動(dòng)點(diǎn)問題之有跡可循 論文

動(dòng)點(diǎn)問題之有跡可循摘 要：本文主要探討中考題型：動(dòng)點(diǎn)最值--動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)行軌跡是圓的題型的解答過程關(guān)鍵詞：動(dòng)點(diǎn)問題、解答方法探索《課標(biāo)》指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向?qū)W生，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索與合作交流，并關(guān)注對(duì)學(xué)生理性精神的培養(yǎng)。事物的外在表象是復(fù)雜的，但若能探求其本質(zhì)，就能達(dá)到化繁為簡的目的，就可以讓學(xué)生靈活讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地課堂。下面以動(dòng)點(diǎn)問題中與圓有關(guān)的最值問題為例，探討如何引導(dǎo)學(xué)生深度思維，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的教育理論下，所謂核心，即中心，事物之間的主要關(guān)系。那么，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也就是培養(yǎng)學(xué)生也抓住問題的中心，分析清楚題設(shè)和結(jié)論事物之間主要關(guān)系的能力。一、建立模型1、點(diǎn)圓最值模型（點(diǎn)在圓外）（1）模型提出：如圖1，點(diǎn)P是⊙O外的一點(diǎn)，點(diǎn)P到圓心O的距離OP=d,⊙O的半徑為r,則⊙O上的點(diǎn)與點(diǎn)P的最長距離為，最短距離為圖1 圖2（2）模型要素

圖3 圖4動(dòng)點(diǎn)在定圓⊙O上，定點(diǎn)P在定圓⊙O外；（3）模型建立如圖2，過定點(diǎn)P和定圓的圓心O，作直線OP，直線OP與⊙O的交于點(diǎn)A、B，最長的距離為線段PA的長，最短距離為線段PB的長。（4）模型原理如圖上不與中，PC=r=PA，所以，P與⊙O上一點(diǎn)的最長距離為PA=r同理，如圖4，在△OCP中PC的最短距離PBd-r2、點(diǎn)圓最值模型（點(diǎn)在圓內(nèi)）

OP=r

d=PB，所以，點(diǎn)P與⊙O上一點(diǎn)（1）模型提出：如圖P是⊙OP到圓心O的距離OP=d,⊙O的半徑為r,則⊙O上的點(diǎn)與點(diǎn)P的最長距離為，最短距離為（2）模型要素

圖5 圖6 圖7 圖8動(dòng)點(diǎn)在定圓⊙O上，定點(diǎn)P在定圓⊙O內(nèi)；（3）模型建立如圖OP與⊙O的交于點(diǎn)PA的長為所求的最長距離，線段PB的長為所求的最短距離。（4）模型原理如圖上不與中，PC=r=PA，所以，P與⊙O上一點(diǎn)的最長距離為PA=r中，PC

OP=r

d=PBP與⊙O上一點(diǎn)的最短距離PB=r d以上兩個(gè)模型的本質(zhì)都是構(gòu)造三角形，利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。3、線圓最值模型（1）模型提出：如圖l與元⊙OO到直線l的距離半徑為r,則⊙O上的點(diǎn)與直線l的最長距離為，最短距離為圖9 圖10 圖11 圖12（2）模型要素動(dòng)點(diǎn)在定圓⊙O上，定直線l在定圓⊙O外；（3）模型建立如圖O點(diǎn)作直線l的垂線OM與⊙O的交于BM的長為所求的最長距離，線段AM的長為所求的最短距離。（4）模型原理如圖為⊙O上不與C點(diǎn)作直線l的垂線段CH=BO=BM,⊙O上一點(diǎn)到定直線l的最大距離為BM=d同理，如圖12，

AM∠AM,⊙O上一點(diǎn)到定直線l的最短距離為BM=d-r二、模型應(yīng)用1、模型直接應(yīng)用（1）點(diǎn)圓最值模型直接應(yīng)用如圖Rt△ABC是邊BCD長為半徑做⊙D，E是⊙D上一點(diǎn)，若AB=8，BC=6，則線段AE長的最小值為分析：

圖13 圖14 圖15第一步，抽象出點(diǎn)圓模型，確定模型的要素：☉D就是定圓，A是圓外的定點(diǎn)；第二步，應(yīng)用模型，確定最值位置：如圖14、15，連接A、D兩點(diǎn)，線段AD與☉D的交點(diǎn)E，就是A、E兩點(diǎn)之間的距離取得最小值的位置，第三步，根據(jù)已知條件，計(jì)算最值：根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形中，使用勾股定理：如圖15，在RtΔABD中，AD=

AB2+BD2=

82+32=

73，所以，AE=AD

DE=73 3（2）線圓最值模型直接應(yīng)用如圖16，在?ABCD中，BC=8，E是邊AB上一點(diǎn)，且AE=2，P是以A為圓心，AE長為半徑的⊙A上一點(diǎn)，連接BP、CP，若?ABCD的面積為36，則△BPC的面積最小值為圖16 圖17分析：第一步，16，在這個(gè)問題1底高的面積可以選BC為定值，2則BC邊上的高達(dá)到最小值時(shí)，△BPC的面積就達(dá)到最小，因此，本題的關(guān)鍵是求出BC邊上的高的最小值，即P點(diǎn)到BC距離的最小值，第二步，抽象出線圓模型，確定模型的要素：☉A就是定圓，BC是圓外定直線A點(diǎn)向BC做垂線AH，垂線AH與☉A的交點(diǎn)P，就是P點(diǎn)到線段BC的距離取得最小值的位置，= =第四步，根據(jù)已知條件，計(jì)算最值：在?ABCD中，AH=S36 9，= =PH=AH

AP=92

2=5，S2

1=2

5×2

BC 8 22、模型高階應(yīng)用在點(diǎn)圓模型和線圓模型中，都有一個(gè)基本的要素是定圓，點(diǎn)圓模型中，確定最值的位置，需要作過定圓圓心和定點(diǎn)的直線；線圓模型中，確定最值的位置，需要作過定圓圓心作定直線的垂線。這個(gè)定圓（或定圓的圓心）就是這類問題的關(guān)鍵點(diǎn)。（1）尋找隱藏定圓（或定圓的圓心）線索一：90°角例ABCDBC為斜邊在矩形所在平面作Rt△BEC，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，則EF的最小值為圖18

圖19

圖20分析：第一步，此題中并未出現(xiàn)明顯的定圓，因此，我們要進(jìn)行邏輯推理，將隱藏的定圓抽象出來：因直徑所所對(duì)的圓周角為90°，而∠BEC始終等于90°，所以，合情推理后，如圖19，E點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，且BC的中點(diǎn)，即為圓心O；第二步，抽象為點(diǎn)圓模型：如圖19，☉O為定圓，F(xiàn)為圓外的定點(diǎn)，OF，OF與⊙D交于點(diǎn)E，線段EF的長即為所求的最小值，第四步，根據(jù)已知條件，計(jì)算最值：如圖19，在

RtΔFCO中，F(xiàn)O=

CF22=

32=5，所以，EF=OF

OE=5

3=2.同樣的思路，如圖20，也可以求出EF的最大值為8。（2）尋找隱藏定圓（或定圓的圓心）線索二：定弦對(duì)定角例ABCD的邊長為為正方形外一動(dòng)點(diǎn)，∠AED=45°，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，AP=1，則線段PE的最大值是分析：

圖21 圖22 圖23 圖24第一步，同樣此題中也并未出現(xiàn)明顯的定圓，因此，我們也要進(jìn)行邏輯推理，將隱藏的圓抽象出來：因在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，且是同弧所對(duì)圓心AB所對(duì)的∠AEB=1∠A0B=45°（點(diǎn)O為正方形2ABCD點(diǎn)在以O(shè)為半徑的圓上，第二步，抽象為點(diǎn)圓模型：如圖23，☉O為定圓，點(diǎn)P為定圓內(nèi)一點(diǎn)23，連接OP并延長，與⊙O交于點(diǎn)E，線段EP的長即為所求的最值第四步，根據(jù)已知條件，計(jì)算最值：如圖24，作OE∠AB，在RtΔPHO中，PO=

PH22=

12+22=

5，所以，EP=OP=

52.（3）尋找隱藏定圓（或定圓的圓心）線索三：四點(diǎn)共圓例5、如圖25，在邊長為2

3的菱形ABCD中，C60，E、F分別是AB、AD上值為AE=DF，DE與BF交于點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到B值為分析：

圖25 圖26 圖27

圖28第一步，同樣此題中也并未出現(xiàn)明顯的定圓，因此，我們也要進(jìn)行邏輯推理，將隱藏的圓抽象出來：因?qū)腔パa(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上（這個(gè)四點(diǎn)共圓的判定定理，很直觀、很好用，但在現(xiàn)行的滬科版教材中，已被刪除，建議可以補(bǔ)上，根據(jù)已知條件，如圖26，連接BD，易證，ΔABD和ΔCBD是等邊三角形，在ΔDEA和ΔBFD中AE=DF（已知）DCEBDF=60°

∠BPE是ΔBDF的外角BPFDBPBDPBDP°DC=BD

ΔBFD（SAS）BDC=60BPD=120°ADEDBFDPB=180°因在變化的過程中，BCDDPB180四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。第二步，抽象為點(diǎn)圓模型：如圖27，又因不在同一條直線上的三點(diǎn)B、C、D已經(jīng)確定一個(gè)圓，所以，此圓為定圓，點(diǎn)A為圓外一點(diǎn)。第三步，應(yīng)用模型：如圖28，連接AC，由菱形和圓的軸對(duì)稱性可知，定圓的圓心在線段AC上，所以，當(dāng)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，PA的長就是所求的最值。第四步，根據(jù)已知條件，計(jì)算最值：如圖28，由菱形的性質(zhì)，易知，①ΔABC是頂角為120°的等腰三角形，所以，AC=

3AB=6；②ΔCBP是有一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形，所以，CP=3BC=32

3，所以，最小值A(chǔ)P=AC

CP=6 33（4）尋找隱藏定圓（或定圓的圓心）線索四：到定點(diǎn)的距離等于定值例4的菱形ABCD是AD是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C,則A'C長的最小值為圖29 圖30 圖31分析：

圖32第一步，此題中也并未出現(xiàn)明顯的圓，因此，我們要進(jìn)行邏輯推理，將隱藏的圓抽象出來：因到定點(diǎn)的距離等于到定長的點(diǎn)在以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓上。此A′在以M為圓心，MA為半徑的半圓上，如圖30第二步，抽象為點(diǎn)圓模型：如圖30，☉M是定圓，點(diǎn)C是☉M外的一點(diǎn)第三步，應(yīng)用模型：如圖31、32，連接CM,CM與☉M交于點(diǎn)A′，此時(shí)線段A′C的長度即為所求。第四步，根據(jù)已知條件，計(jì)算最值：如圖32，可以利用特殊角度值，構(gòu)造直角三角形來求出A′CM點(diǎn)作MH垂直與CDRt△MHD中，MH=

3，DHRt△MHC中MH=

3，CH=5CM=

(3252=2

7，所以，最小值A(chǔ)'C=2

7-2。三、動(dòng)點(diǎn)問題解法四步曲數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體。對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題解法的探討，就很好的體現(xiàn)了，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)方面的互相融合。中考中的動(dòng)點(diǎn)最值問題解答分四步：1、第一步，找準(zhǔn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；這一步是最為關(guān)鍵的一步，需要在數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的基礎(chǔ)之上，和運(yùn)用直觀想象，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，將動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡抽象出來。定弦，如例3、4。③對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，如例5。在推理的過程中，提高了學(xué)生的直觀觀察能力、邏輯分析能力。2、第二步，建立數(shù)學(xué)建模：在確定的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡后，就要建立相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這里就需要抽象思維能力，將模型從復(fù)雜的圖形中抽象出來，并將模型中的關(guān)鍵要素對(duì)應(yīng)起來。本文中主要是建立點(diǎn)圓模型和線圓模型。在此過程中，著重培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象能力、邏輯抽象能力。3、第三步，應(yīng)用模型：在第二步的基礎(chǔ)上，根據(jù)模型的要求，確定取到最值的特殊位置。在此過程中，著重培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。4、第四步，求出最值。等腰三角形等，計(jì)算出所求最值。在此過程中，著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算及數(shù)