高二數(shù)學(xué)（選修人教A版）正態(tài)分布

正態(tài)分布高二年級(jí)數(shù)學(xué)高爾頓板英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型.

在一塊木板上釘?shù)娜舾膳畔嗷テ叫械嗷ュe(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.

讓小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).一、實(shí)際情景高爾頓板試驗(yàn)猜想：讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層障礙物碰撞，最后掉入高爾頓板下方的哪一個(gè)球槽內(nèi)？觀察：演示多次，觀察各次得到的小球的分布規(guī)律的共性.(1)小球從高爾頓板上方下落的過程中：小球經(jīng)過每一層都要和其中的一個(gè)障礙物發(fā)生碰撞，碰撞有兩種可能，從左落下或從右落下，最后落入底部的球槽，小球落入哪個(gè)球槽是隨機(jī)的；(2)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加:——掉入各個(gè)球槽內(nèi)的小球的個(gè)數(shù)就會(huì)越來越多，球槽中小球堆積的高度也會(huì)越來越高；——小球堆積的形狀具有中間高兩邊低的特點(diǎn)，呈現(xiàn)左右對(duì)稱.二、建立概念（一）鐘形曲線問題1

如何把直觀看到的現(xiàn)象定量研究？即用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)研究小球分布情況.我們從左到右給球槽編號(hào)，便于研究小球落入哪個(gè)球槽.怎樣量化“小球堆積的形狀具有中間高兩邊低的特點(diǎn)，而且呈現(xiàn)左右對(duì)稱”？方案1：用X表示球槽編號(hào)，則X是一個(gè)隨機(jī)變量；美中不足：對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，其分布列完全刻畫了它的概率分布規(guī)律，但此時(shí)只能通過頻率來近似，因此，實(shí)際上我們無法知道所構(gòu)造的隨機(jī)變量的分布列.方案2：以球槽的編號(hào)為橫坐標(biāo)，可以畫出小球分布的頻率分布直方圖.觀察發(fā)現(xiàn)：頻率分布直方圖具有中間高兩邊低（左右兩邊對(duì)稱）的特點(diǎn)，并且頻率分布直方圖的外形與試驗(yàn)中小球的堆積形狀是一樣的.問題2：是不是只有小球的分布具有中間高兩邊低的特點(diǎn)？在必修3統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中：收集過的身高、體重、成績、用水量等數(shù)據(jù)，可以畫出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)這些直方圖都具有中間高兩邊低的特點(diǎn).研究此類分布的必要性：既然這么多數(shù)據(jù)都具有中間高兩邊低的特點(diǎn)，我們有必要進(jìn)一步研究它們的分布規(guī)律.觀察趨勢：畫出頻率分布折線圖.問題3：隨著試驗(yàn)次數(shù)增加,組距不斷縮小，我們猜頻率分布折線圖有何特點(diǎn)？預(yù)測：頻率分布折線圖越來越光滑.結(jié)果：頻率分布折線圖越來越光滑，越來越像一條曲線.問題4：生活中我們是否見過類似形狀的東西？象我們生活中的鐘、鈴鐺等類似形狀的東西，我們稱之為鐘形曲線.（二）正態(tài)曲線早在十八世紀(jì)30年代，棣莫弗、斯特萊等數(shù)學(xué)家經(jīng)過十幾年的努力，用求導(dǎo)、對(duì)數(shù)、無窮級(jí)數(shù)、積分、變量代換等數(shù)學(xué)方法就推導(dǎo)出這條鐘形曲線的解析式：（三）正態(tài)分布問題5：一個(gè)小球從高爾頓板口落下，最可能落在哪？為什么？預(yù)測：落在中間的可能性大，概率大.先把小球的位置量化：當(dāng)試驗(yàn)用的小球很小時(shí)候如何刻畫小球的具體位置？——可以用坐標(biāo).小球分布的頻率分布直方圖高爾頓板試驗(yàn)試驗(yàn)次數(shù)增加，組距縮小，小球的分布規(guī)律是正態(tài)曲線.現(xiàn)實(shí)生活中：

長度測量的誤差，某一地區(qū)同齡人群的身高、體重、肺活量等，一般都服從正態(tài)分布.

正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際中，正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位.

因此，在對(duì)概念有初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，我們需要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線.三、探究曲線特點(diǎn)探究角度和探究方式：

可以從函數(shù)的定義域、最值和對(duì)稱性等方面探究曲線的特點(diǎn)；

也可以利用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件，畫出函數(shù)的圖象探究