直線與平面相交的交點(diǎn)的確定方法與可見(jiàn)性判定

見(jiàn)性判定摘要：直線與平面相交的交點(diǎn)的投影確定，對(duì)于特殊位置直線或特殊位置平面可以利用其投影的特殊性求解，對(duì)于一般位置直線與一般位置平面相交的交點(diǎn)需用輔助線法求解，其投影均須判別可見(jiàn)性。關(guān)鍵詞：直線與平面投影交點(diǎn)特殊位置直線有投影面平行線、投影面垂直線，特殊位置平面有投影面平行面、投影面垂直面。直線與平面相交的交點(diǎn)的確定方法與可見(jiàn)性判定的情況分析如下。、一般位置直線和一般位置平面相交如圖1(a)所示為求一般位置直線EF和一般位置平面AABC交點(diǎn)的投影，可通過(guò)直線EF作輔助平面P，與平面△ABC的交于直線MN，同在平面？上的兩直線EF和MN(MN為AABC上的一條直線)，必有一交點(diǎn)K，即為直線￡『與平面△ABC的交點(diǎn)。因?yàn)镵在EF上，又在MN上，所以必在EF和平面△ABC，即K為EF與平面^ABC的公有點(diǎn)，亦即所求的交點(diǎn)，見(jiàn)圖1(b)所示。這種求交點(diǎn)的方法稱為輔助平面法。(a) (b)圖1一般直線與一般平面相交通過(guò)輔助平面法求交點(diǎn)，具體分為三個(gè)步驟：過(guò)已知直線作一輔助平面。為使作圖簡(jiǎn)單，輔助平面應(yīng)選擇投影面的垂直面，如正垂面、鉛垂面等；求出輔助平面和已知平面的交線；已知直線和上述交線的交點(diǎn)，即為直線與平面的交點(diǎn)。下面通過(guò)圖2看一下求直線￡『和平面AABC的交點(diǎn)投影作圖方法。作圖方法如下：(a)已知條件(b)包含直線EF作鉛垂面P， (c)求出平面？與平面△ABC則鉛垂面P的水平投影P與的交線MN，因?yàn)殂U垂面P的Hef重合；水平投影具有積聚性，直接定出mn，再求出mznz；(d)交線的正面投影m'n'和直線EF的(e)判斷可見(jiàn)性。

正面投影e'f'正面投影e'f'的交點(diǎn)k，即為交點(diǎn)的正面投影，過(guò)k'向下作OX軸垂線和直線EF的水平投影ef相交，求出交點(diǎn)的水平投影k。圖2求作一般位置直線與一般位置平面的交點(diǎn)因?yàn)橹本€EF和平面^ABC均處于一般位置，H面、V面投影均要分別判斷可見(jiàn)性。先判斷正面投影的可見(jiàn)性。平面^ABC中的AC邊和直線EF的正面投影重影點(diǎn)為1'(2')。1點(diǎn)在EF上，II點(diǎn)在AC上，由1'(2')求出其水平投影1、2。由水平投影可以看出1在2的前面，說(shuō)明I點(diǎn)的y坐標(biāo)大于II點(diǎn)的y坐標(biāo)，即點(diǎn)I在點(diǎn)II的前方。向V面投影，EF上的I可見(jiàn)，AC上的II不可見(jiàn)，所以k'f'與^a'b'c'的重影部分為可見(jiàn)。那么，k'e'與Aa'^c'的重影部分就不可見(jiàn)。再判斷水平投影的可見(jiàn)性。平面△ABC中的BC邊和直線EF的水平投影重影點(diǎn)為3(4)，III點(diǎn)在EF上，IV點(diǎn)在BC邊上，由3(4)求出其正面投影3'、4'。由正面投影可以看出3'在4'的上面，說(shuō)明III點(diǎn)的z坐標(biāo)大于IV點(diǎn)的z坐標(biāo)，即點(diǎn)III在點(diǎn)IV的上方。向H面投影，EF上的III可見(jiàn)，BC上的IV不可見(jiàn)，所以ke與△abc重影部分可見(jiàn)。那么，kf與Aabc重影部分就不可見(jiàn)。二、一般位置直線與特殊位置平面相交見(jiàn)圖3所示求直線AB與P面的交點(diǎn)，并判別直線AB的可見(jiàn)性?？臻g示意圖如圖4所示。

圖3一般直線與P面相交圖4一般直線與P面相交空間示意方法如下：根據(jù)投影特性可以判定平面？是特殊位置平面，P面在H面的投影具有積聚性是鉛垂面，直線與P面在H面的積聚投影的交點(diǎn)即為直線AB與P面的交點(diǎn)。因其在H面上投影的特殊性，無(wú)需在H面判斷可見(jiàn)性，但在V面上須判定重影點(diǎn)的可見(jiàn)性。參照?qǐng)D2的可見(jiàn)性判斷方法，結(jié)果如下圖5所示。圖5一般直線與P面（鉛垂面）相交三、特殊位置直線與一般位置平面的交點(diǎn)見(jiàn)圖6所示求特殊位置直線MN與一般位置ABC平面的交點(diǎn)，并判別直線MN的可見(jiàn)性?？臻g示意圖如圖7所示。圖6特殊位置直線與一般位置平面相交7特殊位置直線與一般位置平面相交空間示意分析：根據(jù)投影特性可以判定直線MN是特殊位置直線（正垂線），三角形ABC是一般位置平面。交點(diǎn)是直線上的點(diǎn)也是三角形平面上的點(diǎn)。同時(shí)交點(diǎn)也在三角形平面上的輔助線上，參照?qǐng)D2的方法在正面投影的三角形平面上作輔助線求三角形水平投影的交點(diǎn)、在H面上判定重影點(diǎn)的可見(jiàn)性，結(jié)果如下圖8所示。圖8特殊位置直線（正垂線）與一般位置平面相交掌握了一般位置直線和一般位置平面