典型圖像變換

典型圖像變換近年使用較多的幾種圖像變換

Gabor變換

哈爾變換

小波變換

霍特林變換16.1.1短時(shí)傅里葉變換6.1.2連續(xù)Gabor變換6.1.3離散Gabor表達(dá)Gabor變換2FT在信號(hào)處理中的局限性：

Fourier變換研究時(shí)域信號(hào)頻譜特性，必須要獲得時(shí)域中的全部信息

Fourier變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況6.1.1

短時(shí)傅立葉變換3提出與基本思想

鑒于傅立葉變換的缺陷提出窗函數(shù)的思想，提出一個(gè)靈活可變的時(shí)間—頻率窗，使得在這個(gè)窗內(nèi)能夠體現(xiàn)頻率的信息，這種信號(hào)分析方法稱為時(shí)間—頻率分析。而窗固定的時(shí)間—頻率分析方法即為短時(shí)傅立葉變換。短時(shí)傅立葉變換（STFT）主要思想是將信號(hào)加窗，將加窗后的信號(hào)再進(jìn)行傅立葉變換，加窗后使得變換為時(shí)間t附近的很小時(shí)間上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)t的位置變化在整個(gè)時(shí)間軸上平移，利用窗函數(shù)可以得到任意位置附近的時(shí)間段頻譜實(shí)現(xiàn)時(shí)間局域化。4STFT定義

1946年，Gabor提出了STFT，給定一信號(hào)，其STFT定義為：短時(shí)譜的特點(diǎn)：

1)時(shí)變性：既是角頻率的函數(shù)又是時(shí)間t的函數(shù)。

2)周期性：是關(guān)于的周期函數(shù)，周期為2.窗函數(shù)5公式涵義：

在時(shí)域用窗函數(shù)去截信號(hào)，對(duì)截下來的局部信號(hào)做FT，即在t時(shí)刻得該段信號(hào)的傅立葉變換，不斷移動(dòng)t，也即不斷地移動(dòng)窗函數(shù)的中心位置，即可得到不同時(shí)刻的傅立葉變換，這些傅立葉變換的集合，即是

STFT可以看成是用基函數(shù)來代替FT中的基函數(shù)。67對(duì)兩邊做傅立葉變換，有

信號(hào)譜窗譜對(duì)在時(shí)域加窗，引導(dǎo)在頻域?qū)哟?刻畫窗函數(shù)的兩個(gè)重要參數(shù)時(shí)域窗

(1)中心：(2)半徑：9 頻率窗函數(shù)F(w) 中心為

*，半徑為DF

10對(duì)函數(shù)

其中心為t*半徑為

，對(duì)

的傅立葉變換設(shè)其中心為

*，半徑為DF矩形[t*-

,t*-

]×[

*-DF

,

*-DF

]稱為

函數(shù)的時(shí)頻窗。該窗的面積為(2

)(2DF)根據(jù)不確定性原理等號(hào)僅在

(t)和

(

)為高斯函數(shù)時(shí)成立。11

不可能在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間同時(shí)以任意精度逼近被測(cè)信號(hào)，必須在信號(hào)的分析上對(duì)時(shí)間或者頻率的精度做取舍。

當(dāng)利用STFT時(shí)，若我們希望能得到好的時(shí)—頻分辨率，或好的時(shí)—頻定位，應(yīng)選取時(shí)寬、帶寬都比較窄的窗函數(shù)，遺憾的是，無法同時(shí)為最小。

對(duì)快變信號(hào)，希望有好的時(shí)間分辨率，時(shí)寬要小，但對(duì)該信號(hào)的頻域分辨率必定下降。

慢變信號(hào)對(duì)應(yīng)低頻信號(hào)，希望在低頻處有較好的頻率分辨率，但不可避免的要降低時(shí)域的分辨率。12窗函數(shù)的特點(diǎn)：

隨著的變化，窗口在空間不斷平移；

短時(shí)Fourier變換就是通過這些移動(dòng)的窗口來提取被變換函數(shù)的信息；

函數(shù)族確定的時(shí)頻窗口只是隨發(fā)生平移，窗口的大小和形狀固定不變。1314 用高斯函數(shù)作為窗函數(shù) t*=

*=0，Dga=

a和DGa=1/2

a?？芍狣gaDGa=1/2，即達(dá)到了不確定性原理所給出的下限

f(t)在時(shí)間窗中的信息6.1.2

Gabor變換15

Gabor變換 其中–∞≤b,

≤∞離散形式

大尺度分辨率高，小尺度分辨率低6.1.3

離散Gabor表達(dá)16√哈爾函數(shù)是一種正交歸一化函數(shù)，在圖像信息壓縮和特征編碼等方面應(yīng)用，特點(diǎn)是收斂均勻而迅速?！坦柡瘮?shù)是由Haar提出的一種正交完備函數(shù)系；是一種既反映整體又反映局部的函數(shù)；它是小波變換中的典型小波。√哈爾變換具有尺度和位移兩個(gè)特性；變換范圍窄；

其變換特性與圖像中的邊界或線條的特性十分接近，因此圖像中的邊緣和線條經(jīng)哈爾變換后，會(huì)產(chǎn)生較大的變換系數(shù)，而其它區(qū)劃的變換系數(shù)小。6.2哈爾變換17哈爾函數(shù)

hk(z)

k=0,1,2,

…,N–1，N=2n

整數(shù)k可被唯一地分解成： 其中

0≤

p

≤

n–1

當(dāng)p=0時(shí)，q=0或q=1

當(dāng)p

0時(shí)，1≤

q

≤2

p 例：對(duì)N=4，當(dāng)k=0時(shí)有p=0和q=0

當(dāng)k=1時(shí)有p=0和q=1

6.2哈爾變換18哈爾函數(shù)

hk(z)

k=0,1,2,

…,N–1，N=2n

6.2哈爾變換19哈爾矩陣 對(duì)1個(gè)N

N矩陣，其第i行由z=0/N，1/N， …，(N–1)/N的hi(z)的元素構(gòu)成

例：N=2

N=4

6.2哈爾變換20HaarTransform有以下幾點(diǎn)特性：1.不需要乘法（只有相加或加減）2.輸入與輸出個(gè)數(shù)相同3.頻率只分為低頻（直流值）與高頻（1和-1）部分4.可以分析一個(gè)信號(hào)的Localizedfeature5.運(yùn)算速度極快，但不適合用于信號(hào)分析6.大部分運(yùn)算為0，不用計(jì)算7.維度小，使用的memory少8.因?yàn)榇蟛糠譃楦哳l，轉(zhuǎn)換較籠統(tǒng)對(duì)一矩陣做哈爾小波轉(zhuǎn)換的公式為，其中A為一N×N的區(qū)塊且H為N點(diǎn)的哈爾小波轉(zhuǎn)換。而反哈爾小波轉(zhuǎn)換為。21傅里葉變換與小波變換頻域分析具有很好的全局性，但沒有局部化功能。傅里葉變換反映的是圖像的整體特征。一個(gè)樂譜，不光闡明了要演奏的音符（或頻率），而且闡明了何時(shí)要演奏。而傅里葉變換，只提供了音符或頻率信息，局部信息在變換過程中丟失了。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時(shí)間)和頻率的局部變換，它通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)。22236.3

小波變換小波變換使得圖像壓縮、傳輸和分析變得更快捷！1小波介紹2背景3多分辨率展開4一維小波變換5快速小波變換6二維小波變換241小波介紹

1.1什么是小波

1.2小波簡(jiǎn)史2背景3多分辨率展開4一維小波變換5快速小波變換6二維小波變換本章內(nèi)容25什么是小波變換6.3.1小波介紹262728293031321小波介紹2背景

圖像金字塔

子帶編碼

哈爾變換3多分辨率展開4一維小波變換5快速小波變換6二維小波變換7小波包本章內(nèi)容336.3.2背景為什么需要多分辨率分析？如果物體的尺寸很小或?qū)Ρ榷炔桓?/p>

高分辨率如果物體尺寸很大獲對(duì)比度很強(qiáng)

低分辨率通常物體尺寸有大有小，或?qū)Ρ扔袕?qiáng)有弱同時(shí)存在34

圖像金字塔

一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀排列的分辨率逐步降低的圖像集合

一個(gè)金字塔圖像結(jié)構(gòu)

金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率近似。當(dāng)向金字塔的上層移動(dòng)時(shí)，尺寸和分辨率就降低。35高斯和拉普拉斯金字塔編碼

首先對(duì)圖像用5*5的高斯模板作低通濾波，濾波后的結(jié)果從原圖像中減去，圖像中的高頻細(xì)節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對(duì)低通濾波后的圖像進(jìn)行間隔采樣，細(xì)節(jié)并不會(huì)因此而丟失

36高斯和拉普拉斯金字塔編碼

拉普拉斯金字塔編碼策略

373839子帶編碼也是多分辨率相關(guān)的重要圖像技術(shù)

在子帶編碼中，一幅圖像被分解為一系列限帶分量，稱為子帶子帶可以重組在一起無失真地重建原始信號(hào)子帶帶寬<原始圖像帶寬，可以進(jìn)行無信息損失的抽樣原始圖像的重建可以通過內(nèi)插、濾波和疊加單個(gè)子帶完成。子帶編碼40對(duì)每個(gè)子帶分別編碼的好處是：

（1）可以利用人耳（或人眼）對(duì)不同頻率信號(hào)的感知靈敏度不同的特性，在人的聽覺（或視覺）不敏感的頻段采用較粗糙的量化，從而達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。例如，在聲音低頻子帶中，為了保護(hù)音調(diào)和共振峰的結(jié)構(gòu)，就要求用較小的量化階、較多的量化級(jí)數(shù)，即分配較多的比特?cái)?shù)來表示樣本值。而話音中的摩擦音和類似噪聲的聲音，通常出現(xiàn)在高頻子帶中，對(duì)它分配較少的比特?cái)?shù)。

（2）各個(gè)子帶的量化噪聲都束縛在本子帶內(nèi)，這就可以避免能量較小的頻帶內(nèi)的信號(hào)被其他頻帶中量化噪聲所掩蓋。

（3）通過頻帶分裂，各個(gè)子帶的取樣頻率可以成倍下降。例如，若分成頻譜面積相同的N個(gè)子帶，則每個(gè)子帶的取樣頻率可以降為原始信號(hào)取樣頻率的1/N，因而可以減少硬件實(shí)現(xiàn)的難度，并便于并行處理。41在子帶編碼中，一幅圖像被分解成一系列限帶分量的集合，稱為子帶，它們可以重組在一起無失真地重建原始圖像。子帶通過對(duì)輸入進(jìn)行帶通濾波而得到。

雙通道子帶編碼和重建

42完美重建濾波器族QMF正交鏡像濾波器CQF共軛正交濾波器43子帶圖像編碼的二維4頻段濾波器組

4445463哈爾變換哈爾變換

哈爾基函數(shù)是最古老也是最簡(jiǎn)單的正交小波。哈爾變換本身是可分離的，也是對(duì)稱的，可以用下述矩陣形式表達(dá)：

T=HFH47變換矩陣H包含基函數(shù)，它定義在連續(xù)閉區(qū)間48N=4時(shí)kpq00010121131249N=2時(shí)50哈爾基函數(shù)對(duì)圖像的多分辨率分解

1、其局部統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相對(duì)穩(wěn)定；2、大多數(shù)值為零，便于壓縮；3、原始圖像的粗和細(xì)分辨率近似可以從中提取。511小波介紹2背景3多分辨率展開

3.1序列展開

3.2尺度函數(shù)

3.3小波函數(shù)4一維小波變換5快速小波變換6二維小波變換7小波包本章內(nèi)容526.3.3多分辨率展開

函數(shù)的伸縮和平移

給定一個(gè)基本函數(shù),則的伸縮和平移公式可記為：53函數(shù)的伸縮和平移函數(shù)的伸縮和平移

54序列展開

信號(hào)或函數(shù)常?？梢员缓芎玫胤纸鉃橐幌盗姓归_函數(shù)的線性組合。其中，k是有限或無限和的整數(shù)下標(biāo)，ak是具有實(shí)數(shù)值的展開系數(shù)，是具有實(shí)數(shù)值的展開函數(shù)如果展開是唯一的，f(x)只有一個(gè)ak系數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為基函數(shù)。多分辨率展開55可展開的函數(shù)組成了一個(gè)函數(shù)空間，被稱為展開集合的閉合跨度，表示為：多分辨率展開56尺度函數(shù)

多分辨率展開57尺度函數(shù)任何j,k上的跨度子空間:j增大時(shí)，用于表示子空間函數(shù)的范圍變窄，x有較小變化即可分開。隨j增加

增大，允許有變化較小的變量或較細(xì)的細(xì)節(jié)函數(shù)包含在子空間中。多分辨率展開58哈爾尺度函數(shù)考慮單位高度、單位寬度的尺度函數(shù)：V0展開函數(shù)都屬于V1，V0是V1的一個(gè)子空間。59V2V1V0

多分辨率展開60子空間的展開函數(shù)可以被表示為子空間的展開函數(shù)的加權(quán)和。61哈爾尺度函數(shù)系數(shù)對(duì)于單位高度、單位寬度的哈爾尺度函數(shù)系數(shù)是化簡(jiǎn)62

小波函數(shù)

給定尺度函數(shù)，則小波函數(shù)所在的空間跨越了相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異。令相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異子空間為Wj，則下圖表明了Wj與Vj和Vj+1間的關(guān)系。尺度及小波函數(shù)空間的關(guān)系

多分辨率展開63

多分辨率展開64

多分辨率展開因?yàn)樾〔臻g存在于由相鄰較高分辨率尺度函數(shù)跨越的空間中，任何小波函數(shù)可以表示成尺度函數(shù)：65哈爾尺度函數(shù)系數(shù)：哈爾小波函數(shù)系數(shù)：6667本章內(nèi)容1小波介紹2背景3多分辨率展開4一維小波變換小波序列展開離散小波變換連續(xù)小波變換5快速小波變換6二維小波變換7小波包68小波序列展開是任意開始尺度近似值或尺度系數(shù)細(xì)節(jié)或小波系數(shù)第一個(gè)和式是f(x)在尺度上近似第二個(gè)合適是在較高尺度更細(xì)微分辨率的小波函數(shù)69一維離散小波變換（DWT）70計(jì)算一維離散小波變換考慮四點(diǎn)的離散函數(shù)：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3,f(3)=0。因?yàn)镸=4,J=2且由于j0