借“一例多解”之功達(dá)“增效減負(fù)”之效 論文

借“一例多解”之功達(dá)“增效減負(fù)”之效中對(duì)幾種方法的合理選擇和應(yīng)用.關(guān)鍵詞：含參數(shù)的函數(shù)，一例多解，增效減負(fù)引文:根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題教學(xué)。在“減負(fù)不減效”的政策要求下，師生要向課堂45分鐘要效率，為了提高例題教學(xué)的教學(xué)效率，要摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”，在解題教學(xué)過(guò)程中應(yīng)充分發(fā)揮每一個(gè)例題的功效，“一例多解”不僅可提高課堂教學(xué)效率，實(shí)現(xiàn)增效減負(fù)，而且還可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。含參數(shù)問(wèn)題的幾種常見(jiàn)解法---分類(lèi)討論法、數(shù)形結(jié)合法、參變分離法，省去了列舉、講解效。（注：本文例題選自《萬(wàn)唯中考試題研究》（第14年14版）第51頁(yè)的練習(xí)6----一道含參數(shù)的二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題）一.一道例題---一例多解<例>點(diǎn)A(m,n)為二次函數(shù)y=ax2-（a+1）x-2 (a>0)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)0<m≤3時(shí),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)始終在直線(xiàn)y=-求a的取值范圍.

x+2的上方，1.參變分離法（1）方法概述而求出原問(wèn)題的解，這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，避免分類(lèi)討論。（2）解題思路分析二次函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)A(m,n)與點(diǎn)A'(m,-n)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，由于A(yíng)'(m,-n)始終在直線(xiàn)y=-x+2-n)及直線(xiàn)上的點(diǎn)A’‘(m，-m+2）的縱坐標(biāo)，得出在0<m≤3時(shí)恒成立的不等式-am2+(a+1)a+2m+2>-m+

a >m在0<m≤3時(shí)恒成立問(wèn)題，然后取m的最大值，可得出關(guān)于參數(shù)a的不等式，進(jìn)而求出a的取值范圍。（3）求解過(guò)程動(dòng)點(diǎn)A(m,n)與點(diǎn)A'(m,-n)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)A(m,n)在二次函數(shù)y=ax2-(a+1)x-2（a>0）上，所以n=am2-(a+1)m-2，從而-n=-am2+(a+1)m+2（a>0）.又(m,-n)始終在直線(xiàn)y=-x+2以-am2+(a+1)m+2>-m+2在0<m≤3時(shí)恒成立.即am2-(a+2)m<

0在0<m≤3時(shí)恒成立，即am–(a+2)<0在0<m≤3+2>m在0<m≤3時(shí)恒成立，所以只需a+2大于m的最大值a aa即可.又因?yàn)?<m≤3,所以只需a+2>3（a>0），解得0<a<1.所a以a的取值范圍是0<a<1.2．分類(lèi)討論法（1）方法概述境下求解問(wèn)題，這樣有助于更周全、更有條理地解決問(wèn)題。（2）解題思路分析動(dòng)點(diǎn)A(m,n)與點(diǎn)A'(m,-n)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，由于A(yíng)'(m,-n)始終在直線(xiàn)y=-x+2-n)及直線(xiàn)上橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)A’‘(m，-m+2)的縱坐標(biāo)，可得出在0<m≤3時(shí)恒成立的不等式-am2+(a+1)m+2>- m+2，即0<m≤3時(shí)am2-(a+2)m<0恒成立.構(gòu)造二次函數(shù)y=am2-(a+2)m（0<m≤由于函數(shù)表達(dá)式中含有參數(shù)a，需對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而求出參數(shù)a的取值范圍.（3）求解過(guò)程二次函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)A(m,n)與點(diǎn)A'(m,-n)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)A(m,n)在二次函數(shù)y=ax2-(a+1)x-2（a>=am2-(a+1)m-2（a>-n=-am2+(a+1)m+2（a>(m,-n)始終在直線(xiàn)y=-x+2的上方，所以-am2+(a+1)m+2>- m+2在0<m≤am2-(a+2)m<0在0<m≤3時(shí)恒成立。構(gòu)造二次函數(shù)y=am2-(a+a+2=1+1>1，2 a 2①當(dāng)1<1+1<3即a>2時(shí)，如圖1，在0<m≤1+1時(shí)，當(dāng)

m的增2 2 a 5 2 a大時(shí)y減小，當(dāng)1+1<m≤3時(shí)，當(dāng)

m的增大時(shí)y增大，而且當(dāng)m=0時(shí)，y=2 a0;當(dāng)m=3時(shí)y=6a-6.所以要使am2-(a+2)m<0在0<m≤3時(shí)恒成立，只需6a-6<0<><a<5 5②當(dāng)12

+1≥3，即0<a≤2時(shí)，如圖2，在0<m≤3時(shí)，當(dāng)

m的增5a大時(shí)y減小，又當(dāng)m=0時(shí)，y=0.所以在0<m≤3時(shí)y<0恒成立.即當(dāng)5a20<a≤ 時(shí),25am2-(a+2)m<0在0<m≤3時(shí)恒成立. 圖1 圖2綜合①②可得，a

的取值范圍是0<a<1.3.數(shù)形結(jié)合法（1）方法概述數(shù)形結(jié)合兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形的直觀(guān)性這兩方面優(yōu)點(diǎn)。以數(shù)助形即用數(shù)量加深對(duì)知識(shí)的理解，以及深刻認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)。（2）解題思路分析動(dòng)點(diǎn)A(m,n)與點(diǎn)A'(m,-n)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，由于A(yíng)'(m,-n)始終在直線(xiàn)y=-x+2-n)及直線(xiàn)上橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)A’‘(m，-m+2)的縱坐標(biāo)，可得出在0<m≤3時(shí)不等式-am2+(a+1)m+2>- m+2在0<m≤3時(shí)恒成立，然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)y1=-am2+(a+1)m+2(a>0), y2=- m+

a的取值范圍.（3）求解過(guò)程動(dòng)點(diǎn)A(m,n)與點(diǎn)A'(m,-n)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楫?dāng)0<m≤3時(shí)，A'(m,-n)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)A(m,n)在二次函數(shù)y=ax2-(a+1)x-2（a>=am2-(a+1)m-2（a>0）

從而-n=-am2+(a+1)m+2（a><m≤3時(shí)，A'(m,-n)始終在直線(xiàn)y=-x+2的上方，所以-am2+(a+1)m+2>-m+2在0<m≤3時(shí)恒成立。構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)：y1=-am2+(a+1)m+2（a>0）,y2=- m+2.則-am2+(a+1)m+2>-m+2在0<m≤3時(shí)恒成立，即y1>y2在0<m≤3時(shí)恒成立，也即當(dāng)0<m≤3時(shí)，函數(shù)y1的圖像在函數(shù)y2圖像的上方.因?yàn)閍a+2 1>0，-a<0，則y1的圖像是一開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸是m=2a

=+21 1>1 13，a 2 2由圖易知，只需當(dāng)m=3時(shí)y1>y2即可，從而得圖3-9a+3(a+1)+2> -3+2，求出a<1.又a>0，故得到0<a<1.二．兩道習(xí)題----方法的應(yīng)用1． 參變分離法的應(yīng)用練習(xí)=x2-ax-3,y2=-2x+3a,當(dāng)-3<x<3時(shí),y1>y2a的取值范圍.解：當(dāng)-3<x<3時(shí),y1>y2，即當(dāng)-3<x<3時(shí)，不等式x2-ax-3>-2x+3a恒成立，即當(dāng)-3<x<3時(shí)，不等式（x+3）a<x2+2x-3恒成立.因?yàn)楫?dāng)-3<x<3時(shí)，（x+3）>-3<x2+2x-3x<3時(shí)，a<

x+3即a<x-1恒成立，又當(dāng)-3<x<3時(shí)，-4<x-1<2，所以a<-4.2． 分類(lèi)討論法與數(shù)形結(jié)合法的綜合應(yīng)用練習(xí)2：已知A（a，-2），B（-a，1-2a），若二次函數(shù)y=x2-ax-3的圖像與線(xiàn)段AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.解：①當(dāng)a>0時(shí)，如圖4，yyyx-ax-3OxA(a,-2)B(-a,1-2a)圖4當(dāng)x=a時(shí)，y=a2-a2-3=-3<-2；當(dāng)x=-a時(shí)，y=a2+a2-3=2a2-3,要二次函數(shù)y=x2-ax-3的圖像與線(xiàn)段AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)-3≥1-+a-2≥-1)(a+2)≥0，得a≥1或a≤-2.又因?yàn)閍>0，故得出a≥1.②當(dāng)a<0時(shí)，如圖5，圖5當(dāng)x=a時(shí)，y=a2-a2-3=-3<-2；當(dāng)x=-a時(shí)，y=a2+a2-3=2a2-3.要二次函數(shù)y=x2-ax-3的圖像與線(xiàn)段AB-3≥1-+a-2≥-1)(a+2)≥a≥1或a≤-2.又因?yàn)閍<，故得出a-2.綜合①②，可得a的取值范圍為a≥1或a≤-2三．全文小結(jié)題的