第四章-環(huán)境規(guī)劃與管理的數(shù)學方法

第四章環(huán)境規(guī)劃與管理的

數(shù)學基礎(chǔ)第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法第二節(jié)最優(yōu)化分析方法第三節(jié)常用決策分析方法第四節(jié)環(huán)境數(shù)學模型第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法一、數(shù)據(jù)的表示方法列法表：將數(shù)據(jù)列成表格，將各變量的數(shù)值依照一定的形式和順序一一對應(yīng)起來，它通常是整理數(shù)據(jù)的第一步，能為標繪曲線圖或整理成數(shù)學公式打下基礎(chǔ)。圖示法：將數(shù)據(jù)用圖形表示出來，它能用更加直觀和形象的形式將復(fù)雜的數(shù)據(jù)表現(xiàn)出來，可以直觀地看出數(shù)據(jù)變化的特征和規(guī)律，為后一步數(shù)學模型的建立提供依據(jù)。插值法計算數(shù)值。1.列表法例:研究電阻的阻值與溫度的關(guān)系時，測試結(jié)果如下：測量序號溫度(t)/℃電阻(R)/Ω110．510．42229．410．92342．711．32460．011．80575．012．24691．012．672.圖示法圖示法的第一步就是按列表法的要求列出因變量y與自變量x相對應(yīng)的yi與xi數(shù)據(jù)表格。作曲線圖時必須依據(jù)一定的法則，只有遵守這些法則，才能得到與實驗點位置偏差最小而光滑的曲線圖形。坐標紙的選擇：常用的坐標系為直角坐標系，包括笛卡爾坐標系（又稱普通直角坐標系）、半對數(shù)坐標系和對數(shù)坐標系。篩下累計頻率（Fi）粒徑（dp）/μm3.插值法計算數(shù)值例：用分光光度法測定溶液中鐵的含量,測得標準曲線數(shù)據(jù)如下：Fe濃度/（μg·mL-1）24681012吸光度（A）0.0970.2000.3040.4080.5100.613測得未知液的吸光度為0.413，試求未知液中鐵的含量。（1）作圖插值法在圖的縱坐標上0.413處找到直線上對應(yīng)點，讀出其對應(yīng)的橫坐標數(shù)值8.122即為未知液中鐵的含量。此式即為比例法內(nèi)插公式，從圖上可看出，因為用yc代替了yd，產(chǎn)生了的誤差。（2）比例法所以（3）牛頓內(nèi)插公式

一般的非線性函數(shù)都可以展開為多項式:例：制作y=2+x+x3

的差分表。表中△y表示y的依次差值，△2y表示y的差值的差值，以此類推。

在上面的例子中，x的差值為1，實際上x的差值可以為任意恒量，令此恒量為h，做出差分表的通式。表中：△ya=ya+h-ya△2ya=△ya+h-△ya△3ya=△2ya+h-△2ya△4ya=△3ya+h-△3ya……可以推得：△nya=△n-1ya+h-△n-1ya（二）數(shù)據(jù)特征

數(shù)據(jù)特征是對環(huán)境總體狀況進行估計判斷的基礎(chǔ)，是認識數(shù)據(jù)理論特性的基本出發(fā)點，通?？煞譃橐韵氯悾何恢锰卣鲾?shù):表示數(shù)據(jù)集中趨勢或刻畫頻數(shù)分布圖中心位置的特征數(shù)；離散特征數(shù):用來描述數(shù)據(jù)分散程度；分布形態(tài)特征數(shù):刻劃了根據(jù)所獲數(shù)據(jù)繪制的分布曲線圖的形態(tài)。1.位置特征數(shù)（1）算術(shù)平均數(shù)：式中：x1，x2，…，xn為樣本個體數(shù)據(jù)，n為樣本個數(shù)。（2）加權(quán)平均數(shù)：如果樣本個體數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn取值因頻數(shù)不同或?qū)傮w重要性有所差別，則常采取加權(quán)平均方法。式中：wi是個體數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)，或是因該個體對樣本貢獻不同而取的不同的數(shù)值。

（4）調(diào)和平均數(shù)：（3）幾何平均數(shù)：（5）中位數(shù)

環(huán)境數(shù)據(jù)有時顯得比較分散，甚至個別的數(shù)據(jù)離群偏遠，難以判斷去留，這時往往用到中位數(shù)。樣本數(shù)據(jù)依次排列（從大到小或者從小到大），居中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則中位數(shù)為正中兩個數(shù)的平均值。只有當數(shù)據(jù)的分布呈正態(tài)分布時，中位數(shù)才代表這組數(shù)據(jù)的中心趨向，近似于真值。環(huán)境統(tǒng)計中常常用到幾何平均數(shù)。不同的平均值都有各自適用場合，選擇的平均數(shù)指標應(yīng)能反映數(shù)據(jù)典型水平，并非隨意采用。幾何平均直徑:（1）級差（全距）：

（2）差方和，樣本方差和樣本標準差差方和：樣本方差：樣本標準差：（3）變異系數(shù)：2.離散特征數(shù)

3.分布形態(tài)特征數(shù)

刻劃數(shù)據(jù)分布形態(tài)的特征數(shù)有兩個：偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)。（1）偏態(tài)系數(shù)

主要描述數(shù)據(jù)頻率分布對稱特征，反映數(shù)據(jù)是對稱分布或偏向某方向。（2）峰態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)描述數(shù)據(jù)分布陡峭程度。式中：s為樣本標準差。二、異常數(shù)據(jù)的剔除

在處理實驗數(shù)據(jù)的時候，我們常常會遇到個別數(shù)據(jù)偏離預(yù)期或大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)結(jié)果的情況，如果我們把這些數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)放在一起進行統(tǒng)計，可能會影響實驗結(jié)果的正確性，如果把這些數(shù)據(jù)簡單地剔除，又可能忽略了重要的實驗信息。這里重要的問題是如何判斷異常數(shù)據(jù)，然后將其剔除。判斷和剔除異常數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理中的一項重要任務(wù)，目前的一些方法還不是十分完善，有待進一步研究和探索。

目前人們對異常數(shù)據(jù)的判別與剔除主要采用物理判別法和統(tǒng)計判別法兩種方法。物理判別法就是根據(jù)人們對客觀事物已有的認識，判別由于外界干擾、人為誤差等原因造成實測數(shù)據(jù)偏離正常結(jié)果，在實驗過程中隨時判斷，隨時剔除。統(tǒng)計判別法是給定一個置信概率，并確定一個置信限，凡超過此限的誤差，就認為它不屬于隨機誤差范圍，將其視為異常數(shù)據(jù)剔除。

剔除異常數(shù)據(jù)實質(zhì)上是區(qū)別異常數(shù)據(jù)由偶然誤差還是系統(tǒng)誤差造成的問題。若是人為因素的偶然誤差就應(yīng)剔除，如果沒有足夠的理由證實是偶然過失造成的時候，應(yīng)對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理，采用一定的檢驗方法來決定取舍。本節(jié)著重介紹統(tǒng)計判別法。1.拉依達準則

則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除，至于選擇3s還是2s與顯著性水平α有關(guān)，顯著性水平α表示的是檢驗出錯的幾率為α，或檢驗的可置信度為1－α。3s相當于顯著水平＝0.01，2s相當于顯著水平＝0.05。若可疑數(shù)據(jù)xp與樣本數(shù)據(jù)之算術(shù)平均值的偏差的絕對值大于3倍（或2倍）的標準偏差，即：2.格拉布斯準則

用格拉布斯準則檢驗可疑數(shù)據(jù)xp時，選取一定的顯著性水平α，若：

則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除，稱為格拉布斯檢驗臨界值，可查相關(guān)表格得到。

以上準則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當數(shù)據(jù)偏離正態(tài)分布,特別是測量次數(shù)很少時，則判斷的可靠性就差。因此，對粗大誤差除用剔除準則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責任心。另外,要保證測量條件穩(wěn)定，防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。3.狄克遜（dixon）法

狄克遜法是采用極差比的方法，經(jīng)嚴密推算和簡化而得到的準則。

狄克遜研究了n次測量結(jié)果，按其數(shù)值大小排列成如下次序：x(1)≤x(2)≤…≤x(n)

當xi服從正態(tài)分布時，用不同的公式求得下表中的f值，再經(jīng)過查表，得到相應(yīng)的臨界值，進行比較,若計算值>f(n,α)視為異常值，舍棄；再對剩余數(shù)值進行檢驗，直到?jīng)]有異常值為止。狄克遜通過模擬實驗認為：n≤7，使用f10；8≤n≤10，用f11；11≤n≤13，用f21；n≥14，用f22效果好。例題

用狄克遜法判斷下列測試數(shù)據(jù)(40.02，40.15，40.20，40.13，40.16)中的40.02是否應(yīng)舍棄？解：將數(shù)據(jù)排列，取α=0.0540.0240.1340.1540.1640.20因為，0.611＜0.642所以40.02應(yīng)保留。三、數(shù)據(jù)的誤差分析（一）幾種誤差的基本概念絕對誤差：絕對誤差＝觀測值-真值。絕對誤差反映了觀測值偏離真值的大小。通常所說的誤差一般是指絕對誤差。相對誤差：相對誤差是絕對誤差和真值的比值，常用百分數(shù)表示。算術(shù)平均誤差可以反映一組數(shù)據(jù)的誤差大小。標準誤差也稱均方根誤差或標準偏差，它常用來表示觀測數(shù)據(jù)的精密度，能明顯地反映出較大的個別誤差，標準誤差越小，說明數(shù)據(jù)精密度越好。例題:滴定的體積誤差（二）誤差的來源及分類1.隨機誤差隨機誤差是在一定條件下以不可預(yù)知的規(guī)律變化著的誤差。這些偶然因素是操作者無法嚴格控制的，故無法完全避免隨機誤差。但它的出現(xiàn)一般具有統(tǒng)計規(guī)律，大多服從正態(tài)分布。2.系統(tǒng)誤差

3.過失誤差過失誤差是由于操作人員不仔細、操作不正確等原因引起的，它是完全可以避免的。系統(tǒng)誤差是指由某個或某些不確定的因素所引起的誤差。當條件一旦確定，系統(tǒng)誤差就是一個客觀上的恒定值，它不能通過多次測量取平均值的方法來消除，只能根據(jù)儀器的性能、環(huán)境條件或個人偏差等進行校正，使之降低。（三）誤差分析

誤差可能是由于隨機誤差或系統(tǒng)誤差單獨造成的，還可能是兩者的疊加。誤差分析中，常采用精密度、正確度和準確度來表示誤差的性質(zhì)。精密度反映了隨機誤差大小的程度，是指在相同條件下，對被測對象進行多次反復(fù)測量，測量值之間的一致(符合)程度。

正確度指測量值與其“真值”的接近程度。對于一組數(shù)據(jù)來說，精密度高并不意味著正確度也高；反之，精密度不好，但當測量次數(shù)相當多時，有時也會得到好的正確度。準確度指被測對象測量值之間的一致程度以及與其“真值”的接近程度。準確度、正確度和精密度的關(guān)系四、數(shù)據(jù)的標準化處理

在大批的環(huán)境統(tǒng)計數(shù)據(jù)中，當數(shù)據(jù)的物理量不同、單位或量值差別較大時，常常會給下一步分析帶來困難，這時就有必要對數(shù)據(jù)進行標準化處理，從而提高計算的精度。環(huán)境管理與規(guī)劃中，常采用下面的公式進行標準化處理：式中：uij為xij標準化后對應(yīng)的數(shù)據(jù)，xij(i=1，2，3，…，m；j=1，2，3，…，n)為一批數(shù)據(jù)中第i個因子的第j個數(shù)據(jù)，si、分別為第i個因子標準差和平均值。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法一、線性規(guī)劃二、非線性規(guī)劃三、動態(tài)規(guī)劃一、線性規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃管理中，線性規(guī)劃常常用來解決兩類優(yōu)化問題：一是如何優(yōu)化資源配置使產(chǎn)值最大或利潤最高，二是如何統(tǒng)籌安排以便消耗最少的資源或排放最少的污染物。

≤（=≥）

≤（=≥）

≤（=≥）

≥0一般線性規(guī)劃問題的求解，最常用的算法是單純形法。線性規(guī)劃從數(shù)學上說，線性規(guī)劃問題可以描述為：1）通過一組未知量表示規(guī)劃的待定方案，這組未知量的確定值代表了一個具體方案。未知量的取值是非負2）對于規(guī)劃的對象，存在若干限制條件，限制條件以未知量的線性等式或不等式約束表達3）存在一個目標要求，這個目標由未知量的線性函數(shù)來描述。線性規(guī)劃的一般表達式max(min)f=cxAx≤(=,≥)b

式中：，由n個決策變量構(gòu)成的向量，即規(guī)劃問題的備選方案；c=，由目標函數(shù)中決策變量的系數(shù)構(gòu)成的向量；A是由線性規(guī)劃問題的m個約束條件中關(guān)于決策變量的系數(shù)組成的矩陣；，由m個約束條件的常數(shù)構(gòu)成的向量。例子在一個小區(qū)有三個排放總懸浮顆粒物（TSP）的點源，其中兩個是燃煤發(fā)電廠，另一個是水泥廠的窯爐。發(fā)電廠每燒1t煤排放95kgTSP，水泥廠每生產(chǎn)1t水泥排放85kgTSP。水泥廠的產(chǎn)量為250000t/a,兩個發(fā)電廠燃煤量分別是400000和300000t/a。下表給出污染控制方法及費用?，F(xiàn)在要求將TSP的總量削減80%，寫出最佳的控制方法的LP模型。求解過程本例中的決策變量定義為Xij——點源 i（i=1,2,3)采用控制方法j（j=0,1,…5）的量（t/a）。采用年總費用（美元/t）作為目標函數(shù)：minZ=1.0X11+2.0X14+2.8X15+1.4X21+2.2X24+3.0X25+1.1X31+1.2X32+1.5X33+3.0X34發(fā)電廠和水泥廠的TSP排放量：i1=400000*95=38000000kg/ai2=300000*95=28500000kg/ai3=250000*85=21250000kg/a總計=87750000kg/a，削減80%后的總量為17550000kg/a。用排污系數(shù)和去除效率計算實際的TSP總排放量。發(fā)電廠1燃燒1t煤的排放量是：95X10+95*0.41X11+95*0.06X14+95*0.03X15=95X10+39X11+5.7X14+2.9X15則整個小區(qū)大氣污染控制目標的限制為（95X10+39X11+5.7X14+2.9X15）+（95X20+39X21+5.7X24+2.9X25）+（85X30+34.9X31+22.1X32+13.6X33+5.1X34)≤17550000發(fā)電廠燃煤量和水泥廠產(chǎn)量的質(zhì)量平衡X10+X11+X14+X15=400000X20+X21+X24+X25=300000X30+X31+X32+

X33+X34=250000目標函數(shù)minZ=1.0X11+2.0X14+2.8X15+1.4X21+2.2X24+3.0X25+1.1X31+1.2X32+1.5X33+3.0X34控制變量：（95X10+39X11+5.7X14+2.9X15）+（95X20+39X21+5.7X24+2.9X25）+（85X30+34.9X31+22.1X32+13.6X33+5.1X34)≤17550000X10+X11+X14+X15=400000X20+X21+X24+X25=300000X30+X31+X32+

X33+X34=250000Xij≥0線性規(guī)劃的求解問題一般線性規(guī)劃問題求解，最常用的算法是單純形法，也可采用對偶單純形法和兩階段法求解。

如果線性規(guī)劃問題的部分或全部變量的取值有整數(shù)的限制要求，這類特殊的線性規(guī)劃稱為整數(shù)規(guī)劃。要求全為非負數(shù)的稱為純整數(shù)規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃中一類特殊的情況是0—1規(guī)劃，它的決策變量取值僅限于0或1。整數(shù)規(guī)劃用于污水處理設(shè)施數(shù)量或環(huán)境規(guī)劃方案的取舍等污染控制系統(tǒng)規(guī)劃的決策問題。求解整數(shù)規(guī)劃分支定界法割平面法針對0—1規(guī)劃的隱枚舉法二、非線性規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃與管理中，某些問題的決策模型可能會出現(xiàn)下面的情況：①目標函數(shù)非線性，約束條件為線性；②目標函數(shù)為線性，約束條件非線性；③目標函數(shù)與約束條件均為非線性函數(shù)。上述情況均屬于非線性規(guī)劃問題，其數(shù)學模型的一般形式是：

≥0上頁式中：（x1，x2，…，xn

）T為n維歐氏空間En中的向量，它代表一組決策變量。如果需目標函數(shù)最大，可由=-轉(zhuǎn)換為求-的最小問題。當某約束為，則可用不等式約束代替。數(shù)值求解非線性規(guī)劃的算法大體分為兩類：一是采用逐步線性逼近的思想，通過一系列非線性函數(shù)線性化的過程，利用線性規(guī)劃獲得非線性規(guī)劃的近似最優(yōu)解；二是采用直接搜索的思想，根據(jù)部分可行解或非線性函數(shù)在局部范圍內(nèi)的某些特性，確定迭代程序，通過不斷改進目標值的搜索計算，獲得最優(yōu)或滿足需要的局部最優(yōu)解。三、動態(tài)規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃管理中，經(jīng)常遇到多階段最優(yōu)化問題，即各個階段相互聯(lián)系，任一階段的決策選擇不僅取決于前一階段的決策結(jié)果，而且影響到下一階段活動的決策，從而影響到整個決策過程的優(yōu)化問題。這類問題通常采用動態(tài)規(guī)劃方法求解?；驹頌椋鹤鳛槎嚯A段決策問題，其整個過程的最優(yōu)策略應(yīng)具有這樣的性質(zhì)，即無論過去的狀態(tài)和決策如何，對前面的決策所形成的狀態(tài)而言，其后一系列決策必須構(gòu)成最優(yōu)決策。可以把多階段決策問題分解成許多相互聯(lián)系的小問題，從而把一個大的決策過程分解成一系列前后有序的子決策過程，分階段實現(xiàn)決策的“最優(yōu)化”，進而實現(xiàn)“總體最優(yōu)化”方案。為使最后決策方案獲得最優(yōu)決策效果，動態(tài)規(guī)劃求解可用下列遞推關(guān)系式表示：任何多階段決策問題的最優(yōu)決策序列，都有一共同的基本性質(zhì)，這就是動態(tài)規(guī)劃問題的最優(yōu)化原理（優(yōu)化貝爾曼原理）。即：一個多階段決策問題的最優(yōu)決策序列，對其任一決策，無論過去的狀態(tài)和決策如何，若以該決策導(dǎo)致的狀態(tài)為起點，其后任一決策必須構(gòu)成最優(yōu)決策序列。這種決策一般采用逆序求解的方法建立模型。式中：k—階段數(shù)，k=n-1，…，3，2，1xk—第k階段的狀態(tài)變量，即k－1階段決策的結(jié)果。第k階段所有狀態(tài)成一狀態(tài)集；—第k階段的決策變量，它代表第k階段處于狀態(tài)xk時的選擇，即決策；—第k階段從狀態(tài)xk轉(zhuǎn)移到下一階段狀態(tài)uk(xk)時的階段效果。第三節(jié)常用決策分析方法決策是指通過對解決問題備選方案的比較，從中選出最好的方案。決策貫穿于環(huán)境管理與規(guī)劃的各個方面，是管理與規(guī)劃的核心。技術(shù)經(jīng)濟分析中的決策，是指對多方案進行評價與擇優(yōu)，從而選定一個最滿意的方案。決策的分類按決策的條件確定型、非確定型、風險型按決策的對象宏觀、微觀按決策在企業(yè)組織中的地位分類高層決策、中層決策、基層決策決策技術(shù)一、決策樹法含義：決策樹是把方案的一系列因素按它們的相互關(guān)系用樹狀結(jié)構(gòu)表示出來，再按一定程序進行優(yōu)選和決策的技術(shù)方法。優(yōu)點：（1）便于有次序、有步驟、直觀而又周密地考慮問題；（2）便于集體討論和決策；（3）便于處理復(fù)雜問題的決策。決策樹圖形

—表示決策點，從它引出的分枝稱為策略方案分枝，分枝樹反映可能的方案數(shù)；—表示策略方案節(jié)點，其引出的分枝稱為概率分枝，分枝數(shù)目反映可能的自然狀態(tài)數(shù)；—表示事件節(jié)點，又稱末梢。決策樹圖形

適用對象：多階段決策、前一階段的決策影響后續(xù)階段的結(jié)構(gòu)和決策的項目。方法：用決策樹的形式列出決策問題的邏輯結(jié)構(gòu)。從決策樹的末梢向決策點倒退，計算出不同決策方案下的期望值，將未占優(yōu)的方案去掉，直到得出初始的決策方案。運用決策樹技術(shù)的步驟：（1）繪制決策樹圖；（2）預(yù)計可能事件（可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)）及其發(fā)生的概率；（3）計算各策略方案的損益期望值；（4）比較各策略方案的損益期望值，進行擇優(yōu)決策。若決策目標是效益，應(yīng)取期望值大的方案；若決策目標是費用或損失，應(yīng)取期望值小的方案。例題：

（參考書目：環(huán)境管理學-楊賢智編著）

有一石油化工企業(yè)，對一批廢油渣進行綜合利用。它可以先做實驗，然后決定是否綜合利用；也可以不做實驗，只憑經(jīng)驗決定是否綜合利用。做實驗的費用每次為3000元，綜合利用費每次為10000元。若做出產(chǎn)品，可收入40000元；做不出產(chǎn)品，沒有收入。各種不同情況下的產(chǎn)品成功概率均已估計出來，都標在圖1上。試問欲使收益期期望值為最大，企業(yè)應(yīng)如何作出決策。根據(jù)圖中給出數(shù)據(jù)求解。決策樹采用逆順序計算法。

1．計算事件點②、③、④的期望值1234①試驗概率為0.6②綜合利用△-3000△-10000產(chǎn)品成功概率為0.85產(chǎn)品不成功概率為0.15不綜合利用0040000③④圖1決策樹產(chǎn)品成功概率為0.1產(chǎn)品成功概率為0.55產(chǎn)品不成功概率為0.9產(chǎn)品不成功概率為0.45不綜合利用不綜合利用00004000040000不試驗概率為0.4綜合利用綜合利用△-10000△-10000好不好─決策點─決策（事件）點─支出符號②40000×0.85＋0×0.15＝34000③40000×0.10＋0×0.90＝4000④40000×0.55＋0×0.45＝22000原決策樹根據(jù)以上算出的期望值可簡化為圖2a：2.在決策點2、3、4作出決策2按max[（34000－10000），0]＝24000，決定綜合利用。3按max[（4000－10000），0]＝0，決定不綜合