九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系檢測(cè)題（新版）北師大版

第一章檢測(cè)題(時(shí)間：120分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．已知∠A為銳角，且sinA＝eq\f(\r(2),2)，那么∠A等于(C)A．15°B．30°C．45°D．60°2．(孝感中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，則sinA等于(A)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3),第2題圖),第6題圖)3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq\r(5)，tanA＝eq\f(1,2)，則BC的長(zhǎng)是(A)A．2B．8C．2eq\r(5)D．4eq\r(5)4．若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為1∶2∶3，那么這個(gè)三角形最小角的正切值為(C)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)5．如果∠A為銳角，且sinA＝0.6，那么(B)A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°6．西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)置過(guò)一種通過(guò)測(cè)定日影長(zhǎng)度來(lái)確定時(shí)間的儀器，稱為圭表．如圖是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱AC高為a.已知，冬至?xí)r北京的正午日光入射角∠°，則立柱根部與圭表的冬至線的距離(即BC的長(zhǎng))約為(B)A．a(chǎn)sin°B.eq\f(a,tan°)C．a(chǎn)cos°D.eq\f(,cos°)7．如圖，某輪船在點(diǎn)O處測(cè)得一個(gè)小島上的電視塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到達(dá)B處，測(cè)得電視塔A在船的西北方向，若要輪船離電視塔最近，則還需向西航行(A)A．10(eq\r(3)＋1)海里B．10(eq\r(3)－1)海里C．20(eq\r(3)＋1)海里D．20(eq\r(3)－1)海里,第7題圖),第9題圖)8．某地下車庫(kù)出口處安裝了“兩段式欄桿”，如圖1所示，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，點(diǎn)E是欄桿兩段的聯(lián)結(jié)點(diǎn)．當(dāng)車輛經(jīng)過(guò)時(shí)，欄桿AEF最多只能升起到如圖2所示的位置，其示意圖如圖3所示(欄桿寬度忽略不計(jì))，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么適合該地下車庫(kù)的車輛限高標(biāo)志牌為(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈0.75)(A)9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A(0，a)，B(b，0)，點(diǎn)C在第二象限，BC與y軸交于點(diǎn)D(0，c)，若y軸平分∠BAC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)不能表示為(C)A．(b＋2a，2b)B．(－b－2c，2b)C．(－b－c，－2a－2c)D．(a－c，－2a－2c)10．如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，在斜邊CB上取點(diǎn)M，N(不包含C，B兩點(diǎn))，且tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，設(shè)MN＝x，BM＝n，CN＝m，則以下結(jié)論能成立的是(D)A．m＝nB．x＝m＋nC．x＞m＋nD．x2＝m2＋n2二、填空題(每小題3分，共18分)11．計(jì)算：(－eq\f(1,2))2－2cos60°＝－eq\f(3,4)；12．比較大?。篶os35°＜sin65°.若45°＜α＜90°，則sinα＞cosα.13．如果方程x2－4x＋3＝0的兩個(gè)根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小角是∠A，那么tanA的值為eq\f(1,3)或eq\f(\r(2),4).14．(杭州中考)如圖，“人字梯”放在水平的地面上，當(dāng)梯子的一邊與地面所夾的銳角α為60°時(shí)，兩梯角之間的距離BC的長(zhǎng)為3m．周日亮亮幫助媽媽整理?yè)Q季衣服，先使α為60°，后又調(diào)整α為45°，則梯子頂端離地面的高度AD下降了eq\f(3（\r(3)－\r(2)）,2)m.(結(jié)果保留根號(hào)),第14題圖),第15題圖),第16題圖)15．如圖所示，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝eq\f(1,3)，則cos∠ADC＝eq\f(4,5).16．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，垂足為D.給出下列四個(gè)結(jié)論：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ.其中正確的結(jié)論有①②③④.(填序號(hào))三、解答題(共72分)17．(6分)(婁底中考)計(jì)算：(π－3.14)0＋(eq\f(1,3))－2－|－eq\r(12)|＋4cos30°.解：原式＝1＋9－2eq\r(3)＋4×eq\f(\r(3),2)＝1＋9－2eq\r(3)＋2eq\r(3)＝1018．(6分)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝2＋eq\r(3)，解Rt△ABC.解：∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，由sinA＝eq\f(a,c)，得a＝c·sinA＝(2＋eq\r(3))×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)＋eq\f(3,2)，由cosA＝eq\f(b,c)，得b＝c·cosA＝(2＋eq\r(3))×eq\f(1,2)＝eq\f(2＋\r(3),2)19．(6分)△ABC是一塊鋼板余料，其中∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝20dm，現(xiàn)要從中剪裁出邊長(zhǎng)為6dm的等邊△DEF，如圖所示，其中點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E和點(diǎn)F在AB上，求AE，BF的長(zhǎng)．(結(jié)果保留根號(hào))解：作DG⊥AB于G.∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝DF＝EF＝6，EG＝FG＝3，DG＝EG·tan60°＝3eq\r(3)，在Rt△DGB中，∵∠B＝∠GDB＝45°，∴DG＝BG＝3eq\r(3)，∴BE＝3＋3eq\r(3)，∴AE＝AB－EB＝20－(3＋3eq\r(3))＝17－3eq\r(3)，BF＝BG－FG＝3eq\r(3)－320．(6分)(徐州中考)如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高和壩底寬．(精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈1.732)解：在Rt△CDE中，∵sin∠C＝eq\f(DE,DC)，cos∠C＝eq\f(CE,CD)，∴DE＝sin30°×DC＝eq\f(1,2)×14＝7(m)，CE＝cos30°×DC＝eq\f(\r(3),2)×14＝7eq\r(3)≈≈12.12，∵四邊形AFED是矩形，∴EF＝AD＝6m，AF＝DE＝7m，在Rt△ABF中，∵∠B＝45°，∴DE＝BF＝7m，∴BC＝BF＋EF＋EC≈≈25.1(m)，答：該壩的壩高和壩底寬分別為7m和25.1m21．(8分)如圖，AH是△ABC的高，D是邊AB上一點(diǎn)，CD與AH交于點(diǎn)E.已知AB＝AC＝6，cosB＝eq\f(2,3)，AD∶DB＝1∶2.(1)求△ABC的面積；(2)求CE∶DE.解：(1)∵AB＝AC＝6，cosB＝eq\f(2,3)，AH是△ABC的高，∴BH＝4，∴BC＝2BH＝8，AH＝eq\r(62－42)＝2eq\r(5)，∴△ABC的面積是eq\f(BC·AH,2)＝eq\f(8×2\r(5),2)＝8eq\r(5)(2)作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵DF⊥BH，AH⊥BH，∴DF∥AH，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(HF,HB)，eq\f(CE,DE)＝eq\f(CH,HF)，∵AD∶DB＝1∶2，BH＝CH，∴AD∶AB＝1∶3，∴eq\f(HF,HB)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(CH,HF)＝eq\f(BH,HF)＝eq\f(3,1)，即CE∶DE＝3∶122．(8分)(遵義中考)如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時(shí)，吊繩BC與地面保持垂直，吊臂AB與水平線的夾角為64°，吊臂底部A距地面1.5m．(計(jì)算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)sin64°≈，cos64°≈，tan64°≈2.05)(1)當(dāng)?shù)醣鄣撞緼與貨物的水平距離AC為5m時(shí)，吊臂AB的長(zhǎng)為________m；(2)如果該吊車吊臂的最大長(zhǎng)度AD為20m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？(吊鉤的長(zhǎng)度與貨物的高度忽略不計(jì))解：(1)11.4(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥地面于H，交水平線于點(diǎn)E，在Rt△ADE中，∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，∴DE＝sin64°×AD≈20×≈18(m)，即DH＝DE＋EH＝18＋1.5＝19.5(m)，答：如果該吊車吊臂的最大長(zhǎng)度AD為20m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是19.5m23∠HDE為45°，此時(shí)教學(xué)樓頂端G恰好在視線DH上，再向前走7米到達(dá)B處，又測(cè)得教學(xué)樓頂端G的仰角∠GEF為60°，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在同一水平線上．(1)計(jì)算古樹BH的高；(2)計(jì)算教學(xué)樓CG的高．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈1.7)解：(1)∵四邊形ABED是矩形，∴DE＝AB＝7米．在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，∴HE＝DE＝7米，∴BH＝HE＋BE＝8.5(米)(2)作HJ⊥△Rt△GEF中，tan60°＝eq\f(FG,EF)，∴eq\r(3)＝eq\f(7＋x,x)，∴x＝eq\f(7,2)eq\r(3)＋eq\f(7,2).FG＝eq\f(21,2)＋eq\f(7,2)eq\r(3)，∴CG＝CF＋FG＝1.5＋eq\f(21,2)＋eq\f(7,2)eq\r(3)≈17.95(米)24．(10分)(株洲中考)如圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線l1∥l2∥l3，直線l與直線l1，l2，l3都垂直，垂足分別為點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C(高速路右側(cè)邊緣)，l2上的點(diǎn)M位于點(diǎn)A的北偏東30°方向上，且BM＝eq\r(3)千米，l3上的點(diǎn)N位于點(diǎn)M的北偏東α方向上，且cosα＝eq\f(\r(13),13)，MN＝2eq\r(13)千米，點(diǎn)A和點(diǎn)N是城際線L上的兩個(gè)相鄰的站點(diǎn)．(1)求l2和l3之間的距離；(2)若城際火車平均時(shí)速為150千米/小時(shí)，求市民小強(qiáng)乘坐城際火車從站點(diǎn)A到站點(diǎn)N需要多少小時(shí)？(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)解：(1)過(guò)點(diǎn)M作MD⊥NC于點(diǎn)D，∵cosα＝eq\f(\r(13),13)，MN＝2eq\r(13)千米，∴cosα＝eq\f(DM,MN)＝eq\f(DM,2\r(13))＝eq\f(\r(13),13)，解得DM＝2(km)，答：l2和l3之間的距離為2km(2)∵點(diǎn)M位于點(diǎn)A的北偏東30°方向上，且BM＝eq\r(3)千米，∴tan30°＝eq\f(BM,AB)＝eq\f(\r(3),AB)＝eq\f(\r(3),3)，解得AB＝3(km)，可得AC＝3＋2＝5(km)，∵M(jìn)N＝2eq\r(13)km，DM＝2km，∴DN＝eq\r(（2\r(13)）2－22)＝4eq\r(3)(km)，則NC＝DN＋BM＝5eq\r(3)(km)，∴AN＝eq\r(AC2＋CN2)＝eq\r(（5\r(3)）2＋52)＝10(km)，∵城際火車平均時(shí)速為150千米/小時(shí)，∴市民小強(qiáng)乘坐城際火車從站點(diǎn)A到站點(diǎn)N需要eq\f(10,150)＝eq\f(1,15)小時(shí)25．(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，且∠FDE＝90°.(1)當(dāng)DF∥AB時(shí)，連接EF，求tan∠DEF的值；(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，設(shè)AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)連接CE，若△CDE為等腰三角形，求BF的長(zhǎng)．解：(1)∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6eq\r(2)，∵DF∥AB，CD＝eq\f(1,2)AC，∴DF＝eq\f(1,2)AB＝3eq\r(2)，∴DE＝eq\f(3,2)eq\r(2)，在Rt△DEF中，tan∠DEF＝eq\f(DF,DE)＝eq\f(3\r(2),\f(3,2)\r(2))＝2(2)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AE＝x，∵BC⊥AC，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∵∠B＝∠A，∴∠AEH＝∠A，HE＝HA＝eq\f(\r(2),2)x，∴HD＝3－eq\f(\r(2),2)x，又可證△HDE∽△CFD，∴eq\f(HD,CF)＝eq\f(HE,DC)，∴eq\f(3－\f(\r(2),2)x,6－y)＝eq\f(\f(\r(2),2)x,3)，∴y＝－eq\f(9\r(2),x)＋9(eq\r(2)≤x≤3eq\r(2))(3)∵CE≥eq\f(1,2)AB＝3eq\r(2)＞3，CD＝3，∴CE＞CD，∴若△DCE為等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC兩