基于模糊自適應(yīng)的feng混沌系統(tǒng)的設(shè)計

基于模糊自適應(yīng)的feng混沌系統(tǒng)的設(shè)計

1模糊自適應(yīng)控制器控制機關(guān)在過去的20年中，作為非線性科學研究的一個重要領(lǐng)域，混合系統(tǒng)的控制得到了越來越多的關(guān)注，并在工程和其他領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。目前,控制混沌的方法有很多,如OGY方法、延遲反饋控制、滑?？刂?、反步控制等。反步控制方法是一種比較新的控制非線性系統(tǒng)的方法,但是這種方法較大的一個缺點是構(gòu)造的控制器結(jié)構(gòu)往往比較復雜。最近,模糊邏輯系統(tǒng)在非線性系統(tǒng)的逼近中得到越來越多的運用,并被證明是一種非常有效的方法。2011年,YuJP等運用自適應(yīng)模糊控制器控制永磁電動機中的混沌取得較好的效果,但是他沒有考慮輸入的擾動項及系統(tǒng)參數(shù)識別。同年,FengCW等提出了一種新的三維自治混沌系統(tǒng)。Feng混沌系統(tǒng)是對經(jīng)典蔡氏系統(tǒng)的一個改進,對這個系統(tǒng)的研究具有一定的意義。本文首先設(shè)計參數(shù)觀測器,對Feng系統(tǒng)中的未知參數(shù)進行識別;借助于反步控制方法,在存在輸入擾動項的情況下,利用模糊邏輯系統(tǒng)逼近求解過程中出現(xiàn)的復雜的非線性函數(shù),構(gòu)造模糊自適應(yīng)控制器控制馮混沌系統(tǒng);把本文的結(jié)果與傳統(tǒng)的反步控制方法進行比較;最后,通過仿真實驗驗證本文控制方法的有效性和實用性。2模糊邏輯系統(tǒng)的建立Feng系統(tǒng)的數(shù)學模型為:˙x=a(z-f(x))˙y=&f(x)-y+z˙z=&-by-cz(1)x˙=a(z?f(x))y˙=&f(x)?y+zz˙=&?by?cz(1)其中,f(x)一般用分段的線性函數(shù)來表示:f(x)=αx-12(β-α)(|x+1|-|x-1|)f(x)=αx?12(β?α)(|x+1|?|x?1|)系統(tǒng)(1)中,x,y,z為系統(tǒng)狀態(tài)變量,a,b,c,α,β為系統(tǒng)參數(shù)。當a=6,b=20,c=0.01,α=1,β=-3時,系統(tǒng)存在一個典型的混沌吸引子,如圖1所示。為了控制該混沌系統(tǒng),我們在系統(tǒng)(1)的第二個狀態(tài)方程中增加一個控制量u.于是系統(tǒng)可以改寫為:˙x=a(z-f(x))˙y=f(x)-y+z+u+η(x,y,z,t)˙z=-by-cz(2)x˙=a(z?f(x))y˙=f(x)?y+z+u+η(x,y,z,t)z˙=?by?cz(2)η(x,y,z,t)為輸入的擾動項,并假設(shè)|η|≤λ,λ>0為未知參數(shù);在系統(tǒng)(2)中,參數(shù)c的作用非常重要?，F(xiàn)假設(shè)所有的系統(tǒng)參數(shù)中,只有c是未知的?？刂颇繕耸窃O(shè)計一個自適應(yīng)的模糊控制器使狀態(tài)變量x跟蹤一個參考信號ˉxxˉ,并且使閉環(huán)系統(tǒng)有界。為了完成控制目標,采用單值模糊化、乘積推理和中心平均去模糊化演化如下的模糊規(guī)則:Ri:如果x1為Fi1并且?并且xn為Fin,那么y為Bi,i=1,2,?Ν其中,x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn,y∈R為模糊系統(tǒng)的輸入和輸出。Fij和Bi為R上的模糊集合。模糊邏輯系統(tǒng)根據(jù)模糊規(guī)則把Rn上的模糊集合映射到R上的模糊集合。模糊系統(tǒng)的輸出可以表示為:y(x)=Ν∑j=1Wjn∏i=1μFji(xi)Ν∑j=1[n∏i=1μFji(xi)]式中Wj為隸屬函數(shù)μBj(Wj)達到最大值的點。進一步可以假設(shè)μBj(Wj)=1。定義模糊基函數(shù)pj(x)=n∏i=1μFij(xi)Ν∑j=1[n∏i=1μFji(xi)],令S(x)=[p1(x),p2(x),…,pN(x)]T,W=[W1,…,WN]T,于是模糊邏輯系統(tǒng)可以改寫為:y(x)=WΤS(x)若隸屬函數(shù)采用Gaussian型,上述模糊邏輯系統(tǒng)可以在任意精度上一致逼近定義在致密集上任何一個的非線性函數(shù)。引理2.1對于任何定義在致密集U∈Rn上的連續(xù)函數(shù)f及任意的ε>0,一定存在如式(3)的模糊邏輯系統(tǒng)y,使得:supx∈U|f(x)-y(x)|<ε3參數(shù)識別和模糊自適應(yīng)控制器的設(shè)計3.1增益函數(shù)z本節(jié)主要建立觀測器對馮系統(tǒng)中的未知參數(shù)c進行識別。因為c是系統(tǒng)(2)中的常數(shù),我們可以假設(shè)˙c=0。令?c為未知參數(shù)c的估計值。根據(jù)系統(tǒng)(2)的最后一個方程可得cz=-by-˙z.設(shè)計觀測器為:˙?c=-G(z)[?cz-(-by-˙z)](4)G(z)為增益函數(shù)。引入變量?c=?c-c,則˙?c=˙?c=-G(z)z?c.如果我們選擇增益函數(shù)G(z)使得系統(tǒng)˙?c+G(z)z?c=0對所有的z都是指數(shù)穩(wěn)定的?則?c依指數(shù)收斂于c.由于(4)中含有˙z是不可直接觀測的,所以我們引入變量p:p=?c+Q(z)(5)其中,Q(z)滿足:G(z)=dQ(z)dz.根據(jù)(4)和(5)可得:˙p=˙?c+G(z)˙z=-G(z)zp+G(z)Q(z)z-bG(z)y(6)且有?c=p-Q(z)(7)實際上,對Q(z)的選擇可以有很多種,對于系統(tǒng)(1)來說,當t→∞時所有的變量都是有界的,我們這里可以取Q(z)=12z2,觀測器則變?yōu)?˙p=-z2p+12z4-byz(8)?c=p-12z2(9)3.2反思2:模糊邏輯系統(tǒng)k1e21-ke2,本節(jié)主要利用反步控制方法構(gòu)造模糊自適應(yīng)控制器控制混沌系統(tǒng)(2)。反步方法主要包含三個步驟,每一步我們利用Lyapunov函數(shù)定義一個虛擬的控制函數(shù)αi,i=1,2。Step1:對參考信號ˉx,定義跟蹤誤差變量e1=x-ˉx,設(shè)ˉx為一個常數(shù)。根據(jù)系統(tǒng)(2)的第一個方程,有:˙e1=˙x=a(z-f(x))。定義Lyapunov函數(shù)為V1=12e21,則˙V1=e1˙e1=e1a(z-f(x))(10)取虛擬的控制律α1為:α1=-ˉk1e1+f(x)(11)其中ˉk1為大于零的常數(shù)。把(11)及z=e2+α1代入(10)可得:˙V1=ae1(e2+α1-f(x))=-k1e12+ae1e2k1=ˉk1a為設(shè)計參數(shù),e2=z-α1.Step2:對e2求導,有:˙e2=˙z-˙α1=-by-?cz-˙α1(12)這里定義˙α1也為分段函數(shù)。并且在x=1,x=-1處取常數(shù)。定義Lypunov函數(shù)V2=V1+12e22,則:˙V2=˙V1+e2˙e2=-k1e21+e2(ae1-by-?cz-˙α1)(13)于是α2可取為:α2=1b(k2e2+ae1-?cz-˙α1)(14)k2>0為設(shè)計參數(shù)。把y=e3+α2代入(13)得:˙V2=-k1e21-k2e22-be2e3(15)Step3:對e3求導,得:˙e3=˙y-˙α2=f(x)-y+z+u+η-˙α2定義Lypunov函數(shù)V3=V2+12e32,得到:˙V3=-k1e21-k2e22+e3(-be2+f(x)-y+z+u+η-˙α2)=-k1e21-k2e22+e3(F+u+η)這里F=-be2+f(x)-y+z-˙α2.注意到F中含有α2的導數(shù),這將使傳統(tǒng)的反步控制器的設(shè)計非常復雜,并且控制器u也具有非常復雜的結(jié)構(gòu)。為了避免這些問題,采用如式(3)的模糊邏輯系統(tǒng)來逼近非線性函數(shù)F.根據(jù)引理1,任意的ε>0,都存在模糊邏輯系統(tǒng)WTS使得:F=WΤS+δ(17)這里δ為逼近誤差且滿足|δ|<ε.經(jīng)過放縮有下面的不等式成立:e3F=e3WΤS+e3δ=le3WΤSl+e3δ≤e232l2∥W∥2SΤS+12l2+12e23+12ε2其中l(wèi)為大于零的常數(shù)。把上式代入(16),定義θ=‖W‖2,可以得到:˙V3≤-k1e21-k2e22+e23θ2l2SΤS+12l2+12e23+12ε2+e3(u+η)(18)注意到e3η≤|e3|λ,可以構(gòu)造控制器u為:u=-k3e3-12e3-e23?θ2l2SΤS-sign(e3)?λ(19)其中?θ為未知參數(shù)θ的估計值,?λ為未知參數(shù)λ的估計值,sign為符號函數(shù)。把(19)代入(18),有:˙V3≤-k1e21-k2e22-k3e23+e23(θ-?θ)2l2SΤS+|e3|(λ-?λ)+12l2+12ε2(20)引入變量?θ=?θ-θ,?λ=?λ-λ,并定義Lypunov函數(shù)為V=V3+12r1?θ2+12r2?λ2,ri>0,i=1,2為常數(shù)。根據(jù)(20)有:˙V≤-3∑i=1kie2i+1r1?θ(-r1e232l2SΤS+˙?θ)+1r2?λ(-|e3|r2+˙?λ)+12l2+12ε2(21)根據(jù)(21)自適應(yīng)律可以定義為:˙?θ=r1e232l2SΤS-n1?θ(22)˙?λ=|e3|r2-n2?λ(23)其中n1,n2為大于零的常數(shù)。定理3.1考慮系統(tǒng)(2)和給定的信號ˉx,利用控制器(19)可以使跟蹤誤差在有限的時間內(nèi)逼近到原點的一個充分小的鄰域內(nèi),并且閉環(huán)系統(tǒng)有界。證明將(22)、(23)代入(21)可得˙V≤-3∑i=1kie2i+12l2+12ε2-n1r1?θ?θ-n2r2?λ?λ(24)注意到-?θ?θ=-?θ(?θ+θ)≤-12?θ2+12θ2,同理-?λ?λ≤-12?λ2+12λ2?(24)可以改寫為˙V≤-AV+B(25)其中,A=min{2k1,2k2,2k3,n1,n2}?B=12l2+12ε2+n12r1θ2+n22r2λ2.進一步有V(t)≤(V(t0)-BA)e-A(t-t0)+BA≤V(t0)+BA,?t≥t0(26)且有ei,i=1,2,3和?θ都屬于緊集Ψ={(zi,?θ)|V(t)≤V(t0)+BA}。所以,所有的閉環(huán)系統(tǒng)有界。特別地,根據(jù)(26),有l(wèi)imt→∞z21≤2BA根據(jù)A,B的定義,可以知道通過調(diào)整一些參數(shù)的值可以使跟蹤誤差充分接近于0。證畢。4模糊隸屬函數(shù)的初始設(shè)置設(shè)初始條件為:x=0.5,y=0.5,z=0.6?？刂破鲄?shù)取為k1=20,k2=90,k3=100,r1=15,r2=1,l=1,n1=n2=0.005,η(x,y,z,t)=-0.5x2cost-0.3y2-0.7z2sint.跟蹤目標ˉx=2??c的初值設(shè)為0.02。對于模糊隸屬函數(shù),本文選取7個高斯型隸屬函數(shù)均勻覆蓋在區(qū)間[-3,3]。仿真選用的規(guī)則總數(shù)為Ν=7×7×7=343??θ的初值設(shè)為343維的0向量。仿真結(jié)果見圖2。從結(jié)果可以看出,本文的控制方法取得較好的控制效果,跟蹤誤差快速收斂,同時,控制輸入保持光滑和有界。5中的2如果在控制器的設(shè)計中不引入模糊邏輯系統(tǒng)(3),根據(jù)式(16)控制器u可設(shè)為:u=-k3e3-be2-f(x)+y-z+˙α2-sign(e3)?λ(28)其中?λ的定義與前面相同,滿足自適應(yīng)律(23)。注意到α2為x,z的函數(shù):˙α2=?α2?x˙x+?α2?z˙z(29)帶入(28)可得:u=-k3e3-be2-f(x)+y-z-sign(e3)?λ+a?α2?x(z-f(x))+?α2?z(-by-cz)(3