一輪復(fù)習(xí)學(xué)案作業(yè)第十二章12.2幾何概型Word版含解析【高考】

§12.2幾何概型最新考綱考情考向分析1.了解幾何概型的意義．2.了解日常生活中的幾何概型.以理解幾何概型的概念、概率公式為主，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的幾何概型的概率，常與平面幾何、線性規(guī)劃、不等式的解集、定積分等知識(shí)交匯考查．在高考中多以選擇、填空題的形式考查，難度為中檔.1．幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型．2．幾何概型概率的計(jì)算公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).3．幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè).(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．概念方法微思考1．古典概型與幾何概型有什么區(qū)別？提示古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無(wú)限多個(gè)．2．幾何概型中線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在內(nèi)影響概率值嗎？提示幾何概型中線段的端點(diǎn)，圖形的邊框是否包含在內(nèi)不會(huì)影響概率值．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．(√)(2)幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形或空間幾何體．(√)(3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．(×)(4)幾何概型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本事件個(gè)數(shù)都有限．(×)題組二教材改編2．在數(shù)軸的[0,3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案B解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為[0,1)，長(zhǎng)度為1，[0,3]的區(qū)間長(zhǎng)度為3，故所求概率為eq\f(1,3).3．有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是()答案A解析∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．4．設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(4－π,4)答案D解析如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的平面區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分(不包括)表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積為4－π.因此滿(mǎn)足條件的概率是eq\f(4－π,4)，故選D.題組三易錯(cuò)自糾5.(2020·江西重點(diǎn)聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子(大小忽略不計(jì))，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，則陰影區(qū)域的面積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3)D．無(wú)法計(jì)算答案B解析設(shè)陰影部分的面積為S，由幾何概型可知eq\f(S,4)＝eq\f(2,3)?S＝eq\f(8,3).6．在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(2,3)解析設(shè)AC＝xcm(0<x<12)，則CB＝(12－x)cm，則矩形的面積S＝x(12－x)＝12x－x2(cm2)．由12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0<x<4或8<x<12.在數(shù)軸上表示，如圖所示．由幾何概型概率計(jì)算公式，得所求概率為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型1．(2020·太原模擬)設(shè)x∈[0，π]，則sinx<eq\f(1,2)的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C解析由sinx<eq\f(1,2)且x∈[0，π]，借助于正弦曲線可得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，∴P＝eq\f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq\f(1,3).2.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,6)解析如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).3．(2017·江蘇)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________．答案eq\f(5,9)解析設(shè)事件“在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D”為事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5，∴P(A)＝eq\f(5,9).4．某公司的班車(chē)在7：00,8：00,8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是________．答案eq\f(1,2)解析如圖所示，畫(huà)出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車(chē)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2).思維升華求解與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)，然后求解．要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度)．與面積有關(guān)的幾何概型命題點(diǎn)1與平面圖形有關(guān)的幾何概型例1(2018·全國(guó)Ⅰ)如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3答案A解析∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC，以AB為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝eq\f(π,8)AB2，以AC為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＝eq\f(π,8)AC2，以BC為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2＝eq\f(π,8)BC2，∴SⅠ＝eq\f(1,2)AB·AC，SⅢ＝eq\f(π,8)BC2－eq\f(1,2)AB·AC，SⅡ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)AB2＋\f(π,8)AC2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)BC2－\f(1,2)AB·AC))＝eq\f(1,2)AB·AC.∴SⅠ＝SⅡ.由幾何概型概率公式得p1＝eq\f(SⅠ,S總)，p2＝eq\f(SⅡ,S總).∴p1＝p2.故選A.命題點(diǎn)2與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型例2在區(qū)間(0,1)上任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)之和小于eq\f(6,5)的概率是()A.eq\f(12,25)B.eq\f(16,25)C.eq\f(17,25)D.eq\f(18,25)答案C解析設(shè)這兩個(gè)數(shù)是x，y，則試驗(yàn)所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)域即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1))確定的平面區(qū)域，滿(mǎn)足條件的事件包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，,x＋y<\f(6,5)))確定的平面區(qū)域，如圖所示，陰影部分的面積是1－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(17,25)，所以這兩個(gè)數(shù)之和小于eq\f(6,5)的概率是eq\f(17,25).命題點(diǎn)3與定積分有關(guān)的幾何概型例3(2019·江淮十校聯(lián)考)如圖，矩形ABCD滿(mǎn)足BC＝2AB，E為BC的中點(diǎn)，其中曲線為過(guò)A，D，E三點(diǎn)的拋物線，隨機(jī)向矩形內(nèi)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(π－2,4)答案A解析以BC所在的直線為x軸，以E為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB＝1，BC＝2，則B(－1,0)，C(1,0)，A(－1,1)，D(1,1)，過(guò)A，D，E三點(diǎn)的拋物線方程為y＝x2，陰影部分面積為S′＝eq\f(1,2)×2×1－x2dx＝eq\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)x3)＝eq\f(1,3)，又矩形ABCD的面積為SABCD＝1×2＝2，故點(diǎn)落在陰影部分的概率為P＝eq\f(S′,SABCD)＝eq\f(\f(1,3),2)＝eq\f(1,6).思維升華(1)與平面幾何有關(guān)的幾何概型，應(yīng)利用平面幾何等相關(guān)知識(shí)，先確定基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑?jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率．(2)與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型，先根據(jù)約束條件作出可行域，再確定形狀，求面積大小，進(jìn)而代入公式求解．(3)與定積分有關(guān)的幾何概型，先確定基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀構(gòu)成，再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計(jì)算，并求其大小，進(jìn)而代入公式求概率．跟蹤訓(xùn)練1(1)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)答案C解析由題意得，(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如圖所示的正方形中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影區(qū)域(不包含邊界)中，即以1為半徑的eq\f(1,4)圓中．由幾何概型概率計(jì)算公式知eq\f(\f(π,4),1)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).(2)節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是________．答案eq\f(3,4)解析設(shè)通電x秒后第一串彩燈閃亮，通電y秒后第二串彩燈閃亮．依題意得0≤x≤4,0≤y≤4，∴S＝4×4＝16.又兩串彩燈閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒，即|x－y|≤2，如圖可知，符合要求的S′＝16－eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×2×2＝12，∴由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(S′,S)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).(3)如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆(大小忽略不計(jì))，則它落到陰影部分的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(2,e2)解析由題意知，所給圖中兩陰影部分面積相等，故陰影部分面積為S＝2?eq\o\al(1,0)(e－ex)dx＝2(ex－ex)|eq\o\al(1,0)＝2[e－e－(0－1)]＝2.又該正方形的面積為e2，故由幾何概型的概率公式可得所求概率為eq\f(2,e2).與體積有關(guān)的幾何概型例4(1)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中任取一點(diǎn)M，則滿(mǎn)足∠AMB>90°的概率為()A.eq\f(π,24)B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,8)D.eq\f(π,6)答案A解析以AB為直徑作球，球在正方體內(nèi)的區(qū)域體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(π,3)，正方體的體積為8，∴所求概率P＝eq\f(\f(π,3),8)＝eq\f(π,24).(2)(2020·山西臨汾月考)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,2)解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)四棱錐M－ABCD的高為h，當(dāng)eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h＝eq\f(1,6)時(shí)，又S四邊形ABCD＝1，∴h＝eq\f(1,2).若四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)，則h<eq\f(1,2)，即點(diǎn)M在正方體內(nèi)且到四邊形ABCD所在平面的距離小于eq\f(1,2)，∴P＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).思維升華求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件求解．跟蹤訓(xùn)練2在一個(gè)球內(nèi)有一棱長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方體，一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為()A.eq\f(6,π)B.eq\f(3,2)πC.eq\f(3,π)D.eq\f(2\r(3),3π)答案D解析由題意可知這是一個(gè)幾何概型，棱長(zhǎng)為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，故球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)，球的體積V2＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率P＝eq\f(V1,V2)＝eq\f(2\r(3),3π).1．(2020·衡水調(diào)研)在區(qū)間(0,100)內(nèi)任取一數(shù)x，則lgx>1的概率為()A．0.1B．0.5C．0.8D．0.9答案D解析由lgx>1，得x>10，所以所求概率為P＝eq\f(100－10,100)＝0.9.2．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使cosx的值介于－eq\f(\r(3),2)與eq\f(\r(3),2)之間的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,8)D.eq\f(5,8)答案B解析cosx的值介于－eq\f(\r(3),2)與eq\f(\r(3),2)之間的區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3).由幾何概型概率計(jì)算公式，得P＝eq\f(\f(2π,3),π－0)＝eq\f(2,3).3．有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)答案B解析設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，得P1＝eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3)，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).4.(2017·全國(guó)Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(π,4)答案B解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知，所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).5．一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱(chēng)其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A.eq\f(4π,81)B.eq\f(81－4π,81)C.eq\f(1,27)D.eq\f(8,27)答案C解析由已知條件可知，蜜蜂只能在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).6．某水池的容積是20立方米，向水池注水的水龍頭A和水龍頭B的水流速度都是1立方米/小時(shí)，它們?cè)谝粫円箖?nèi)隨機(jī)開(kāi)0～24小時(shí)，則水池不溢出水的概率約為()A．0.30B．0.35C．0.40D．0.45答案B解析設(shè)水龍頭A開(kāi)x小時(shí)，水龍頭B開(kāi)y小時(shí)，則0≤x≤24,0≤y≤24，若水池不溢出水，則x＋y≤20，記“水池不溢出水”為事件M，則M所表示的區(qū)域面積為eq\f(1,2)×20×20＝200，整個(gè)區(qū)域的面積為24×24＝576，由幾何概型的概率公式得P(M)＝eq\f(200,576)≈0.35.7．如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0，1)，正弦曲線f(x)＝sinx和余弦曲線g(x)＝cosx在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是()A.eq\f(1＋\r(2),π)B.eq\f(1＋\r(2),2π)C.eq\f(1,π)D.eq\f(1,2π)答案B解析根據(jù)題意，可得曲線y＝sinx與y＝cosx圍成的陰影區(qū)域的面積為＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)))＝1＋eq\r(2).又矩形ABCD的面積為2π，由幾何概型概率計(jì)算公式得該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是eq\f(1＋\r(2),2π).故選B.8．在區(qū)間[0,3]上任取一個(gè)數(shù)x，使得不等式x2－3x＋2>0成立的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(2,3)解析x2－3x＋2>0?x>2或x<1，由幾何概型概率公式可得P＝eq\f(2,3).9．公共汽車(chē)在8：00到8：20內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)某站，某人8：15到達(dá)該站，則他能等到公共汽車(chē)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,4)解析∵公共汽車(chē)在8：00到8：20內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)某站，故所有基本事件對(duì)應(yīng)的時(shí)間總長(zhǎng)度LΩ＝20分鐘，某人8：15到達(dá)該站，記“他能等到公共汽車(chē)”為事件A，則LA＝5分鐘，故P(A)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).10.如圖所示，M是半徑為R的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長(zhǎng)度超過(guò)eq\r(2)R的概率是________．答案eq\f(1,2)解析當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度恰為eq\r(2)R時(shí)，∠MON＝eq\f(π,2)，如圖，當(dāng)點(diǎn)N落在半圓弧上時(shí)，弦MN的長(zhǎng)度不超過(guò)eq\r(2)R，故所求概率為P＝eq\f(1,2).11．已知正三棱錐S－ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是________．答案eq\f(7,8)解析當(dāng)P在三棱錐的中截面及下底面構(gòu)成的正三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求，由幾何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).12．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿(mǎn)足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.答案3解析由|x|≤m，得－m≤x≤m(易知m>0)．當(dāng)0<m≤2時(shí)，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.故m＝3.13.如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，則BM<1的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(2,5)解析因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).14．甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2