概率論課件第九章

引言上一講，我們介紹了總體、樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布的概念，介紹了統(tǒng)計(jì)中常用的三大分布，給出了幾個(gè)重要的抽樣分布定理.它們是進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ).

總體樣本統(tǒng)計(jì)量描述作出推斷研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).隨機(jī)抽樣

現(xiàn)在我們來(lái)介紹一類(lèi)重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題

參數(shù)估計(jì)問(wèn)題是利用從總體抽樣得到的信息來(lái)估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).估計(jì)廢品率估計(jì)新生兒的體重估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)……估計(jì)降雨量第七章參數(shù)估計(jì)實(shí)際工作中碰到的隨機(jī)變量往往是知道大致的分布類(lèi)型，但不知道確切的分布。需要根據(jù)樣本來(lái)估計(jì)總體的參數(shù)。這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為參數(shù)估計(jì)。通常有兩種方法：(1)點(diǎn)估計(jì)：以樣本的某一函數(shù)值作為總體中未知參數(shù)的估計(jì)值。(2)區(qū)間估計(jì)：依據(jù)樣本把總體的參數(shù)確定在某一范圍內(nèi)。（假定身高服從正態(tài)分布）設(shè)這5個(gè)數(shù)是:1.651.671.681.781.69

估計(jì)μ為1.68，這是點(diǎn)估計(jì)估計(jì)在區(qū)間[1.57,1.84]內(nèi)，這是區(qū)間估計(jì).例如:我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高.

現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（5個(gè)數(shù)）求出總體均值的估計(jì).而全部信息就由這5個(gè)數(shù)組成.尋求點(diǎn)估計(jì)量的方法:1.矩估計(jì)法2.極大似然法3.最小二乘法4.貝葉斯方法……這里我們主要介紹前面兩種方法.§1.1點(diǎn)估計(jì)（定值估計(jì)）(一)矩估計(jì)法利用樣本的數(shù)字特征作為總體數(shù)字特征的估計(jì)。燈泡的平均壽命約為1147小時(shí)例2用矩法估計(jì)事件發(fā)生的概率p即可用事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)概率。聯(lián)立求解可得矩估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)：直接、簡(jiǎn)便缺點(diǎn)：未充分利用分布信息

例3:

設(shè)總體X在[a,b]上服從均勻分布,a,b未知.是來(lái)自X的樣本,試求a,b的矩估計(jì)量.解(1)(2)解得于是a,b的矩估計(jì)量為樣本矩總體矩由公式（1）和（2）

矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類(lèi)型已知時(shí)，沒(méi)有充分利用分布提供的信息.一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.

其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性.（二)最大似然法

它是在總體類(lèi)型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.

它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇.

費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).最大似然法的基本思想先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子：一只野兔從前方竄過(guò).是誰(shuí)打中的呢？某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測(cè)，你會(huì)如何想呢?只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下.

你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率.看來(lái)這一槍是獵人射中的.兩人射擊，一人打中，一人沒(méi)打中，認(rèn)為打中者技術(shù)較好。

這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想.解：有放回地抽取3個(gè)球，若取到0個(gè)或1個(gè)白球，認(rèn)為袋中黑球多。若取到2個(gè)或3個(gè)白球，認(rèn)為袋中白球多。即選擇使觀(guān)察結(jié)果概率較大的參數(shù)。這種方法稱(chēng)為最大似然法。最大似然估計(jì)原理：則應(yīng)將概率改為L(zhǎng)（x1,x2,…,xn,θ）看作參數(shù)θ的函數(shù)，它可作為θ將以多大可能產(chǎn)生樣本值x1,x2,…,xn的一種度量.說(shuō)明：1、求似然函數(shù)L(θ)的最大值點(diǎn)，可以應(yīng)用微積分中的技巧。由于ln(x)是x的增函數(shù),lnL(θ)與L(θ)在θ的同一值處達(dá)到它的最大值，