專題33幾何體中與球有關的切接問題

專題33幾何體中與球有關的切、接問題一、真題剖析【2022年新高考2卷】已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和4A．100π B．128π C．144π D．192π【答案】A【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r1,r2，所以2r1=33sin60°,2r2=43sin60°，即r故選：A．【試題情景】本題屬于課程學習情景，本題以立體幾何載體，考查幾何體的切接的問題?！颈貍渲R】本題要明確幾何體切接問題的處理方式。解決的途徑就是求解球的半徑。轉化為截面圓的問題。尋找直角三角形。球的截面的性質(1)球的任何截面是圓面；(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關系為r＝eq\r(R2－d2)幾個與球有關的切、接常用結論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.【能力素養(yǎng)】本題考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力，考查的學科素養(yǎng)是理想思維和數(shù)學探索，根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r1二、題型選講題型一、幾何體的外接球解決多面體的外接球問題，關鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點確定球心的準確位置．對于特殊的多面體還可采用補成正方體或長方體的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】設圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質平面，，球的表面積.故選：A.變式1、【2022年全國乙卷】已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．13 B．12 C．33【答案】C【解析】設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設四邊形ABCD對角線夾角為α，則S（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為2又r則V當且僅當r2=2?故選：C變式2、(2022·青島期初考試)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，eqAC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝\r(,2)，則三棱維P－ABC的外接球的體積為________；【答案】EQ\F(4,3)π【解析】由題意，因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，因為AC⊥BC，且PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故PB是三棱錐P－ABC的外接球的直徑，在Rt△APB中，eqAB＝\r(,2)，PA＝\r(,2)，所以PB＝2，可得外接球的半徑為R＝1，所以外接球的體積為eqV＝\f(4,3)πR\s\up6(3)＝\f(4,3)π．變式3、(2022·湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三起點考試)已知在三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的體積為A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取中點為，連接，證明球心在上，利用勾股定理得到半徑，再計算體積.【詳解】取中點為，連接，易知，在中：，又平面，為外心球心在上，設半徑為，球心為，在中：，解得，，故答案選A．變式4、（2022·山東日照·模擬預測）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設的中點為，因為是等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，四棱錐的體積是，，所以邊長，，設，，，，，.故選：A.變式5、（2022·山東濟寧·一模）在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【解析】當三棱錐的體積最大時平面平面，如圖，取的中點為，連接，則，設分別為外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且，且，平面，平面，因為平面平面，平面平面，平面，故平面，故，同理，，故四邊形為平行四邊形，因為平面，平面，故，故四邊形矩形，故，而，故外接球半徑，故外接球的表面積為，故答案為：題型二、幾何體的內切球求解多面體的內切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內切球的半徑．例2、（2021·山東高三其他模擬）如圖所示的由4個直角三角形組成的各邊長均為1的六邊形是某棱錐的側面展開圖，則該棱錐的內切球半徑為_________．【答案】【解析】將圖形還原得四棱錐，如圖，設內切球的球心為O，半徑為r，則有即，解得.故答案為：.變式1、【2022·廣東省珠海市第二中學10月月考】已知三棱錐的所有棱長都相等，現(xiàn)沿三條側棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內切球的體積為_______【答案】【解析】：三棱錐展開后為一等邊三角形，設此此三角形的邊長為．則，得．所以三棱錐的棱長為，可得棱長的高設內切球的半徑為，，得，所以變式2、【2022·廣東省珠海市第二中學10月月考】已知三棱錐的所有棱長都相等，現(xiàn)沿三條側棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內切球的體積為_______【答案】【解析】：三棱錐展開后為一等邊三角形，設此此三角形的邊長為．則，得．所以三棱錐的棱長為，可得棱長的高設內切球的半徑為，，得，所以變式3、（2022·江蘇通州·高三期末）將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A′－BD－C，設三棱錐A′－BDC的外接球和內切球的半徑分別為r1，r2，球心分別為O1，O2.若正方形ABCD的邊長為1，則________；O1O2＝__________.【答案】##【分析】由題可得，然后利用等積法可得，最后利用球的性質即求.【詳解】設，則，∴三棱錐A′－BDC的外接球，點即為，∵將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A′－BD－C，又，∴平面，平面，∴，，∴，，∴，解得，∴，設球與平面，平面BCD分別切于P，Q，則為正方形，∴.故答案為：，.變式4、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球為圓錐的內切球，球與圓錐內切時的軸截面如圖所示，其中，且點M為BC邊上的中點，設內切圓的圓心為，由于，故，設內切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.三、追蹤訓練1、【2022年新高考2卷】已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（A．100π B．128π C．144π D．192π【答案】A【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r1,r2，所以2r1=33sin60°,2r2=43sin60°，即r故選：A．2、（2021·江蘇南通市高三三模）已知四棱錐的側面PAD為正三角形，底面ABCD為矩形，且面面ABCD，若，則該四棱錐內可以放置最大的球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取AD的中點E，BC的中點F，連接PE，EF，PF，由對稱性可知四棱錐內可以放置最大的球的半徑即為直角△內切圓的半徑，【解析】取AD的中點E，BC的中點F，連接PE，EF，PF，則由平面平面ABCD可知平面ABCD，.由對稱性可知四棱錐內可以放置最大的球的半徑即為直角△內切圓的半徑，其中，.故選：B．3、(2022·江蘇南京市金陵中學高三10月月考)三棱錐的所有頂點都在球的各棱長為：，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由各棱長結合勾股定理知為直三棱錐，有面，進而求出的外接圓半徑，由外接球半徑與、的幾何關系即可求出，最后求外接球表面積即可.【詳解】由題意知：，，，∴兩兩垂直，即為直三棱錐，∴若的外接圓半徑為，則，又面，∴外接球心到的距離為，故外接球半徑，∴外接球表面積.故選：B.4、（2022·江蘇海門·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長為，側棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（）A．16π B． C．8π D．【答案】B【分析】探求正四棱錐的頂點P在底面上射影與球O的球心關系即可計算作答.【詳解】在正四棱錐中，連接AC，BD，，連，如圖，則有平面，為側棱PA與底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，頂點P，A，B，C，D在以為球心，2為半徑的球面上，即點O與重合，所以球O的體積是.故選：B5、（2022·江蘇如東·高三期末）已知三棱錐P－ABC的外接球半徑為4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，則三棱錐P－ABC體積的最大值是（）A． B． C．24π D．【答案】A【分析】由已知可得的外接圓的半徑,由余弦定理和基本不等式可得底面面積的最大值，點P到平面的距離的最大值為，由所得最值結合體積公式即可得到答案.【詳解】由已知可得，的外接圓的半徑，且由余弦定理得，（當且僅當時取等號）所以,又外接球的球心到平面的距離為，所以點P到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為.故選：A6、（2022·山東煙臺·模擬預測）《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，，當陽馬體積的最大值為時，塹堵的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B7、（2022·河北張家口·高三期末）在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biēnào）.如圖，三棱錐為一個鱉臑，其中平面，，，，為垂足，則（）A．平面B．為三棱錐的外接球的直徑C．三棱錐的外接球體積為D．三棱錐的外接球體積與三棱錐的外接球體積相等【答案】BC【分析】利用線面垂直的判定可判斷A選項的正誤；利用直角三角形的性質可判斷B選項的正誤；確定球心的位置，求出三棱錐的外接球的半徑，利用球體的體積公式可判斷C選項的正誤；求出三棱錐的外接球半徑，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，如下圖，過點向引垂線，垂足為，平面，平面，則，，，則平面，又、平面，所以，，，，，則平面，這與平面矛盾，A錯；對于B選項，平面，平