知識(shí)講解-三角恒等變換綜合-基礎(chǔ)

三角恒等變換綜合編稿：丁會(huì)敏 審稿：王靜偉【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2、 能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式3、 能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4、 能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶).【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：兩角和、差的正、余弦、正切公式sin(a±P)=①；cos(a±。)=②；tan(a±。)=③；要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗降倪m用條件(定義域)：公式①、②對(duì)任意實(shí)數(shù)a，B都成立，這表明①、②是R上的恒等式;公式③中a,。6R'且a、0、a±P^―+k丸(kgZ)2正向用公式①、②，能把和差角(a±P)的弦函數(shù)表示成單角a，B的弦函數(shù)；反向用，能把右邊結(jié)構(gòu)復(fù)雜的展開(kāi)式化簡(jiǎn)為和差角(a±P)的弦函數(shù).公式③正向用是用單角的正切值表示和差角(a±p)的正切值化簡(jiǎn).要點(diǎn)二：二倍角公式1.在兩角和的三角函數(shù)公式Sa邙，Ca邙，T+p中，當(dāng)a=0時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式2a2a2asin2a=(S)；2aC0s2a=(C)；2atan2a=(T).2a要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸诠絊,C中，角a沒(méi)有限制，但公式Te中，只有當(dāng)以。：+羅和以。蘭+k兀(kGZ)時(shí)TOC\o"1-5"\h\z2a2a 2aa 4 2 2才成立；余弦的二倍角公式有三種：cos2a=cos2a一sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；解題對(duì)應(yīng)根據(jù)不同函數(shù)名的需要，函數(shù)不同的形式，公式的雙向應(yīng)用分別起縮角升冪和擴(kuò)角降冪的作用.aa 3a二倍角公式不僅限于2a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，?是"的二倍，3a是京24 2的二倍等等，要熟悉這多種形式的兩個(gè)角相對(duì)二倍關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用二倍角公式，這是靈活運(yùn)用這些公式的關(guān)鍵.要點(diǎn)三：二倍角公式的推論升冪公式：1+cos2a=2cos2a， 1-cos2a=2sin2a降冪公式：sinacosa=—sin2a；2. 1一cos2asin2a= ；2+cos2acos2a= .2要點(diǎn)四：三角恒等變換的基本題型三角式的化簡(jiǎn)、求值、證明是三角恒等變換的基本題型：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角：③三角公式的逆用等.(2)化簡(jiǎn)要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù).三角函數(shù)的求值類(lèi)型有三類(lèi)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀(guān)察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如以=(a+p)-P,2a=(a+p)+(a-P)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角.三角等式的證明三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明.【典型例題】類(lèi)型一：正用公式

(1)(2)…? (1)(2)…? 2已知sma=-—,agti.—ti3 "2求sin2a的值；求cos(a-P)的值.1,cos[3=a，|3Gr3兀)

——,2k.I2J【思路點(diǎn)撥】(1)由題意知，cosa=-季，然后利用二倍角公式求得sin2a的值.(2)求得2^2sinP 然后利用兩角差的余弦公式可求解.…、、 4^5 4^2->/5［答案］(1)(2) °9 9(_3兀'(_3兀'<2)一刃/■,礙COSOC=— 3,礙COSOC=— 3后4遙— = 3J三二2丸，得sin[3=一號(hào)言I2sin2a=2sinacosa=2x1(2)QCOSP=-,PG/.cos(a-P)=coscccosP+sinasinP必1f2)「2^2)=— X—+——X— TOC\o"1-5"\h\z33I3)( 3,4^2-^" 9舉一反三：【變式1】求值：sinl5°=；sin75°=；cos75°r欠安i V6+V2^6-V2【答案]— 4T~/7_/n【解析】sinl5°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°= ,4sin75°=sin(30°+45。)=sin30°cos45°+cos300sin45°=如:很,cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°= 4【變式2】已知tana和tan&是方程2x2+x-6=0的兩個(gè)根，求tan(a+P)的值.1【答案】o

【解析】由韋達(dá)定理，得tana+tan0=-一，tana-tan0=-3，2TOC\o"1-5"\h\ztana+tan0 1...tan(a+0)= =——.1—tana-tan0 8例2.已知n<B<a<竺，cos(a—B)=12，sin(Q+B)=—3，求sin2a的值.2 4 13 5【思路點(diǎn)撥】因?yàn)?a=(a+0)+(a-0)，分別求出a+0和a—0的正弦值和余弦值，利用兩角和的正弦公式可求解.【答案】一7765n0n0Va—BV—4兀，c, ,3n 3丁—VBVaV—，.，.n〈a+B<—4 2sin(sin(a+B)=—*cos(a+B)=一512cos(a—B)=—，13sin(a—B)=1356...sin2a=sin[(a+B)+(a—B)]=—g.65【總結(jié)升華】(1)解題中應(yīng)用了2a=(a+0)+(a—0)式子的變換，體現(xiàn)了靈活解決問(wèn)題的能力，應(yīng)著重體會(huì)，常見(jiàn)的變換技巧還有0=(a+0)—a,20=(a+0)—(a—0),2a+0=(a+0)+a等.(2)已知某一個(gè)(或兩個(gè))角的三角函數(shù)值，求另一個(gè)相關(guān)角的三角函數(shù)值，基本的解題策略是從“角的關(guān)系式”入手切入或突破?角的關(guān)系主要有互余(或互補(bǔ))關(guān)系，和差(為特殊角)關(guān)系，倍半關(guān)系等.對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題，則需要兩種關(guān)系的混合運(yùn)用.舉一反三：3【變式1】已知sina=*，a是第二象限角，且tan(a+0)=1，求tan20的值.TOC\o"1-5"\h\z工、 7【答案】-力24…. 3一…一，， 3【解析】由sina=二且a是弟一象限角，得tana=—丁，5 4(a+0)—a=0，tan(a+0)—tana ?tan0=tan[(a+0)—a]= =7.1+tan(a+0)tana2tan0tan20=—1—tan20 24

兀 4—兀 兀、【變式2】已知cos（。一）=一一，且一<0〈兀，求cos（20+ ）的值.12 5 2 123K/2【答案】p【解析】角的關(guān)系式：20+言=2（0-三）+：（和差與倍半的綜合關(guān)系）

12 12 4?/cos（0-—）=-—，且—<0<k,?sin（0-—）=—12 5 2 12 5一— — — 24sin2（0-—）=2sin（0-—）cos（0-—）=一——12 12 12 25— — 7cos2（0-—）=2cos2（0-一）-1=一12 12 25???cos（20+生）.=cos［2（0-竺）+生］壹［cos2（0-生）-sin2（0-蘭）］12 12 4 2 12 12<2724、3K2=一（一+一）= 22525 50類(lèi)型二：逆用公式兀.悟.——兀.悟.——cos—+sin—；12 2 12（1）sin24°cos36°+cos24°cos54°；（2）1+tan750（3）1一tan750而從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)應(yīng)逆用和角公式等先化簡(jiǎn)再計(jì)算.【思路點(diǎn)撥】題目中涉及到的角并非特殊角，而從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)應(yīng)逆用和角公式等先化簡(jiǎn)再計(jì)算.（1） 若將式中的cos54°改寫(xiě)為sin36。則恰為兩角和的正弦；（2） 中將其轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，然后可以逆用公式；（3） 利用tan45°=1將1+tan15°視為tan45°+tan15°,將1-tan15°視為1-tan45°tan15°，則式子恰為兩角和的正切. _【答案】（1）寸（2）三2（3）*''3【解析】⑴原式二sin24°cos36°+cos24°sin36°=sin（24°+36°）、2（2）原式fn30°cos15°+cos30°sin15°=sin（30°+15°）工2一, tan450+tan15o（3）原式= =tan（450+15。）=tan600=\：3.1一tan450tan150【總結(jié)升華】①把式中某函數(shù)作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換之后，再逆用兩角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所謂“逆用公式”.

②輔助角公式：asina+bcosa=<a2+b2sin（a+甲），其中角中在公式變形過(guò)程中自然確定.舉一反三：【變式1】求值：（1）sin164o-sin224o+sin254°-sin314o；(2)sin200cos1100+cos1600sin700；(3)sin347o-cos148。+sin77。-cos58。【答案】（1）1/2（2）-1（3）1/2【解析】（1）1原式=-sin16o-sin44o+cos16o-cos44o=cos(16o+44o)=—；（1）2(2)原式=-sin200cos700-cos200sin700=-sin(200+700)=-1；(3)原式=-(3)原式=-cos74osin44o+sin74ocos44o=sin(74o-44o)=sin30o=12【變式2】下列各式中，值為1的是（兀【變式2】下列各式中，值為1的是（兀A.cos15°sin15° b.2cos2—-112：1+cos30°V2tan22.5°1-tan222.5°【答案】D；11【解析】cos15°sin15°=sin30°=；24沁哇-1=cos三=亨：1+cos30°\； 2―=cos15°tan22.5° 12tan22.5°

1-：1+cos30°\； 2―=cos15°tan22.5° 12tan22.5°

1-tan222.5° 21-tan222.5°11

=—tan45°=.2 2例4.求值:(1)cos36°cos72°；(2)cos—7兀2 3cos—兀cos—兀7 7【思路點(diǎn)撥】問(wèn)題的特征是角存在倍角關(guān)系，且都是余弦的乘積.方法是分子分母（分母視為1）同乘以最小角的正弦.【答案】（1）1/4（2）1/8【解析】（1）原式=sin360cos360cos72。sin360sin720cos720 1sin1440 1=—X =—X =—sin360 4sin360 4TOC\o"1-5"\h\z兀 2 4 兀 2 4(2)原式=cos—cos兀cos(兀一一兀)=一cos—cos兀cos—兀7 7 7 7 7 7.兀 兀 2 4_sin—cos—cos兀cos—兀7 7 7 7sin—7224sin兀cos兀cos—兀7 7 7兀2sin—78sin—兀_7q?兀8sin78【總結(jié)升華】此種類(lèi)型題比較特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一個(gè)角是前一個(gè)角的倍；③最大角的2倍與最小角的和與差是兀.三個(gè)條件缺一不可.另外需要注意2的個(gè)數(shù).應(yīng)看到掌握了這些方法后可解決一類(lèi)問(wèn)題，若通過(guò)恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成具有這種特征的結(jié)構(gòu)，則可考慮采用這個(gè)方法.舉一反三：【變式】求值：cos20°cos40°cos80°【答案】18【解析】2sin20。cos20。cos40ocos80°2sin20。2sin20。2sin400cos400cos800 2sin800cos8008sin2002x2sin2008sin2008sin2008類(lèi)型三：變用公式例5.求值：(1)tan200+tan400+<3tan200tan400；(2)(1+tan2o)(1+tan43o)【思路點(diǎn)撥】表示兩個(gè)正切的和，可以“湊”公式的變形：tan以+tanp=些±竺烏(1-tanatanP)

1-tanatanP=tan(a+P)(1-tanatanP).tan200+tan400(1)中20o+40o=60o，又tan(200+400)=—1-tan200tan400變形：tan200+tan400=%'3(1-tan200tan400).

【答案】(1)*(2)2【解析】(1)原式=tan(200+400)(1-tan200tan400)+七'3tan200tan400=<3-七3tan200tan400+、3tan200tan400=、3.(2)原式=1+tan2。+tan43。+tan2。tan43。=1+tan(20+430)(1-tan20tan430)+tan20tan430=1+1-tan20tan430+tan20tan430=2【總結(jié)升華】本題是利用了兩角和正切公式的變形，找出tana+tanP,tanatanP與tan(a+0)三者間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即所謂“變用公式”解決問(wèn)題；變用公式在一些解三角問(wèn)題中起著重要作用，需靈活掌握.但它是以公式原型為基礎(chǔ)，根據(jù)題目需要而采取的辦法，如tan45°=1，sin2a+cos2a=1.舉一反三：【變式1】求值：tan22o+tan23°+tan22°-tan23°=.【答案】12cos2a2cos2a-1(1)sin50。(1+t3tan10。)；(2)2tan(—-a)sin2(—+a)TOC\o"1-5"\h\z4【思路點(diǎn)撥】題中首先“化切為弦”，同時(shí)用好“50?！焙汀?0?！钡幕ビ嚓P(guān)系，注意逆用和角公式化簡(jiǎn)；— — —題初看有“化切為弦”，“降冪”等諸多想法，但首先應(yīng)注意到(項(xiàng)-a)+(丁+a)==這個(gè)關(guān)系.4 4 2【答案】(1)1(2)1【解析】 _3sin100、(1)原式=sin50o(1+ )cos100cos100+%3sin100=sin500 cos100sin300cos100+cos300sin100=2sin500 cos100sin400 2cos400sin400=2sin500 cos100 cos100sin800 cos100 = =1cos100cos100、一卜 cos2a(2)原式= - —，一— —一2tan(—-a)sin2[——(—-a)]

cos2以-?兀TOC\o"1-5"\h\z2sin(一以) _ 4 ?cos2(--a)cos(4-a) 4cos2aC?/— —2sin(—-a)cos(—-a)44cos2a cos2asin(--2a"插詼=1【總結(jié)升華】（1） 三角變換所涉及的公式實(shí)際上正是研究了各種組合的角（如和差角，倍半角等）的三角函數(shù)與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系.因而具體運(yùn)用時(shí)，注意對(duì)問(wèn)題所涉及的角度及角度關(guān)系進(jìn)行觀(guān)察.（2） 三角變換中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角變換中經(jīng)常用到降冪公式：1+cos2a . 1一cos2acos2a= ,sin2a=2舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：1 <3（1）sin10o【答案】（1）【解析】sin80o4舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：1 <3（1）sin10o【答案】（1）【解析】sin80o4⑶'；‘31(2) +tan100cos500（1）原式寸3 cos10o-、3sin10o4sin(30o-10o)= =4；sin10ocos10o sin10ocos10o1sin100 1sin100(2)原式二——+ = +~cos500cos100 sin400sin800sin20o2cos40。+cos80°sin800cos40°+2cos600cos20° 2cos30°cos10°=3sin80°sin800類(lèi)型四：三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用一-已知函數(shù)f（X）=2cos（wx+：）（其中①>0,xGR）的最小正周期為10兀6例7.（1）求w的值;(2)、n_Q 八-（1）求w的值;(2)、n_Q 八-5\ 6 5\ 16設(shè)a,pe0，a,f(5a+3-)=-5,f(5P-6兀)=百,求cos(a+p)的值.【思路點(diǎn)撥】（1）由T=10n可得3的值；（2）化簡(jiǎn)所給的已知條件，求得cosa、sinB的值，將cos（a+B）展開(kāi)，代入數(shù)據(jù)即可.13【答案】(1)1/5(2)-—85【解析】（1）由T— =10〃得w=—w 5。- ,1p、(2)由(1)知f(x)=2cos(x+￡)

56?/f(5a+—)=2cos[4(5a。- ,1p、(2)由(1)知f(x)=2cos(x+￡)

56?/f(5a+—)=2cos[4(5a+—)+P]=2cos(a+P)=-2sina3 5 3 6 234sina- ，cosa--5 5迪)-2cos[i(5b-658 .[_15—，sinb--17 17f(5b-cosb二161715 13TOC\o"1-5"\h\z17517 85【總結(jié)升華】(1)給值求角的本質(zhì)還是給