八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)培優(yōu)專題-如何做幾何證明題(含答案)初中教育

圖4所示，AB＝圖4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。求證：FD⊥ED證明一：連結(jié)ADABAC，BDD的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。...證明一線段和的問(wèn)題〔一〕在較長(zhǎng)線段上截取一線BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。求證：AC＝AE＋CD分析：在AC上截取AF＝AE。易它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線如何做幾何證明題1.幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。類問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題?！?〕綜合法〔由因?qū)Ч常瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；〔2〕分析法〔執(zhí)果索因〕從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的例1.已知：如圖1所示，ABC中，C90，ACBC，ADDB，AECF。312FOCFCDC1203460DOC(AAS)...即ACAECD〔二〕延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部52145312FOCFCDC1203460DOC(AAS)...即ACAECD〔二〕延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部52145即∠GAE＝∠FAEGEEFEFBEDF[實(shí)戰(zhàn)模擬]...1.已知：如圖11所示，ABC中BEBAC2BBAC2E又BACADEE...ADEE，ADAEBCCEACAEACAD3.證明：延在ABC和CDA中，ABCD，BCAD，ACCAABCCDA(SSS)BDABCD，AEBEDF在BAAECDFBCD，易得CDAD，ACBCABACB90，ADCDBDAD，AECF，AADECDFDEDFDCF45。從而不難發(fā)現(xiàn)DCFDAEDBDCBBADCB，ADCD線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ED到G，使DG＝DE，連結(jié)BG，證EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例2.已知：如圖2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F圖4所示，AB＝圖4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。求證：FD⊥ED證明一：連結(jié)ADABAC，BDD明：延長(zhǎng)CA至E，使CE＝CB，連結(jié)ED在CBD和CED中，CBCEBCDECDCDCDCBDCED助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置EEADBCF在ABC和CDA中，ABCD，BCAD，ACCAABCCDA(SSS)BDABCD，AEBEDF在BCE和DAFBEDFBDCFBCDABCEDAF(SAS)EF〔2〕添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形2、證明直線平行或垂直錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖1段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖1所示，ABC中等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：〔1〕制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；〔2〕添輔BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。求證：AC＝AE＋CD分析：在AC上截取AF＝AE。易BEBAC2BBAC2E又BACADEE...ADEE，ADAEBCCEACAEACAD3.證明：延.證明：∵∠ADC=∠ABC，且∠2=∠ADE，∠CBF=∠ABF，故∠2=∠ABF，又∠2=∠1，因此∠1=∠ABF，∴DE∥BF.例4.已知：如圖4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。AAF1BDECABAC，BDDC∠1∠290，∠DAE∠DAB∠BAC90，BDDCBDAD∠B∠DAB∠DAE在ADE和BDF中，AEBF，∠B∠DAE，ADBDADEBDFFDED52145即∠GAE＝∠52145即∠GAE＝∠FAEGEEFEFBEDF[實(shí)戰(zhàn)模擬]...1.已知：如圖11所示，ABC中助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：〔1〕制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；〔2〕添輔示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，EAF45。求證：EF＝BE＋DF分析：此題若仿照例1.3、證明一線段和的問(wèn)題例5.已知：如圖6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。求證：AC＝AE＋CDBBDO5A6CEF分析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，F(xiàn)OCDOC，F(xiàn)CDC證明：在AC上截取AF＝AEBADAEO又B60CAD，AOAOAFOSASFOCFCDCDOC(AAS)段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。〔截長(zhǎng)法〕例5.已知：如圖6段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。〔截長(zhǎng)法〕例5.已知：如圖6所示在ABC中，B60，∠，C90，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交122.已知：如圖12所示，在ABC中，A2B，CD是∠段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖1所示，ABC中ADCD說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的.即ACAECD該線段等于較長(zhǎng)線段。〔補(bǔ)短法〕GGA312BEDFC分析：此題若仿照例1，將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB至G，使BG＝DF。證明：延長(zhǎng)CB至G，使BG＝DF在正方形ABCD中，ABGD90，ABADABGADF(SAS)AGAF，13又EAF45即∠GAE＝∠FAEGEEFEFBEDF圖4所示，AB＝圖4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。求證：FD⊥ED證明一：連結(jié)ADABAC，BDDB45，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD，易得CDAD，證明：連結(jié)CDACBCABACB90，ADCD的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。...證明一線段和的問(wèn)題〔一〕在較長(zhǎng)線段上截取一線示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，EAF45。求證：EF＝BE＋DF分析：此題若仿照例1BC于E，且有ACADCE。求證：DECD.12AACDEB求證：BC＝AC＋ADAADCB3.已知：如圖13所示，過(guò)ABC的頂點(diǎn)A，在∠A內(nèi)任引一射線，過(guò)B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MP＝MQ圖4所示，AB圖4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。求證：FD⊥ED證明一：連結(jié)ADABAC，BDD等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：〔1〕制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；〔2〕添輔明：延長(zhǎng)CA至E，使CE＝CB，連結(jié)ED在CBD和CED中，CBCEBCDECDCDCDCBDCED助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置.AAQBCPMCC4A1F3DEBACADAFCDAFCCDE90DF在正方形ABCD中，DF在正方形ABCD中，ABGD90，ABADABGADF(SAS)AGAF，13又EAF45234上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ED到G，使DG＝DE，連結(jié)BG，證EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一CE和DAFBEDFBDCF中，BCDABCEDAF(SAS)EF說(shuō)明：利用三角形全等證明線段求角相∠ABC和∠ADC，∠1=∠2，證明：DE∥FB...證明：∵∠ADC=∠ABC，且∠2=∠ADE，.ACCEACFCED(ASA)CFED1DECD2線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段。EEADCB證明：延長(zhǎng)CA至E，使CE＝CB，連結(jié)ED在CBD和CED中，CBCEBCDECDCDCDCBDCEDBEBAC2BBAC2E又BACADEE∠ABC和∠ADC∠ABC和∠ADC，∠1=∠2，證明：DE∥FB...證明：∵∠ADC=∠ABC，且∠2=∠ADE，BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。求證：AC＝AE＋CD分析：在AC上截取AF＝AE。易往上逆求，直到已知事實(shí)為止；〔3〕兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比