第七章 相關(guān)分析

第七章相關(guān)分析雙變量關(guān)系的描述技術(shù)第七章相關(guān)分析7.1相關(guān)分析的概念和相關(guān)分析過程7.2兩個(gè)變量間的相關(guān)分析7.3偏相關(guān)分析7.4距離分析7.1相關(guān)分析的基本概念與分析過程相關(guān)關(guān)系與相關(guān)分析

事物間的相互關(guān)系可以分為兩種類型：函數(shù)關(guān)系和統(tǒng)計(jì)關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）。函數(shù)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的確定性關(guān)系；統(tǒng)計(jì)關(guān)系則是不穩(wěn)定、不確定的，意味著一個(gè)變量雖然受另外一個(gè)（或一組）變量影響，卻并不由這一個(gè)（或一組）變量完全確定。例如家庭教育消費(fèi)支出與家庭收入之間的關(guān)系就是一種相關(guān)關(guān)系。在復(fù)雜的教育系統(tǒng)中，事物與現(xiàn)象之間的聯(lián)系大多表現(xiàn)為相關(guān)關(guān)系而不是函數(shù)關(guān)系。衡量事物（或變量）之間相關(guān)程度的強(qiáng)弱，并用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)指標(biāo)表示出來，這個(gè)過程就是相關(guān)分析。7.1相關(guān)分析的基本概念與分析過程線性相關(guān)分析與相關(guān)系數(shù)

研究?jī)蓚€(gè)變量間線性關(guān)系的程度，稱為線性相關(guān)分析。相關(guān)系數(shù)是描述這種線性關(guān)系程度和方向的統(tǒng)計(jì)量，用r表示。如果變量Y與X間是函數(shù)關(guān)系，則r=1或r=-1;如果變量Y與X間是統(tǒng)計(jì)關(guān)系，則-1<r<1,如果x,y變化的方向一致，則稱為正相關(guān)，r>0，如果x,y變化的方向相反，則稱為負(fù)相關(guān)，r<0；而r=0表示無線性相關(guān)，一般地，|r|>0.95存在顯著性相關(guān)；|r|0.8高度相關(guān)；0.5|r|<0.8中度相關(guān)；0.3|r|<0.5

低度相關(guān)；|r|<0.3關(guān)系極弱，認(rèn)為不相關(guān)相關(guān)系數(shù)的值，僅僅是一個(gè)比值。它不是由相等單位度量而來(即不等距)，也不是百分比，因此，不能直接作加、減、乘、除運(yùn)算。相關(guān)系數(shù)只能描述兩個(gè)變量之間的變化方向及密切程度，并不能揭示兩者之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。存在相關(guān)的兩個(gè)變量，也不一定存在因果關(guān)系。散點(diǎn)圖X(丈夫收入);Y(妻子收入)YXP(xi,yi)Y=kkP(xi,yi)+--+共變異數(shù)(協(xié)方差)=+--+散點(diǎn)越集中于1、3象限，共變異數(shù)的和正值越大；散點(diǎn)越集中于2、4象限，共變異數(shù)的和負(fù)值越大；散點(diǎn)越均勻分布于各象限，共變異數(shù)的和越趨近于0。相關(guān)分析的原理若＞0，則x與y之間為正相關(guān)；若＜0，則x與y之間為負(fù)相關(guān)；若→0，則x與y之間無相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)分析中的可能錯(cuò)誤

相關(guān)系數(shù)r是對(duì)兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的簡(jiǎn)單度量，因此當(dāng)r＝0時(shí)，只表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒有任何關(guān)系，比如，它們之間可能存在非線性關(guān)系，如圖(e)就屬于這種情況。

相關(guān)分析中的可能錯(cuò)誤

r的計(jì)算涉及到變量的標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差，其數(shù)值大小易受極端值的影響，特別是與自變量x的變化范圍有很大關(guān)系。這時(shí)會(huì)產(chǎn)生兩種情況：—是多數(shù)觀察值不相關(guān)時(shí)，個(gè)別極瑞值引起中度相關(guān)，如圖8．4（a）；二是大多數(shù)觀察值存在線性相關(guān)，個(gè)別極端值使觀察數(shù)據(jù)呈非線性相關(guān)．如圖8．4（b）。

相關(guān)分析中的可能錯(cuò)誤

在對(duì)兩個(gè)時(shí)間數(shù)列的相關(guān)分析中，r所表現(xiàn)的相關(guān)程度同樣本數(shù)據(jù)的時(shí)間范圍有很大關(guān)系。比如．兩個(gè)現(xiàn)象在某段時(shí)期內(nèi)的相關(guān)關(guān)系為線性的．而整個(gè)發(fā)展過程可能是非線性的，如圖(a)；或者在某段時(shí)期內(nèi)無線性關(guān)系，而整個(gè)發(fā)展過程可能存在線性關(guān)系，如圖(b)相關(guān)分析中的可能錯(cuò)誤根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的r帶有—定的隨機(jī)性，樣本數(shù)據(jù)越少，隨機(jī)性則越大。對(duì)于不相關(guān)的兩個(gè)變量計(jì)算出的r不—定為0，有時(shí)甚至?xí)芨?。但較大的r值不一定就意味著兩個(gè)變量之間確實(shí)存在著較高的相關(guān)；反之，較小的r也不一定就意味著變量之間無相關(guān)關(guān)系，這就是所謂的虛假相關(guān)。為避免出現(xiàn)分析上的錯(cuò)誤，在實(shí)際應(yīng)用r時(shí)，必須對(duì)r的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，r在統(tǒng)計(jì)上是否顯著，才是它能否作為變量之間線性關(guān)系度量的依據(jù)。

7.2兩個(gè)變量間的相關(guān)分析1定距—定距尺度的相關(guān)：積差相關(guān)

當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)變量，而且兩者之間呈線性關(guān)系時(shí)，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為積差相關(guān)（PearsonCor.）。積差相關(guān)的使用條件兩個(gè)變量都是由測(cè)量獲得的連續(xù)性數(shù)據(jù)；兩個(gè)變量的總體都是呈正態(tài)分布，或接近正態(tài)分布，至少是單峰的對(duì)稱分布。必須是成對(duì)數(shù)據(jù)，而且每對(duì)數(shù)據(jù)之間必須是相互獨(dú)立。兩個(gè)變量之間呈線性關(guān)系。要排除共變因素的影響。樣本容量要大于等于30，計(jì)算出的積差相關(guān)系數(shù)才具有有效意義。2定序—定序尺度的相關(guān)：等級(jí)相關(guān)

是指以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示的變量之間的相關(guān)。當(dāng)測(cè)量得到的數(shù)據(jù)不是等距或等比數(shù)據(jù)，而是具有等級(jí)順序的數(shù)據(jù)；或者得到的數(shù)據(jù)是等距或等比數(shù)據(jù)，但其所來自的總體分布不是正態(tài)的，不滿足求積差相關(guān)的要求。這時(shí)就要運(yùn)用等級(jí)相關(guān)系數(shù)。它主要包括斯皮爾曼(spearman)二列等級(jí)相關(guān)及肯德爾（Kendall’s）等級(jí)相關(guān).

7.2兩個(gè)變量間的相關(guān)分析斯皮爾曼二列等級(jí)相關(guān)當(dāng)兩個(gè)變量值以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示時(shí)，兩個(gè)相應(yīng)總體并不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，表示這兩變量之間的相關(guān)，稱為等級(jí)相關(guān)。其相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為

例如：10名高三學(xué)生學(xué)習(xí)潛在能力測(cè)驗(yàn)與自學(xué)能力測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦卤硭?，問兩者相關(guān)情況如何？學(xué)生序號(hào)學(xué)習(xí)潛在能力自學(xué)能力等級(jí)差數(shù)差數(shù)平方X等級(jí)Y等級(jí)123456789109084767171716968666412355578910325786871092135.57.547.55.5109-110-0.5-2.51-0.52.5-111100.256.2510.256.2511總和18肯德爾和諧系數(shù)（Kendall’stau-b）當(dāng)多個(gè)（兩個(gè)以上）變量值以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示，描述這幾個(gè)變量之間的一致性程度的量，稱為肯德爾和諧系數(shù)。它常用來表示幾個(gè)評(píng)定者對(duì)同一組學(xué)生成績(jī)用等級(jí)先后評(píng)定多次之間的一致性程度。無相同等級(jí)的情況當(dāng)同一位評(píng)定者對(duì)所有被評(píng)事物的評(píng)定無相同等級(jí)時(shí)，其肯德爾和諧系數(shù)的計(jì)算公式為：例如，4位教師對(duì)6個(gè)學(xué)生作文競(jìng)賽的名次排列次序如表第（2）列所示，問評(píng)定的一致性程度如何？

有相同等級(jí)的情況當(dāng)同一位評(píng)定者對(duì)所有被評(píng)事物的評(píng)定有相同等級(jí)時(shí)，其肯德爾和諧系數(shù)的計(jì)算公式為：同一位教師對(duì)5份研究生入學(xué)考試政治試卷根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)先后3次等級(jí)評(píng)定結(jié)果如下表所示，問3次評(píng)定結(jié)果的相關(guān)程度如何？3定性—定距尺度的相關(guān)：質(zhì)量相關(guān)質(zhì)量相關(guān)是指一個(gè)變量為質(zhì)，另一個(gè)變量為量，這兩個(gè)變量之間的相關(guān)。如智商、學(xué)科分?jǐn)?shù)、身高、體重等是表現(xiàn)為量的變量，男與女、優(yōu)與劣、及格與不及格等是表現(xiàn)為質(zhì)的變量。質(zhì)與量的相關(guān)主要包括二列相關(guān)、點(diǎn)二列相關(guān)、多系列相關(guān)。

7.2兩個(gè)變量間的相關(guān)分析二列相關(guān)當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)變量．其中一個(gè)變量被人為地劃分成二分變量(如按一定標(biāo)推將屬于正態(tài)連續(xù)變量的學(xué)科考試分?jǐn)?shù)劃分成及格與不及格，錄取與未錄取，把某一體育項(xiàng)目測(cè)驗(yàn)結(jié)果劃分成通過與未通過，達(dá)標(biāo)與末達(dá)標(biāo)，把健康狀況劃分成好與差，等等)，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為二列相關(guān)。

二列相關(guān)的使用條件

①兩個(gè)變量都是連續(xù)變量，且總體呈正態(tài)分布，或總體接近正態(tài)分布，至少是單峰對(duì)稱分布。②兩個(gè)變量之間是線性關(guān)系。③二分變量是人為劃分的，其分界點(diǎn)應(yīng)盡量靠近中值。④樣本容量應(yīng)當(dāng)大于80。

二列相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式

例：15名初三畢業(yè)生，其中重點(diǎn)中學(xué)有5人，非重點(diǎn)中學(xué)有10人，其高中入學(xué)考試英語(yǔ)分?jǐn)?shù)如表11.10,問中學(xué)的類別與英語(yǔ)考試成績(jī)的相關(guān)情況如何？

點(diǎn)二列相關(guān)

當(dāng)兩個(gè)變量其中一個(gè)是正態(tài)連續(xù)性變量，另一個(gè)是真正的二分名義變量(例如，男與女，已婚和未婚，色盲與非色盲，生與死，等等)，這時(shí)，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為點(diǎn)二列相關(guān)。

例如，18個(gè)五歲男女幼兒擲砂袋(150克)成績(jī)?nèi)缦卤恚瑔栃詣e與投擲成績(jī)的相關(guān)情況如何?

多系列相關(guān)

當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)變量，其中一個(gè)變量按不同質(zhì)被人為地分成多種類別(兩類以上)的正態(tài)名義變量。表示正態(tài)連續(xù)變量與多類正態(tài)名義變量之間的相關(guān)，稱為多系列相關(guān)。例如，學(xué)生的智商與學(xué)習(xí)努力程度之間的關(guān)系，智商和學(xué)習(xí)努力程度都是正態(tài)連續(xù)變量，但學(xué)習(xí)努力程度被人為地分成“努力”、“中等”、“不努力”三種類別，二者的相關(guān)稱為三系列相關(guān)。又如，不同學(xué)習(xí)成績(jī)的學(xué)生對(duì)某種教學(xué)改革的態(tài)度分為“極其不贊成”、“不贊成。、“不置可否”、“贊成”、“極其贊成”。學(xué)習(xí)成績(jī)與態(tài)度之間的相關(guān)稱五系列相關(guān)。

多系列相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式

4定性—定性尺度的相關(guān)：品質(zhì)相關(guān)

兩個(gè)變量都是按質(zhì)劃分成幾種類別，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為品質(zhì)相關(guān)。如，一個(gè)變量按性別分成男與女，另一個(gè)變量按學(xué)科成績(jī)分成及格與不及格；又如，一個(gè)變量按學(xué)校類別分成重點(diǎn)及非重點(diǎn)，另一個(gè)變量按學(xué)科成績(jī)分成優(yōu)、良、中、差，等等。根據(jù)兩個(gè)變量的性質(zhì)及所分類別的多少，分為四分相關(guān)、φ相關(guān)及列聯(lián)相關(guān)。

7.2兩個(gè)變量間的相關(guān)分析四分相關(guān)

當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連