第五章 機(jī)器臂動(dòng)力學(xué)

操作臂的動(dòng)力學(xué)

動(dòng)力學(xué)研究的是物體的運(yùn)動(dòng)和受力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題根據(jù)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩或力，計(jì)算操作臂的運(yùn)動(dòng)(關(guān)節(jié)位移、速度和加速度)；動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題一一已知軌跡運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩或力。所采用的方法很多．有拉格朗日方法、牛頓—?dú)W拉方法方法、高斯(Gauss)方法、凱恩(Kane)方法、旋量對(duì)偶數(shù)方法、羅伯遜—魏登堡方法等。研究機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的是多方面的。動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題與操作臂的仿真研究有關(guān)、逆問(wèn)題是為了實(shí)時(shí)控制的需要，利用動(dòng)力學(xué)模型、實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，以期達(dá)到良好的動(dòng)態(tài)性能相最優(yōu)指標(biāo)。由于動(dòng)力學(xué)實(shí)時(shí)計(jì)算的復(fù)雜性，在實(shí)現(xiàn)控制時(shí)，都要作某些簡(jiǎn)化假設(shè)。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)性能的最優(yōu)控制和自適應(yīng)控制至今還未用于機(jī)器人產(chǎn)品，仍是個(gè)有待研究的課題。連桿的速度由（2－13）可以知道任一點(diǎn)p在兩坐標(biāo)系中的描述Ap和BP之間的關(guān)系兩邊求導(dǎo)：旋轉(zhuǎn)矩陣的導(dǎo)數(shù)由旋轉(zhuǎn)變換通式(2.58)可知：角速度算子矩陣上式兩端除以t，并取極限在任意矢徑P處引起的線速度為：歐拉角描述的角速度剛體的速度和加速度對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得：旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的連桿運(yùn)動(dòng)的傳遞旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的連桿運(yùn)動(dòng)的傳遞移動(dòng)關(guān)節(jié)的連桿速度傳遞示例平面2R機(jī)械手如圖所．用遞椎法求出末端桿的速度和角速度，雅可比，角加速度和線加速度。（1）建立如圖坐標(biāo)系（2）寫(xiě)出D-H參數(shù)表iαi-1ai-1θidi100θ1020l1θ2030l200示例（3）寫(xiě)出連桿變換矩陣示例（4）速度遞推示例（5）寫(xiě)出末端桿坐標(biāo)系中表示的雅可比矩陣（6）計(jì)算基礎(chǔ)坐標(biāo)系中表示的速度遞推關(guān)系由此可知示例雅可比矩陣的四種求解方法：求導(dǎo)法；矢量積法；微分運(yùn)動(dòng)法；速度遞推法（7）寫(xiě)出基礎(chǔ)坐標(biāo)系中表示的雅可比矩陣寫(xiě)成矩陣形式：連桿靜力學(xué)分析忽略重力影響得：力和力矩在自身坐標(biāo)系中表示：旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：移動(dòng)關(guān)節(jié)：寫(xiě)成矩陣形式：得力雅可比矩陣：基礎(chǔ)坐標(biāo)系中表示的力雅可比矩陣：4.3

機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)4.3.1

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平移作為回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)分析根據(jù)牛頓第二定律和若把這一運(yùn)動(dòng)看成是桿長(zhǎng)為r，集中質(zhì)量在末端為m的桿件繞z軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則得到加速度和力的關(guān)系式為式中，和N是繞z軸回轉(zhuǎn)的角加速度和轉(zhuǎn)矩。上式為質(zhì)點(diǎn)繞固定軸回轉(zhuǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式。I相當(dāng)于平移運(yùn)動(dòng)時(shí)的質(zhì)量，稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

。將它們代入前面的方程，得：令，則有：例：求圖所示的質(zhì)量為M，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的勻質(zhì)桿繞其一端回轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。解：勻質(zhì)桿的微段dx的質(zhì)量用線密度ρ（=M/L）表示為dm=ρdx。該微段產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。因此，把dI在長(zhǎng)度方向上積分，可得該桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為：例：試求上例中桿繞其重心回轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IC。解：先就桿的一半來(lái)求解，然后加倍即可。假定x為離桿中心的距離，則得到即平行軸定理：剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心且與該軸平行之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與此兩軸間距離平方的乘積。設(shè)剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心C的Zc軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IZC，對(duì)與Zc軸平行的Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IZ，該兩軸間的距離為d，剛體的質(zhì)量為M，則4.3.2

Newton-Euler遞推動(dòng)力學(xué)方程如果將機(jī)械手的連桿看成剛體，它的質(zhì)心加速度、總質(zhì)量m與產(chǎn)生這一加速度的作用力f之間的關(guān)系滿足牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律:當(dāng)剛體繞過(guò)質(zhì)心的軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)，角速度ω，角加速度，慣性張量與作用力矩n之間滿足歐拉方程：慣性張量令｛c｝是以剛體的質(zhì)心c為原點(diǎn)規(guī)定的一個(gè)坐標(biāo)系，相對(duì)于該坐標(biāo)系｛c｝，慣性張量定義為３×３的對(duì)稱(chēng)矩陣：式中，對(duì)角線元素是剛體繞三坐標(biāo)軸x，y，z的質(zhì)量慣性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素為慣性積。

慣性張量表示剛體質(zhì)量分布的特征。其值與選取的參考坐標(biāo)系有關(guān)，若選取的坐標(biāo)系使慣性積都為零，相應(yīng)的質(zhì)量慣性矩為主慣性矩。例：如圖所示的1自由度機(jī)械手。假定繞關(guān)節(jié)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IZ，z軸為垂直紙面的方向。解：式中，g是重力常數(shù)，把上面三式代入歐拉方程且只提取z軸分量得到：zmg4.3.3

Lagrange動(dòng)力學(xué)對(duì)于任何機(jī)械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總的動(dòng)能K與總的勢(shì)能P之差，即L=K-P。這里，L是拉格朗日算子；k是動(dòng)能；P是勢(shì)能。

或

利用Lagrange函數(shù)L，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程（稱(chēng)為第二類(lèi)Lagrange方程）為：（動(dòng)能是關(guān)節(jié)變量和關(guān)節(jié)速度的函數(shù)，勢(shì)能是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)）表示動(dòng)能，表示勢(shì)能。例：平面RP機(jī)械手如圖所示，連桿1和連桿2的質(zhì)量分別為m1和m2，質(zhì)心的位置由l1和d2所規(guī)定，慣性張量為（z軸垂直紙面）：解：連桿1，2的動(dòng)能分別為：機(jī)械手總的動(dòng)能為連桿1，2的勢(shì)能分別為機(jī)械手總的位能（勢(shì)能）為計(jì)算各偏導(dǎo)數(shù)將以上結(jié)果代入Lagrange方程得附：就前面的1自由度機(jī)械手用Lagrange法求解如下：總勢(shì)能為代入Lagrange方程得，與前面的結(jié)果一致。這里I=IZ=IC+mL2C解：總動(dòng)能

（θ為廣義坐標(biāo)）zmg１.若1自由度機(jī)械手為勻質(zhì)連桿，質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，結(jié)果會(huì)怎樣？２.若1自由度機(jī)械手為集中質(zhì)量連桿，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，集中質(zhì)量m在連桿