高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

作業(yè)分析：

第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(n∈N*);知識(shí)梳理：根式與指數(shù)冪的概念3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)a>0,b>0,則aras=ar+s(r,s∈Q);(ar)s=ars(r,s∈Q);(ab)r=arbr(r∈Q).4.指數(shù)函數(shù)的定義形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).5.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=ax

a>1

0<a<1圖象定義域(-∞,+∞)值域(0,+∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x<0時(shí),y>1在(-∞,+∞)上是增函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)考點(diǎn)訓(xùn)練DDC答案:D5.(2010·山東青島二模)若y=e|x|(x∈[a,b])的值域?yàn)閇1,e2],則點(diǎn)(a,b)的軌跡是圖中的()A.線(xiàn)段BC和OC B.線(xiàn)段AB和BCC.線(xiàn)段AB和OA D.線(xiàn)段OA和OC解析:據(jù)題意當(dāng)a=-2,0≤b≤2時(shí),函數(shù)的值域符合條件,其軌跡為圖中線(xiàn)段AB,當(dāng)-2≤a≤0,b=2時(shí),函數(shù)值域符合條件,此時(shí)其軌跡為圖中線(xiàn)段BC,故選B.B

題型一 指數(shù)函數(shù)的圖象解題準(zhǔn)備:指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示,則0<c<d<1<a<b.在y軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在y軸左側(cè),圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小;即無(wú)論在y軸的左側(cè)還是右側(cè),底數(shù)隨逆時(shí)針?lè)较蜃兇?

典例研習(xí):

[分析]本題要考慮去絕對(duì)值符號(hào),把函數(shù)解析式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,再作出圖象,然后根據(jù)圖象尋求其單調(diào)遞增區(qū)間和值域.解題準(zhǔn)備:(1)復(fù)合函數(shù)問(wèn)題,應(yīng)細(xì)致分析由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成,討論此類(lèi)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)分層逐一求解;(2)換元法,通過(guò)換元將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,求解過(guò)程應(yīng)注意中間變量的取值范圍及轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.類(lèi)型二 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

[分析]求定義域與值域時(shí)可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì),結(jié)合函數(shù)自身有意義去求,對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通常利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,“同則增,異則減”的原則.

(2)由函數(shù)解析式可知定義域?yàn)镽,∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,則t>0,f(t)=t2-2t-5,故f(t)=(t-1)2-6.又∵t>0,∴當(dāng)t=1時(shí),ymin=-6,故函數(shù)f(x)的值域是[-6,+∞).由于t=2x是增函數(shù),∴要求f(x)的增區(qū)間實(shí)際上是求f(t)的增區(qū)間,求f(x)的減區(qū)間實(shí)際上是求f(t)的減區(qū)間.∵f(t)在(0,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增.故由t=2x≥1得x≥0;由t=2x≤1得x≤0,∴f(x)的增區(qū)間是[0,+∞),減區(qū)間是(-∞,0].題型三 指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題解題準(zhǔn)備:指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要函數(shù),與其他知識(shí)綜合是高考考查的熱點(diǎn).解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),并注意分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法.

[分析]先研究函數(shù)定義域,再依照奇偶函數(shù)的定義判斷奇偶性;對(duì)于單調(diào)性,可結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析;對(duì)于恒成立問(wèn)題,則可借助單調(diào)性,求出f(x)的最值,再求解b的范圍.

(2)當(dāng)a>1時(shí),a2-1>0,y=ax為增函數(shù),y=a-x為減函數(shù),從而y=ax-a-x為增函數(shù),所以f(x)為增函數(shù).當(dāng)0<a<1時(shí),a2-1<0,y=ax為減函數(shù),y=a-x為增函數(shù),從而y=ax-a-x為減函數(shù).所以f(x)為增函數(shù).故當(dāng)a>0,且a≠1時(shí),f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

[剖析]上述解法錯(cuò)誤的原因在于忽視了換元后新元t的范圍.事實(shí)上,新元t∈(0,+∞).錯(cuò)源一 忽視換元后新元的取值范圍易錯(cuò)掃描

[評(píng)析]換元法不管在什么情況下使用,都必須要注意確定新元的范圍,因?yàn)樗菗Q元后的新函數(shù)的定義域.【典例2】如果函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,試求a的值.錯(cuò)源二 忽視對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論造成漏解

[剖析]本題的錯(cuò)解在于忽視了對(duì)參數(shù)a的討論,誤認(rèn)為a>1.當(dāng)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)時(shí),要先對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,確定單調(diào)性,進(jìn)而解決問(wèn)題.[正解]設(shè)t=ax,則y=t2+2t-1=(t+1)2-2.當(dāng)a>1時(shí),t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍);當(dāng)0<a<1時(shí),t∈[a,a-1],ymax=(a-1)2+2a-1-1=14,解得a=

或a=(舍).故所求a的值為3或

.

技法一 快速解題(構(gòu)造函數(shù))【典例1】已知x,y是實(shí)數(shù),且3x+5y>3-y+5-x,則下列式子成立的是( )A.x+y>0 B.x+y<0C.x-y<0 D.x-y>0技能指導(dǎo)[答案]A一?若底數(shù)相同,則可用單調(diào)性比較【典例2】若0<a<1,則a,aa,aaa大小順序是________.[解析]因?yàn)閒(x)=ax(0<a<1)在x∈R上是減函數(shù),又0<a<1,所以a0>aa>a1,所以aa0<aaa<aa1,即a<aaa<aa.[答案]a<aaa<aa技法二 四種策略比較指數(shù)大小【典例3】比較0.7a與0.8a的大小.[解]設(shè)函數(shù)y=0.7x與y=0.8x,則兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系如圖.當(dāng)x=a≥0時(shí),0.8a≥0.7a;當(dāng)x=a<0時(shí),0.8a<0.7a.[方法與技巧]對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)值的大小的比較,利用圖象法求解快捷而準(zhǔn)確.二?若指數(shù)相同,則可用圖象比較三?若底數(shù)與指數(shù)均不同,則可用中間值1【典例4】比較30.4與0.43的大小.[解]因?yàn)閥=3x是增函數(shù),所以30.4>30=1,又y=0.4x是減函數(shù),所以0.43<0.40=1,故30.4>