江蘇省泰州市2021-2022學年高一下學期期末數(shù)學試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江蘇省泰州市2021-2022學年高一下學期期末數(shù)學試題第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．3 D．2．在中，角，，所對的邊分別為，，．若，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．4．某學校有高中學生1000人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)分別為320，300，380.為調(diào)查學生參加“社區(qū)志愿服務”的意向，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為100的樣本，那么應抽取高二年級學生的人數(shù)為A．68 B．38 C．32 D．305．從名男生和名女生中任選名學生參加座談會，則下列事件互斥的是（

）A．“恰好選中名男生”與“恰好選中名女生”B．“至少選中名男生”與“至少選中名女生”C．“選中名男生”與“選中名女生”D．“至多選中名男生”與“至多選中名女生”6．已知，則（

）A． B． C． D．7．某工廠需要制作一個如圖所示的模型，該模型為長方體挖去一個四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點，，，那么該模型的表面積為（

）．A． B．C． D．8．某人工生態(tài)園內(nèi)栽種了10萬余株水杉、池杉等品種樹木，垛與垛間的夾溝里魚游蝦戲，這里是丹頂鶴、黑鸛、貓頭鷹、灰鷺、蒼鷺、白鷺等候鳥的樂園.游客甲與乙同時乘竹筏從碼頭沿下圖旅游線路游玩.甲將在“院士臺”之前的任意一站下竹筏，乙將在“童話國”之前的任意一站下竹筏，他們兩人下竹筏互不影響，且他們都至少坐一站再下竹筏，則甲比乙后下的概率為（

）A． B． C． D．評卷人得分二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則每個個體被抽到的概率是0.1B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，，8，9的平均數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5C．已知某班共有45人，小明在一次數(shù)學測驗中成績排名為班級第9名，則小明成績的百分位數(shù)是20D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為1510．在棱長為1的正方體中，下列選項正確的有（

）A．平面B．平面C．三棱錐的外接球的表面積為D．三棱錐的體積為11．如圖，已知菱形的邊長為6，為中點，，下列選項正確的有（

）A．B．若，則C．若，則D．12．在中，角、、所對的邊分別為、、．若，，，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．已知一組數(shù)據(jù)為2，3，6，7，8，10，11，13，若在這組數(shù)據(jù)中插入一個自然數(shù)a使得這組新數(shù)據(jù)滿足中位數(shù)是7且平均數(shù)大于7，則a可以是_______.（寫出符合條件的一個值）14．如圖，一個圓形漏斗由上、下兩部分組成，上面部分是一個圓柱，下面部分是一個共底面的圓錐，若圓錐的高是圓柱高的3倍，且圓柱的容積為，則這個漏斗的容積為______.15．如圖所示，該圖由三個全等的、、構(gòu)成，其中和都為等邊三角形.若，，則_______.評卷人得分四、雙空題16．歐拉1707年4月15日生于瑞士巴塞爾，1783年9月18日卒于俄國圣彼得堡.他生于牧師家庭.15歲在巴塞爾大學獲學士學位，翌年得碩士學位.1727年，歐拉應圣彼得堡科學院的邀請到俄國.1731年接替丹尼爾·伯努利成為物理教授.他以旺盛的精力投入研究，在俄國的14年中，他在分析學、數(shù)論和力學方面作了大量出色的工作.年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關系，并寫出以下公式（其中為虛數(shù)單位），這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)此公式，則______；______.評卷人得分五、解答題17．已知復數(shù)滿足為純虛數(shù)，為實數(shù)，其中為虛數(shù)單位．(1)求復數(shù)；(2)若，求實數(shù)，的值．18．為提高教學效果，某校對高一某班期中考試數(shù)學成績做了如下統(tǒng)計，用折線圖分別表示出男生和女生在本次考試中的成績（單位：分，且均為整數(shù)）．根據(jù)全體學生的成績繪制了頻率分布直方圖，根據(jù)試卷難度測算，將考試成績在130分以上（含130分）定義為優(yōu)秀．由于電腦操作失誤，折線圖中女生數(shù)據(jù)全部丟失，無法找回．但據(jù)數(shù)學老師回憶，確定班級成績中分數(shù)在140分（含140分）以上的僅有兩人，且都是男生．(1)求該班級人數(shù)及女生成績在[110，120)的人數(shù)；(2)在成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生中隨機選取2人參加省中學生數(shù)學奧林匹克競賽，求選取的恰好是一個男生和一個女生的概率．19．已知向量，，且．(1)求的值；(2)若，且，求的值．20．如圖，已知斜三棱柱，，，，且平面平面.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.21．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，請在①，②，③這三個條件中任選一個，完成下列問題.(1)求角；(2)在（1）的條件下，若點為的中點，且，，求的面積.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分．22．如圖（1），在中，，，、、分別為邊、、的中點，以為折痕把折起，使點到達點位置（如圖（2））．(1)當時，求二面角的大??；(2)當四棱錐的體積最大時，分別求下列問題：①設平面與平面的交線為，求證：平面；②在棱上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念與復數(shù)的模長公式求解即可【詳解】由題意，，故故選：B2．A【解析】【分析】運用正弦定理邊化角直接計算即可.【詳解】由題意，，，∵；故選：A.3．B【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標表示可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】因為向量，，且，則，解得.故選：B.4．D【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求出在各層中的抽樣比，即樣本容量比上總體容量，按此比例求出在各年級中抽取的人數(shù).【詳解】解：根據(jù)題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為，則高二年級抽取的人數(shù)是30030人，故選D．【點睛】本題的考點是分層抽樣方法，根據(jù)樣本結(jié)構(gòu)和總體結(jié)構(gòu)保持一致，求出抽樣比，再求出在各層中抽取的個體數(shù)目．5．C【解析】【分析】列舉出每個選項中每個事件所包含的基本情況，結(jié)合互斥事件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】從名男生和名女生中任選名學生參加座談會，共有種情況：男、女，男女.對于A選項，“恰好選中名男生”與“恰好選中名女生”為同一事件，A不滿足條件；對于B選項，“至少選中名男生”包含：男、男女.“至少選中名女生”包含：女，男女，B不滿足條件；對于C選項，“選中名男生”與“選中名女生”互斥，C滿足條件；對于D選項，“至多選中名男生”包含女，男女，“至多選中名女生”包含男、男女，D不滿足條件.故選：C.6．C【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關系與二倍角公式化簡計算即可【詳解】由，即，，故，解得故選：C7．A【解析】【分析】先求解得，，進而得到，再根據(jù)全等性質(zhì)與表面積的計算公式求解即可【詳解】由題意可得，，故，故該模型的表面積為故選：A8．B【解析】【分析】先求解所有可能的情況數(shù)，再根據(jù)乙下竹筏的所有可能，分別分析甲比乙后下的情況數(shù)再求解即可【詳解】由題意，甲可能下竹筏的站號有共10種情況，乙可能下竹筏的站號有共7種情況，故甲乙所有下竹筏的情況數(shù)有種.當乙在2號站下時，滿足甲比乙后下的情況數(shù)有9種；當乙在3號站下時，滿足甲比乙后下的情況數(shù)有8種；…當乙在8號站下時，滿足甲比乙后下的情況數(shù)有3種；共種情況.故甲比乙后下的概率為故選：B9．ABC【解析】【分析】對于A，利用概率對于判斷即可．對于B，根據(jù)平均數(shù)求得的值，然后利用中位數(shù)公式求解即可.對于C，根據(jù)百分位數(shù)的概念求解判斷即可對于D，利用方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】對于A，一個總體含有60個個體，某個個體被抽到的概率為，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為6的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為，故A正確．對于B，數(shù)據(jù)1，2，，，8，9的平均數(shù)為5，故，解得，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故B正確.對于C，因為，故小明成績的百分位數(shù)是20，故C正確.對于D，依題意，，則，故數(shù)據(jù)的方差為32，D錯誤；故選：ABC.10．BD【解析】【分析】對A，根據(jù)，且與平面相交判斷即可；對B，證明，即可；對C，根據(jù)三棱錐的外接球即正方體的外接球求解即可；對D，根據(jù)求解即可【詳解】對A，因為，與平面相交于，故與平面相交，故A錯誤；對B，連接，，因為正方體，故，，，故平面，故，同理，又，故平面，故B正確；對C，三棱錐的外接球即正方體的外接球，易得其直徑為，故外接球的表面積，故C錯誤；對D，，故D正確故選：BD11．ABD【解析】【分析】對A，根據(jù)平面向量的線性運算求解即可；對B，根據(jù)平面向量基本定理可得對C，以為基底計算判斷即可；對D，以為基底計算，并根據(jù)判斷即可【詳解】對A，，故A正確；對B，，故，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，，因為菱形，故，故，故，故D正確；故選：ABD12．AD【解析】【分析】利用三角恒等變換可得出，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關系可判斷B選項；利用正弦定理可判斷C選項；利用三角形的面積公式可判斷D選項.【詳解】因為，即，因為，，則且余弦函數(shù)在上遞減，所以，，所以，，A對；因為，則，所以，，可得，由正弦定理，即，所以，，則，B錯；由二倍角公式可得，，所以，，由正弦定理可得，C錯；，D對.故選：AD.13．4【解析】【分析】根據(jù)條件進行推理確定a的位置和大小.【詳解】要使得中位數(shù)是7，a必須插在7的前面，即，平均數(shù)為，解得，a是自然數(shù)，選a=4;故答案為：4.14．【解析】【分析】設圓柱和圓錐的底面積為，圓柱的高為，再表達出圓柱和圓錐的表達式求解即可【詳解】設圓柱和圓錐的底面積為，圓柱的高為，則，故這個漏斗的容積為故答案為：15．##【解析】【分析】設，在中，利用正弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得的長.【詳解】由已知，所以，，設，在中，，，則，，由正弦定理，即，解得，由正弦定理得.故答案為：.16．

【解析】【分析】根據(jù)所提供的歐拉公式，將相關的數(shù)字代入計算即可.【詳解】，；故答案為：-2，-1.17．(1)(2)，【解析】【分析】（1）設（其中，），再根據(jù)純虛數(shù)與實數(shù)的概念，結(jié)合復數(shù)相等的條件求解即可；（2）根據(jù)共軛復數(shù)的定義結(jié)合復數(shù)的運算與相等的條件求解即可(1)設（其中，），由為純虛數(shù)，得，且．由為實數(shù)，得．所以．(2)由（1）知，．故由，得，即．因為，，由復數(shù)相等的充要條件得：解得18．(1)該班級人數(shù)為40人，女生成績在[110，120)的人數(shù)為13人(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題目所提供的數(shù)據(jù)計算即可；(2)先算出男生和女生的人數(shù)，用枚舉法算出樣本空間和所求事件的樣本數(shù)列，按照古典概型計算即可.(1)設該班共有名學生，則，解得，由頻率分布直方圖知在的人數(shù)為，由折線圖知男生在的人數(shù)為3，所以女生在人數(shù)為，∴該班共有40名學生，其中13名女生的成績在[110，120)；(2)成績在130分及以上的人數(shù)為（人）其中男生為4人，所以女生2人．記“恰有1名男生和1名女生被選中”為事件，記這6人分別為，，，，，；其中男生為，，，；女生為，．則樣本空間，，所以．∴恰有1名男生和1名女生被選中的概率為；綜上，全部共40名學生，成績在[110，120)的女生人數(shù)為13，恰有1名男生和1名女生被選中的概率為.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知可得出，結(jié)合兩角和的余弦公式化簡可得結(jié)果；（2）求出的值，利用兩角和的正切公式可求得的值，求出的取值范圍，即可得解.(1)解：，則，因此，.(2)解：因為且，所以，，因為，則，，因為，故，所以，，所以，，所以，，因此，.20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定可得平面，進而證明即可；（2）取的中點，連接，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得平面，進而得到直線與平面所成角為，再根據(jù)平面幾何關系求解即可(1)連接，因為，平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，平面，.在菱形中，，，所以平面，又平面，所以.(2)取的中點，連接，，所以，，，因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，直線與平面所成角為.，所以，所以，.故直線與平面所成角的正弦值為21．(1)條件選擇見解析，(2)【解析】【分析】（1）選①，根據(jù)二倍角公式結(jié)合內(nèi)角和與誘導公式化簡求解即可；選②，根據(jù)正弦定理結(jié)合內(nèi)角和與兩角喝茶的正余弦公式化簡求解即可；選③，根據(jù)余弦定理與面積公式化簡求解即可；（2）構(gòu)造四邊形為平行四邊形，再在中，由余弦定理化簡求解即可(1)選①，因為，所以，，解得，因為，所以，故角．選②，因為，由正弦定理的，，所以，，，所以，故角．選③，因為，所以，，，故角．(2)作，交于點，連結(jié)，則四邊形為平行四邊形，點為中點，且．在中，由余弦定理得或（舍），即，所以22．(1)(2)①證明見解析②存在，或【解析】【分析】（1）分析可知二面角的平面角為，利用余弦定理可求得的大小，即可得解；（2）①證明平面，利用線面平行的性質(zhì)可得出，證明出平面，進而可證得結(jié)論成立；②分析可知，與平面