山東省聊城市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測試題（解析版）

山東省聊城市2021--2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號，考生號，縣區(qū)和科類填寫到答題卡和試卷規(guī)定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.用數(shù)字1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）A.6 B.12 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】先排個位，再排百位和十位，即得結(jié)果.【詳解】先排個位，有2種選法，再排百位和十位，有種排法，因此共有種排法，故選：B2.設(shè)曲線在點處的切線方程為，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】切線的斜率為，由，故選：C3.設(shè)隨機變量，則（）A.0.35 B.0.25 C.0.2 D.0.15【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性計算出的值，然后根據(jù)求解出結(jié)果.【詳解】解：∵隨機變量，，∴，，∴.故選：A.4.冬奧會越野滑雪項目比賽共分組，現(xiàn)安排名志愿者負(fù)責(zé)這組的服務(wù)工作，每人至少負(fù)責(zé)組，每組的服務(wù)工作由人完成，則不同的安排方式共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】分析】分析可知名志愿者中有人負(fù)責(zé)兩組，另外人各負(fù)責(zé)一組，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，名志愿者中有人負(fù)責(zé)兩組，另外人各負(fù)責(zé)一組，所以不同的安排方式種數(shù)為.故選：D.5.某班級在一次數(shù)學(xué)知識競賽答題活動中，一名選手從2道數(shù)學(xué)文化題和3道作圖題中不放回的依次抽取2道題，在第一次抽到作圖題的前提下第二次抽到作圖題的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.【詳解】記“第一次抽到作圖題”為事件，記“第二次抽到作圖題”為事件，，所以.故選：B.6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立,分離參數(shù)，即可求解.【詳解】解：，則在上恒成立，即恒成立，又在上單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)不恒為0，故選：D.7.函數(shù)f(x)＝的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性，即可容易選擇.【詳解】因為f(－x)＝=－f(x)，且其定義域為，所以f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除選項B；當(dāng)x≥0時，f(x)＝，則f′(x)＝，當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0；當(dāng)x>1時，f′(x)<0.所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，只有選項滿足題意.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的辨識，涉及函數(shù)奇偶性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合基礎(chǔ)題.8.若，則（）A.8 B. C.10 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件需要對二項展開式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用二項展開式通項再求即可.【詳解】令，則，原式轉(zhuǎn)化為：則二項展開式通項為：則故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在二項式的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項有()A.第一項 B.第三項 C.第四項 D.第五項【答案】ABD【解析】【分析】求出二項式展開式通項，判斷系數(shù)為有理數(shù)時r的取值即可判斷有理項．【詳解】二項式的展開式的通項為，則當(dāng)r=0，2，4時，系數(shù)為有理數(shù)，故系數(shù)為有理數(shù)的項有第一項、第三項、第五項．故選：ABD．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.恒成立 B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的極小值為 D.函數(shù)只有一個零點【答案】BCD【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及零點個數(shù).【詳解】對于A，當(dāng)時，，，A錯誤；令可得，解得，令可得，解得，的增區(qū)間為：，的減區(qū)間為：，函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；對于C，由上可知，的極小值為：，C正確；對于D，令，解得，由的單調(diào)性以及當(dāng)時，，可知，D正確.故選：BCD.11.下列說法正確的是（）A.個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子里至多放一個球，不同的放法有種B.個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子放球數(shù)量不限，不同的放法有種C.個相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子里至多放一個球，不同的放法有種D.個相同球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，不同的放法有種【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)排列與分步計數(shù)原理可判斷AB選項；利用組合計數(shù)原理可判斷C選項；利用隔板法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子里至多放一個球，即5個不同盒子中有三個盒子各放一個球，不同的放法有種，A對；對于B選項，個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子放球數(shù)量不限，即每個球有5種不同放法，不同的放法有種，B錯；對于C選項，個相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子里至多放一個球，即只需確定5個盒子中哪三個盒子有球，有不同的放法有種，C對；對于D選項，個相同的球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，有兩種放法，一是有個盒子放三個其余各放一個，二是有個盒子放一個其余各放兩個，共有種，D對.故選：ACD.12.設(shè)函數(shù)，若為函數(shù)的一個極值點，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對求導(dǎo)，再根據(jù)極值點的定義，整理等式即可得到結(jié)果.【詳解】為函數(shù)的一個極值點,即：故選：B.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共計20分13.函數(shù)的最小值___________【答案】【解析】【分析】本題首先可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)的最小值．【詳解】因為，所以，當(dāng)，，解得，函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)，，解得，函數(shù)是減函數(shù)；故當(dāng)時，函數(shù)取最小值，．【點睛】本題考查如何求函數(shù)最值，主要考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性以及最值，考查計算能力，是簡單題．14.為參加學(xué)校美術(shù)作品評選，高二一班從學(xué)生上交的2幅油畫和4幅國畫中選3幅上交參賽，按要求至少上交1幅油畫，則不同的選法共有________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】要求至少上交1幅油畫，不同的選法共有，故答案為：15.用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色涂在如圖所示的六個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能同色，則涂色方法總數(shù)是_________．（用數(shù)字填寫答案）

【答案】120【解析】【分析】所有涂色方法可分為三類，第一類，區(qū)域涂同一種顏色，第二類，區(qū)域涂不同顏色，區(qū)域涂不同顏色，第三類，區(qū)域涂不同顏色，區(qū)域涂相同顏色，利用綜合利用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決.【詳解】所有的涂色方法可以分為三類：第一類：區(qū)域涂同一種顏色，先涂區(qū)域，有4種方法，再涂區(qū)域，有3種方法，然后涂區(qū)域，有2種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，最后涂區(qū)域，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域涂同一種顏色的涂色方法有種，即48種方法，第二類：區(qū)域涂不同顏色，區(qū)域涂不同顏色，先涂區(qū)域，有4種方法，再涂區(qū)域，有3種方法，然后涂區(qū)域，有2種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，最后涂區(qū)域，有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域涂不同顏色的涂色方法有種，即24種方法，第三類：區(qū)域涂不同顏色，區(qū)域涂相同顏色，先涂區(qū)域，有4種方法，再涂區(qū)域，有3種方法，然后涂區(qū)域，有2種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，再涂區(qū)域，有1種方法，最后涂區(qū)域，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域涂不同顏色的涂色方法有種，即48種方法，由分類加法計數(shù)原理可得涂色方法總數(shù)是48+24+48種方法，即120種方法.故答案為：120.16.若對任意的，均有成立，則稱函數(shù)為和在上的“中間函數(shù)”．已知函數(shù)，且是和在區(qū)間上的“中間函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“中間函數(shù)”的定義列出不等式，將問題轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問題，利用參變分離以及構(gòu)造函數(shù)的方法來解決函數(shù)最值，從而求出的取值范圍.【詳解】依題意得：已知條件等價為：在區(qū)間上恒成立對于在區(qū)間上恒成立，變形為：令，易知單調(diào)遞增，對于在區(qū)間上恒成立，變形為：令則為增函數(shù)，在單調(diào)遞增，綜上所述：即故答案為：.【點睛】本題考查了用參變分離的方法解決恒成立的問題，考查了用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值以及恒成立的等價形式，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力有一定的要求，屬于難題.四、解答題：本題共6個小題，滿分70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.2名男生和3名女生站成一排（1）2名男生相鄰的站法有多少種？（2）男生和女生相間的站法有多少種？（3）男生甲不在排頭，女生乙不在排尾的站法有多少種？【答案】（1）48（2）12（3）78【解析】【分析】（1）利用捆綁法即可得出答案；（2）先將2名男生排好，形成3個空，再利用插空法即可得出答案；（3）分男生甲在排尾和男生甲既不在排頭又不在排尾兩種情況討論，從而可得出答案.【小問1詳解】解：先讓2名男生站好，有種站法，再將2名男生當(dāng)作一個整體，與3名女生進(jìn)行排列，有種排法，再由分步計數(shù)原理可得2名男生相鄰的站法有種；【小問2詳解】解：由于男女相間，可先讓2名男生站好，有種站法，再將3名女生插入2名男生形成得3個空當(dāng)中，每個空一人，有種方法，再由分步計數(shù)原理可得男生和女生相間的站法有種；【小問3詳解】解：當(dāng)男生甲在排尾時，有種排法，當(dāng)男生甲既不在排頭又不在排尾時，男生甲有種排法，女生乙有種排法，其余3人有種排法，此時共有種排法，所以男生甲不在排頭，女生乙不在排尾的站法有種.18.甲、乙兩名同學(xué)在電腦上進(jìn)行答題測試，每套測試題可從題庫中隨機抽?。谝惠喆痤}中，如果甲單獨答題，能夠通過測試的概率是，如果乙單獨答題，能夠通過測試的概率是．（1）甲單獨答題三輪，求甲恰有兩輪通過測試的概率；（2）在甲，乙兩人中任選一人進(jìn)行測試，求通過測試的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用相互獨立事件的概率乘法公式求解即可；（2）利用條件概率以及相互獨立事件的概率乘法公式求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)“甲恰有兩輪通過測試”為事件，則；【小問2詳解】解：設(shè)“選中甲”為事件，“選中乙”為事件，“通過測試”為事件，根據(jù)題意得，，，，則，所以在甲，乙兩人中任選一人進(jìn)行測試，求通過測試的概率．19.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）曲線在點處的切線方程為；（2）實數(shù)m的取值范圍為.【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由點斜式求切線方程；(2)化簡不等式可得，由已知可得，由此可求實數(shù)m的取值范圍．【小問1詳解】由已知，函數(shù)的定義域為，又，所以，所以曲線在點處的切線的斜率為，又，所以曲線在點處的切線方程為，即,【小問2詳解】不等式可化為，，因為恒成立，所以，設(shè)，則，令可得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值，最大值為，所以，故實數(shù)m的取值范圍為.20.（1）若展開式中的系數(shù)是30，求m的值；（2）求展開式中的有理項．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出的展開式的通項，再令和，結(jié)合題意可得出答案；（2）求出的展開式的通項，再令的指數(shù)為整數(shù)，從而可得出答案.【詳解】解：（1）的展開式的通項為，，令，則，令，則，故展開式中的系數(shù)是，即，所以；（2）的展開式的通項為，，當(dāng)時，為整數(shù)，所以展開式中的有理項為.21.某超市有5種不同品牌的簽字筆，它們的銷售價格（元/支）和市場份額（指該品牌簽字筆的銷售量在超市同類產(chǎn)品中所占比例）如下：簽字筆品牌ABCDE銷售價格1.52.43.22.21.2市場份額15%10%30%20%25%（1）從該超市銷售的這5種品牌的簽字筆中隨機抽取1支，估計其銷售價格低于2.4元的概率；（2）將該超市銷售的這5種品牌的簽字筆依市場份額進(jìn)行分層抽樣，隨機抽取20支簽字筆進(jìn)行質(zhì)量檢測，其中品牌A和B共抽取了多少支？若從這些抽取的品牌A和B的簽字筆中隨機再抽取3支進(jìn)行含油墨量檢測．記X為抽到品牌B的簽字筆數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）銷售價格低于2.4元的概率約為；（2）品牌A和B共抽取了5支，分布列見解析，.【解析】【分析】（1）求出銷售價格低于元的頻率，用頻率來估計概率；（2）利用分層抽樣的定義求解即可，隨機變量的可能取值為，然后求出各自對應(yīng)的概率，即可列出分布列，求出期望；【小問1詳解】由已知從該超市銷售的簽字筆中隨機抽取支，抽到銷售價格低于元的簽字筆的頻率為，即，故可估計事件“從該超市