安徽省蕪湖二十九中2017屆九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析）新人教版

PAGE2017學(xué)年安徽省蕪湖二十九中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．為了迎接杭州G20峰會，某校開展了設(shè)計“YJG20”圖標(biāo)的活動，下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣2，則另一個根為（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣53．二次函數(shù)y=x2﹣2x+4化為y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正確的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+44．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B、D兩點間的距離為（）A． B．2 C．3 D．25．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，則?ABCD的周長為（）A．4+2 B．12+6 C．2+2 D．2+或12+66．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，則ba的值是（）A． B．﹣ C．4 D．﹣17．在如圖4×4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是（）A．點A B．點B C．點C D．點D8．拋物線y=2x2﹣2x+1與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知二次函數(shù)y=（x﹣h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或310．定義運算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的兩根，則b?b﹣a?a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．學(xué)校要組織一場籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排10場比賽，應(yīng)邀請個球隊參加比賽．12．點P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函數(shù)y=﹣x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是．13．如圖，一段拋物線：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；…如此進行下去，直至得到C6，若點P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=．14．已知∠AOB=60°，點P是∠AOB的平分線OC上的動點，點M在邊OA上，且OM=4，則點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值是．三.解答題15．先化簡，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣15=0．16．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）（2x﹣1）2=（3﹣x）2（2）x2﹣（2+1）x+2=0．17．為進一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014年以來，某縣加大了教育經(jīng)費的投入，2014年該縣投入教育經(jīng)費6000萬元．2016年投入教育經(jīng)費8640萬元．假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同．（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率；（2）若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元．18．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）畫出將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2O；（3）在x軸上存在一點P，滿足點P到A1與點A2距離之和最小，請直接寫出P點的坐標(biāo)．19．已知a、b、c是三角形的三條邊長，且關(guān)于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷三角形的形狀．20．如圖，將正n邊形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”．【探究證明】（1）請在圖1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”（△AOP）是等邊三角形；（2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′．【歸納猜想】（3）圖1、圖2中的“疊弦角”的度數(shù)分別為，；（4）圖n中，“疊弦三角形”等邊三角形（填“是”或“不是”）（5）圖n中，“疊弦角”的度數(shù)為（用含n的式子表示）21．某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米．（1）若苗圃園的面積為72平方米，求x；（2）若平行與墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由；（3）當(dāng)這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍．22．在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由；（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．23．如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（1）求點A，B，C的坐標(biāo)；（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積；（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2016-2017學(xué)年安徽省蕪湖二十九中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．為了迎接杭州G20峰會，某校開展了設(shè)計“YJG20”圖標(biāo)的活動，下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形．不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義．故錯誤；B、不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，沿這條直線對折后它的兩部分能夠重合；即不滿足軸對稱圖形的定義．也不是中心對稱圖形．故錯誤；C、不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，沿這條直線對折后它的兩部分能夠重合；即不滿足軸對稱圖形的定義．也不是中心對稱圖形．故錯誤；D、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故正確．故選：D．2．已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣2，則另一個根為（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣2，可以設(shè)出另一個根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求得另一個根的值，本題得以解決．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣2，設(shè)另一個根為m，∴﹣2+m=，解得，m=﹣1，故選B．3．二次函數(shù)y=x2﹣2x+4化為y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正確的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4【考點】二次函數(shù)的三種形式．【分析】根據(jù)配方法，可得頂點式函數(shù)解析式．【解答】解：y=x2﹣2x+4配方，得y=（x﹣1）2+3，故選：B．4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B、D兩點間的距離為（）A． B．2 C．3 D．2【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】通過勾股定理計算出AB長度，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出各對應(yīng)線段長度，利用勾股定理求出B、D兩點間的距離．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故選：A．5．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，則?ABCD的周長為（）A．4+2 B．12+6 C．2+2 D．2+或12+6【考點】平行四邊形的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法．【分析】先解方程求得a，再根據(jù)勾股定理求得AB，從而計算出?ABCD的周長即可．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴a2+2a﹣3=0，即（a﹣1）（a+3）=0，解得，a=1或a=﹣3（不合題意，舍去）．∴AE=EB=EC=a=1．在Rt△ABE中，AB===，∴BC=EB+EC=2，∴?ABCD的周長═2（AB+BC）=2（+2）=4+2．故選A．6．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，則ba的值是（）A． B．﹣ C．4 D．﹣1【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和已知x1+x2和x1?x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1?x2=﹣2b=1，解得a=2，b=﹣，∴ba=（﹣）2=．故選：A．7．在如圖4×4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】連接PP1、NN1、MM1，分別作PP1、NN1、MM1的垂直平分線，看看三線都過哪個點，那個點就是旋轉(zhuǎn)中心．【解答】解：∵△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，∴連接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分線過B、D、C，作NN1的垂直平分線過B、A，作MM1的垂直平分線過B，∴三條線段的垂直平分線正好都過B，即旋轉(zhuǎn)中心是B．故選B．8．拋物線y=2x2﹣2x+1與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】對于拋物線解析式，分別令x=0與y=0求出對應(yīng)y與x的值，即可確定出拋物線與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)．【解答】解：拋物線y=2x2﹣2x+1，令x=0，得到y(tǒng)=1，即拋物線與y軸交點為（0，1）；令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，解得：x1=x2=，即拋物線與x軸交點為（，0），則拋物線與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是2，故選C9．已知二次函數(shù)y=（x﹣h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3【考點】二次函數(shù)的最值．【分析】由解析式可知該函數(shù)在x=h時取得最小值1、x＞h時，y隨x的增大而增大、當(dāng)x＜h時，y隨x的增大而減小，根據(jù)1≤x≤3時，函數(shù)的最小值為5可分如下兩種情況：①若h＜1≤x≤3，x=1時，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，當(dāng)x=3時，y取得最小值5，分別列出關(guān)于h的方程求解即可．【解答】解：∵當(dāng)x＞h時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜h時，y隨x的增大而減小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1時，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，當(dāng)x=3時，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．綜上，h的值為﹣1或5，故選：B．10．定義運算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的兩根，則b?b﹣a?a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān)【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可找出a+b=1，ab=m，根據(jù)新運算，找出b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），將其中的1替換成a+b，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的兩根，∴a+b=1，ab=m．∴b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．故選A．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．學(xué)校要組織一場籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排10場比賽，應(yīng)邀請5個球隊參加比賽．【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【分析】設(shè)邀請x個球隊參加比賽，那么第一個球隊和其他球隊打（x﹣1）場球，第二個球隊和其他球隊打（x﹣2）場，以此類推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）場球，然后根據(jù)計劃安排10場比賽即可列出方程求解．【解答】解：設(shè)邀請x個球隊參加比賽，依題意得1+2+3+…+x﹣1=10，則=10，∴x2﹣x﹣20=0，∴解得：x1=5，x2=﹣4（不合題意，舍去）．故答案為：5．12．點P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函數(shù)y=﹣x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是y1=y2＞y3．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點，其對稱軸為x=1，圖象開口向下，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，P1（﹣1，y1）與（3，y1）關(guān)于對稱軸對稱，可判斷y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴對稱軸為x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，∵3＜5，∴y2＞y3，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，P1（﹣1，y1）與（3，y1）關(guān)于對稱軸對稱，故y1=y2＞y3，故答案為y1=y2＞y3．13．如圖，一段拋物線：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；…如此進行下去，直至得到C6，若點P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=﹣1．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點．【分析】將這段拋物線C1通過配方法求出頂點坐標(biāo)及拋物線與x軸的交點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道C1與C2的頂點到x軸的距離相等，且OA1=A1A2，照此類推可以推導(dǎo)知道點P（11，m）為拋物線C6的頂點，從而得到結(jié)果．【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴頂點坐標(biāo)為（1，1），∴A1坐標(biāo)為（2，0）∵C2由C1旋轉(zhuǎn)得到，∴OA1=A1A2，即C2頂點坐標(biāo)為（3，﹣1），A2（4，0）；照此類推可得，C3頂點坐標(biāo)為（5，1），A3（6，0）；C4頂點坐標(biāo)為（7，﹣1），A4（8，0）；C5頂點坐標(biāo)為（9，1），A5（10，0）；C6頂點坐標(biāo)為（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故答案為：﹣1．14．已知∠AOB=60°，點P是∠AOB的平分線OC上的動點，點M在邊OA上，且OM=4，則點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值是2．【考點】軸對稱-最短路線問題．【分析】過M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的長度等于點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，則MN′的長度等于PM+PN的最小值，即MN′的長度等于點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值，∵∠ON′M=90°，OM=4，∴MN′=OM?sin60°=2，∴點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值為2．三.解答題15．先化簡，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣15=0．【考點】分式的化簡求值．【分析】先算括號里面的，再算除法，最后算減法，根據(jù)x2+2x﹣15=0得出x2+2x=15，代入代數(shù)式進行計算即可．【解答】解：原式=?﹣=﹣=，∵x2+2x﹣15=0，∴x2+2x=15，∴原式=．16．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）（2x﹣1）2=（3﹣x）2（2）x2﹣（2+1）x+2=0．【考點】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）兩邊直接開平方后可得兩個一元一次方程，解之可得；（2）因式分解法求解可得．【解答】解：（1）直接開平方可得：2x﹣1=3﹣x或2x﹣1=x﹣3，解得：；（2）左邊分解因式得，，∴x﹣1=0或x﹣2=0，解得．17．為進一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014年以來，某縣加大了教育經(jīng)費的投入，2014年該縣投入教育經(jīng)費6000萬元．2016年投入教育經(jīng)費8640萬元．假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同．（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率；（2）若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元．【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)2014年該縣投入教育經(jīng)費6000萬元和2016年投入教育經(jīng)費8640萬元列出方程，再求解即可；（2）根據(jù)2016年該縣投入教育經(jīng)費和每年的增長率，直接得出2017年該縣投入教育經(jīng)費為8640×（1+0.2），再進行計算即可．【解答】解：（1）設(shè)該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：6000（1+x）2=8640解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合題意，舍去），答：該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為20%；（2）因為2016年該縣投入教育經(jīng)費為8640萬元，且增長率為20%，所以2017年該縣投入教育經(jīng)費為：y=8640×（1+0.2）=10368（萬元），答：預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費10368萬元．18．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）畫出將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2O；（3）在x軸上存在一點P，滿足點P到A1與點A2距離之和最小，請直接寫出P點的坐標(biāo)．【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對稱-最短路線問題；作圖-平移變換．【分析】（1）分別將點A、B、C向上平移1個單位，再向右平移5個單位，然后順次連接；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C以點O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點，然后順次連接即可；（3）利用最短路徑問題解決，首先作A1點關(guān)于x軸的對稱點A3，再連接A2A3與x軸的交點即為所求．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1為所求做的三角形；（2）如圖所示，△A2B2O為所求做的三角形；（3）∵A2坐標(biāo)為（3，1），A3坐標(biāo)為（4，﹣4），∴A2A3所在直線的解析式為：y=﹣5x+16，令y=0，則x=，∴P點的坐標(biāo)（，0）．19．已知a、b、c是三角形的三條邊長，且關(guān)于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷三角形的形狀．【考點】根的判別式；等腰三角形的判定．【分析】先根據(jù)有兩個相等的實數(shù)根，系數(shù)之間的關(guān)系必須滿足△=b2﹣4ac=0，列出方程后進行因式分解，找到a、b、c的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．【解答】解：由已知條件△=4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）=4（a﹣b）（a﹣c）=0，∴a=b或a=c，∵c﹣b≠0則c≠b，∴這個三角形是等腰三角形．20．如圖，將正n邊形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”．【探究證明】（1）請在圖1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”（△AOP）是等邊三角形；（2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′．【歸納猜想】（3）圖1、圖2中的“疊弦角”的度數(shù)分別為15°，24°；（4）圖n中，“疊弦三角形”是等邊三角形（填“是”或“不是”）（5）圖n中，“疊弦角”的度數(shù)為60°﹣（用含n的式子表示）【考點】幾何變換綜合題．【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再判斷出△APD≌△AOD'，最后用旋轉(zhuǎn)角計算即可；（2）先判斷出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判斷出Rt△APM≌Rt△AON即可；（3）先判斷出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，計算即可；（4）先判斷出△APF≌△AE′F′，再用旋轉(zhuǎn)角為60°，從而得出△PAO是等邊三角形；（5）用（3）的方法求出正n邊形的，“疊弦角”的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，∵四ABCD是正方形，由旋轉(zhuǎn)知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等邊三角形，（2）如圖2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五邊形，由旋轉(zhuǎn)知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO∴△APE≌△AOE'（ASA）∴∠OAE'=∠PAE．在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，????AE=AB∴Rt△AEM≌Rt△ABN（AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN∴Rt△APM≌Rt△AON（HL）．∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB（等量代換）．（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋轉(zhuǎn)得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∴∠D′AO=∠D′AB=15°，∵圖2的多邊形是正五邊形，∴∠EAB==108°，∴∠E′AB=∠EAB﹣∠EAE′=108°﹣60°=48°∴同理可得∠E′AO=∠E′AB=24°，故答案為：15°，24°．（4）如圖3，∵六邊形ABCDEF和六邊形A′B′C′E′F′是正六邊形，∴∠F=F′=120°，由旋轉(zhuǎn)得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋轉(zhuǎn)得，∠FAF′=60°，AP=AO∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等邊三角形．故答案為：是（5）圖n中的多邊形是正（n+3）邊形，同（3）的方法得，∠OAB=[（n+3﹣2）×180°÷（n+3）﹣60°]÷2=60°﹣．故答案：60°﹣．21．某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米．（1）若苗圃園的面積為72平方米，求x；（2）若平行與墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由；（3）當(dāng)這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍．【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意得方程求解即可；（2）設(shè)苗圃園的面積為y，根據(jù)題意得到二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）由題意得不等式，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（30﹣2x）x=72，解得：x=3，x=12，∵30﹣2x≤18，∴x=12；（2）設(shè)苗圃園的面積為y，∴y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，∵a=﹣2＜0，∴苗圃園的面積y有最大值，∴當(dāng)x=時，即平行于墻的一邊長15＞8米，y最大=112.5平方米；∵6≤x≤11，∴當(dāng)x=11時，y最小=88平方米；（3）由題意得：﹣2x2+30x≥100，∵30﹣2x≤18解得：6≤x≤10．22．在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由；（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】（1）延長EB交DG于點H，先證出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，再根據(jù)∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；