法有種；（2）分，，，用四種、三種、和兩種顏色分類討論得解.【詳解】（1）由題得每個底面的頂點涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有；（2）若，，，用四種顏色，則有；若，，，用三種顏色，則有；若，，，用兩種顏色，則有.所以共有264種．故答案為：①576；②264.【點睛】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.17．（1）見解析；（2），．【解析】【分析】(1)可通過題意中的以及對兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果．【詳解】(1)由題意可知，，，，所以，即，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，，因為，所以，數(shù)列是首項、公差為的等差數(shù)列，．(2)由(1)可知，，，所以，．【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．18．（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用捆綁法可求解；（2）利用特殊元素優(yōu)先選擇，即可求解；（3）利用正難則反，先算前3個節(jié)目中沒有相聲，即相聲在后兩個節(jié)目的排法，即可求解.【詳解】（1）把兩個相聲節(jié)目捆綁在一起作為一個節(jié)目與其他節(jié)目排列共有排法；（2）選兩個唱歌節(jié)目排在首尾，剩下的3個節(jié)目在中間排列，排法為；（3）5個節(jié)目全排列減去后兩個都是相聲的排法，共有．【點睛】方法點睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).19．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）方法一：通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）［方法一］：規(guī)律探索由于，所以對應(yīng)的區(qū)間為，則；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有2個1；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個2；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個3；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個4；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個5；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有37個6．所以．［方法二］【最優(yōu)解】：由題意，，即，當(dāng)時，．當(dāng)時，，則．［方法三］：由題意知，因此，當(dāng)時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，．所以．所以數(shù)列的前100項和．【整體點評】（2）方法一：通過數(shù)列的前幾項以及數(shù)列的規(guī)律可以得到的值，從而求出數(shù)列的前項和，這是本題的通性通法；方法二：通過解指數(shù)不等式可得數(shù)列的通項公式，從而求出數(shù)列的前項和，是本題的最優(yōu)解；方法三，是方法一的簡化版．20．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）作于H，連BD，證明，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）在平面內(nèi)過點P作，以P為原點建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計算作答.（1）在等腰梯形中，作于H，連BD，如圖，則，且，則，即，而，因此，，即，因平面平面，平面平面，平面，而，則平面，又平面，于是有，，平面，則有平面，平面，因此，，所以為直角三角形.（2）在平面內(nèi)過點P作，因平面平面，平面平面，則平面，因此，兩兩垂直，以點P為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，有，從而得，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，，設(shè)直線PD與平面