基本不等式的應用教學設計

一、教學內容解析：1、本節(jié)內容選自《普通高中教科書》（人教A版教材）高中數學必修第一冊第二章第2節(jié)基本不等式，是在學習了等式性質與不等式的性質、基本不等式的基礎上對基本等式的應用進一步的研究，本節(jié)是教學的重點，學生學習的難點，內容具有條件約束性、變通靈活性、應用廣泛性等的特點；2、本節(jié)主要利用基本不等式求最值，以及建立基本不等式模型解決實際問題，為后面的求函數最值和建立函數模型打好了良好的基礎，也是體會數形結合、分類討論等數學思想，提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)的良好素材；3、在高中數學中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與高中數學很多章節(jié)都有聯系，尤其與函數、方程聯系緊密，因此，不等式才自然而然地成為高考中經久不衰的熱點、重點，有時也是難點．二、學情分析：1、學生已經掌握的基本不等式及其結構特征對本節(jié)課的學習有很大幫助；2、學生邏輯推理能力有待提高，沒有系統(tǒng)學習過證明不等式的基本方法，尤其對于分析法證明不等式的思路以前接觸較少；3、對于最值問題，學生習慣轉化為一元函數，根據函數的圖像和性質求解，對于根據已知不等式求最值接觸較少，尤其會忽略取等號的條件。三、教學目標：1、知識與技能：會從不同角度探索基本不等式，會用基本不等式解決簡單的最值問題；2、過程與方法：經歷基本不等式的推導過程，體會數形結合、分類討論等數學思想，提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)；3、情感態(tài)度價值觀：培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現的科學精神，并在探究的過程中，體會數學的嚴謹性，發(fā)現數學的實用性.四、教學重點與難點：1、教學重點：建立基本不等式模型解決簡單的最值問題2、教學難點：以數學模型的觀點理解基本不等式，用其解決兩類最值問題，判斷實際問題中的最值問題是否可以用基本不等式模型求解。五、教學策略分析：1、由課本例1引入課題，可明確本堂的主要內容，使學生學習目標明確，進而激發(fā)學生的學習興趣；2、精心設置“問題串”，由簡到難，由感性到理性，一步步引導學生自主探究，小組討論探究兩類利用基本不等式求最值得模型，讓學生感受知識發(fā)生發(fā)展深化的過程，也體現學生為主體，老師為主導的教學理念；3、為突破最值定理思路的獲得這一教學難點，采用先學生小組討論，再師生共同完成的策略；4、為突破應用基本不等式求最值這一難點，先由例題歸納應用基本不等式求最值的要點，然后趁熱打鐵設置兩個練習，由簡到難，由淺入深，采用學生板演，搶答和小組討論等方式，及時發(fā)現問題，及時糾錯，讓“一正二定三相等”深入人心；5、對于轉化為函數進而用函數的圖像和性質求最值的問題，教師只作適當提示，不作為重點；6、課堂小結重視知識間的聯系和研究問題的方法，并強調了數學思想方法和數學核心素養(yǎng)在數學學習中的作用。六、教學過程設計：教學環(huán)節(jié)教學內容師生活動設計意圖復習回顧請思考下面兩個問題：1.什么是基本不等式？2.它的結構特征及產生過程是怎樣的？生：回憶，背誦師：和學生一起回顧從趙爽弦圖到基本不等式的形成過程，利用好課前2分鐘預備時間，并將前面知識形成網絡。一、情境創(chuàng)設導入課題典例探究師：引導學生思考生：學生先獨立思考，后小組合作討論，并展示成果。師：教師巡視，解惑。這是一個具有模型意義的不等式，有非常廣泛的應用。重點在于引導學生明確基本不等式的使用條件和注意事項。二、自主探究推導公式追問1：“求該代數式的最小值”是在做一件什么事情？追問2：該代數式有什么結構特點？能否用基本不等式模型求最值？如何求？追問3：為什么要必須說明等號成立？追問4：利用基本不等式求最值需要滿足什么條件？注意：一正二定三相等學生審題后，直接切入追問。教師利用二次函數的最小值進行引導，師生共同分析。問題1以課本習題為入點，讓學生探究具體數的積與和關系并發(fā)現相等時取小值。例2已知x,y都是正數，求證：（1）如果積xy等于定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值2√P；（2）如果和x+y等于定值S，那么當x=y時，積xy有最大值。追問：通過本題，請說說基本不等式可以解決怎樣的最值問題？學生獨立完成后展示交流，師生共同補充完善。在例1的基礎上，進一步示范如何用基本不等式求最值，能把基本不等式處理最值問題當成數學模型去看待，從而提高解決問題能力。題后反思：結合基本不等式，你能將本題的結論推廣為更一般的情況嗎？結論：設，1、若（定值），則當且僅當時，有最小值；2、若（定值），則當且僅當時，有最小值.要點：一正二定三相等師：引導學生將實際問題抽象為數學問題，明確已知和所求，將問題一般化.生：思考后將例題的結論推廣為更一般的情況.師：板書結論，指導學生根據基本不等式的變形理解記憶該結論師生共同歸納該結論的三個要點在學生經歷例題中的兩個最值問題之后，及時提問，培養(yǎng)學生題后反思的好習慣，將特殊問題一般化，舉一反三，總結規(guī)律，有利于構建系統(tǒng)完整的知識結構.三、實際應用加深理解例3：（1）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？（2）一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？追問1:你能用數學符號語言描述上述關系嗎？追問2：上述問題能用基本不等式的數學模型求解嗎？如何求解？追問3：你能歸納基本不等式模型解決實際問題的一般步驟嗎？解：（1）設長為，寬為，則，籬笆長為，由可得：，當且僅當時，等號成立，所以這個矩形的長和寬都為時，籬笆最短，最短的籬笆是.（2）設矩形菜園的長為，寬為，則，即：，矩形菜園的面積為.由可得：，當且僅當時，等號成立，所以這個矩形的長和寬都為時，菜園的面積最大，最大面積是.規(guī)律總結：學生思考，討論交流，教師補充完善。1、轉化問題2、分析模型3、求解模型4、回歸問題師：分析解題思路，將實際問題轉化為數學問題，注意分析為何可用基本不等式來解決該問題，PPT展示（1）的解答過程，請一學生板演（2），指導學生完成（2）生：一學生板演（2），其他學生自己完成（2）師：適當引導學生其他解法，比如：（1）也可轉化為對勾函數，（2）可轉化為二次函數和引例前后呼應，學以致用，把兩個實際問題化歸為利用基本不等式求最值的數學模型，體會數學的應用價值，增強學生的學習的動力和信心.板演有利于及時發(fā)現學生解答中的問題，及時糾錯.一題多解可更好的培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性.例4：例4某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？追問1：水池的總造價由什么確定？追問2：如何求水池的總造價？追問3：此題能用基本不等式模型求解嗎？學生回答，教師關注學生目標意識的培養(yǎng)。學生思考回答，教師關注學生的表達。學生思考回答，教師引導學生增強模型意識。及時鞏固加深血色好難過對基本不等式模型解決實際問題的理解。四、課堂小結回顧本節(jié)的學習過程，回答下列問題：1.基本不等式有怎樣的結構特點？2.利用基本不等式模型解決實際問題的一般步驟是怎樣的？需要注意哪些問題？“基本”？你能說一說它的重要性嗎？師：1、強調課堂中涉及到的數學思想：特殊到一般，分類討論，數學結合2、數學核心素養(yǎng)：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算從多個角度總結歸納本堂課的主要內容，不僅重視知識本身，更重視知識間的聯系和研究問題的方法；另外，更強調了數學思想方法和數學核心素養(yǎng)在數學學習中的作用.五當堂檢測當堂檢測：判斷下列3個命題是否正確，并說明理由.（1）函數的最小值為2.（）（2）函數的最小值為6.（）（3）函數的最小值是2.（）解：（1）假.可為負數，不能直接用基本不等式，無最小值.（2）真.，當且僅當時取等號，所以的最小值為6.（3）假.一正二定滿足，但等號取不到師：讓學生小組討論，解決該問題生：小組討論，小組代表回答問題師：點評學生回答，并指出：運用基本不等式求最值，三個條件缺一不可，