如何用數(shù)學(xué)方法來解決物理問題

#如何用數(shù)學(xué)方法來解決物理問題方法概述數(shù)學(xué)是解決物理問題的重要工具，借助數(shù)學(xué)方法可使一些復(fù)雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性，能達(dá)到打通關(guān)卡、長驅(qū)直入地解決問題的目的．中學(xué)物理《考試大綱》中對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力作出了明確的要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題”的能力．對(duì)這一能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮．所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)．可以說，任何物理問題的分析、處理過程，都是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過程．本專題中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差（比）數(shù)列求和法等．一、極值法數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等．1．利用三角函數(shù)求極值y=acos0+bsin0=\a2+b2(.cos0+'.sin0)a2+b2a2+b2o=,cos0=\.'a2o=,cos0=\.'a2+b2a2+b2則有:y=\!a2+b2(sin0cos0+cosysin0)=\''a2+b2sin(p+0)令sin(p=所以當(dāng)0+0=^，y有最大值，且ymax=￡a2+b2.2．利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù):，”，,、b二次函數(shù):，”，,、b、b2、b2,、b、y=ax2十bx+c=a（x2+：x十石2）+c一石=a（x十亦）2十4ac—b24a（其中a、b、b4ac－b2為實(shí)常數(shù)），當(dāng)x=—2a時(shí)，有極值ym=4a（若二次項(xiàng)系數(shù)a>0,y有極小值；若a<0,y有極大值）.3．均值不等式對(duì)于兩個(gè)大于零的變量a、b,若其和a+b為一定值p,則當(dāng)a=b時(shí)，其積ab取得極大值管;對(duì)于三個(gè)大于零的變量a、b、c,若其和a+b+c為一定值q,則當(dāng)a=b=c時(shí)，其積abc取得極大值27-二、幾何法利用幾何方法求解物理問題時(shí)，常用到的有“對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)”、“兩點(diǎn)間直線距離最短”、“直角三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性”等相關(guān)知識(shí)，如:帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類問題，物體的變力分析時(shí)經(jīng)常要用到相似三角形法、作圖法等．與圓有關(guān)的幾何知識(shí)在力學(xué)部分和電學(xué)部分的解題中均有應(yīng)用，尤其在帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)類問題中應(yīng)用最多，此類問題的難點(diǎn)往往在圓心與半徑的確定上，確定方法有以下幾種．1．依切線的性質(zhì)確定．從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，過切點(diǎn)作切線的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為圓心，圓心與切點(diǎn)的連線為半徑．2．依垂徑定理（垂直于弦的直徑平分該弦，且平分弦所對(duì)的?。┖拖嘟幌叶ɡ恚ㄈ绻遗c直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)）確定．如圖8—1所示．圖8－1由EB2=CE?ED=CE?（2R_CE得：R=EB得：R=EB22CECE2也可由勾股定理得：R2=（R－CE）2＋EB2解得：R解得：R=EB22CE以上兩種求半徑的方法常用于求解“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”這類習(xí)題中．三、圖象法中學(xué)物理中一些比較抽象的習(xí)題常較難求解，若能與數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合，再恰當(dāng)?shù)匾胛锢韴D象，則可變抽象為形象，突破難點(diǎn)、疑點(diǎn)，使解題過程大大簡化．圖象法是歷年高考的熱點(diǎn)，因而在復(fù)習(xí)中要密切關(guān)注圖象，掌握?qǐng)D象的識(shí)別、繪制等方法．1．物理圖象的分類整個(gè)高中教材中有很多不同類型的圖象，按圖形形狀的不同可分為以下幾類．直線型：如勻速直線運(yùn)動(dòng)的s-t圖象、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖象、定值電阻的U－I圖象等．正弦曲線型：如簡諧振動(dòng)的x-t圖象、簡諧波的y-x圖象、正弦式交變電流的e-t圖象、正弦式振蕩電流的i-t圖象及電荷量的q-t圖象等.其他型：如共振曲線的A-f圖象、分子力與分子間距離的f-r圖象等.下面我們對(duì)高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧，以期對(duì)物理圖象有個(gè)較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和歸納.圖象函數(shù)形式特例物理意義C0Xy=c勻速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖象做勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度是恒矢量.7..y=kx勻速直線運(yùn)動(dòng)的s-t圖象初速度v0=0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的v-1圖象(若v0M0,則縱截距不為零)純電阻電路的I-表示物體的位移大小隨時(shí)間線性增大.表示物體的速度大小隨時(shí)間線性增大.表示純電阻電路

U圖象中I隨導(dǎo)體兩端的電壓U線性增大.J0y=a_kx勻減速直線運(yùn)動(dòng)的v~t圖象閉合電路中的U—I圖象(U=E_Ir)表示物體的速度大小隨時(shí)間線性減小.表示路端電壓隨電流的增大而減小.0Es.ay—x+bx(雙曲線函數(shù))由純電阻用電器組成的閉合電路的EU—R圖象(U=R+R)在垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)的[XCzt71.tifBP]導(dǎo)軌上，自由導(dǎo)體棒在一恒定動(dòng)力F的作用下做變加速運(yùn)動(dòng)的v—t圖象表示純電阻電路中電源的端電壓隨外電阻而非線性增大.將達(dá)到穩(wěn)定速度FR總Vm=B2L總LZ.y=kx2(拋物線函數(shù))小燈泡消耗的實(shí)際功率與外加電壓的P—U圖象位移與時(shí)間的s—t圖象(s=2at2)表示小燈泡消耗的實(shí)際功率隨電壓的增大而增大，且增大得越來越快.表示位移隨時(shí)間的增大而增大，且增大得越來越快.1xy=c(雙曲線函數(shù))機(jī)械在額定功率下，其牽引力與速度的關(guān)系圖象(P=Fv)表示功率一定時(shí)，牽引力與速度成反比.-A—y=Asinmt交流電的e—t圖象(e=Emsinmt)表示交流電隨時(shí)間變化的關(guān)系.2．物理圖象的應(yīng)用(1)利用圖象解題可使解題過程更簡化，思路更清晰．利用圖象法解題不僅思路清晰，而且在很多情況下可使解題過程得到簡化，起到比解析法更巧妙、更靈活的獨(dú)特效果．甚至在有些情況下運(yùn)用解析法可能無能為力，但是運(yùn)用圖象法則會(huì)使你豁然開朗，如求解變力分析中的極值類問題等．(2)利用圖象描述物理過程更直觀．從物理圖象上可以比較直觀地觀察出物理過程的動(dòng)態(tài)特征．(3)利用物理圖象分析物理實(shí)驗(yàn)．運(yùn)用圖象處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種方法，這是因?yàn)樗司哂泻喢?、直觀、便于比較和減少偶然誤差的特點(diǎn)外，還可以由圖象求解第三個(gè)相關(guān)物理量，尤其是無法從實(shí)驗(yàn)中直接得到的結(jié)論．3．對(duì)圖象意義的理解首先應(yīng)明確所給的圖象是什么圖象，即認(rèn)清圖象中比縱橫軸所代表的物理量及它們的“函數(shù)關(guān)系”，特別是對(duì)那些圖形相似、容易混淆的圖象，更要注意區(qū)分．例如振動(dòng)圖象與波動(dòng)圖象、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的s-t圖象和v-t圖象、電磁振蕩中的i-t圖象和q-t圖象等.要注意理解圖象中的“點(diǎn)”、“線”、“斜率”、“截距”、“面積”的物理意義．點(diǎn)：圖線上的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)研究對(duì)象的一個(gè)狀態(tài).要特別注意“起點(diǎn)”、“終點(diǎn)”、“拐點(diǎn)”、“交點(diǎn)”，它們往往對(duì)應(yīng)著一個(gè)特殊狀態(tài).如有的速度圖象中，拐點(diǎn)可能表示速度由增大(減小)變?yōu)闇p小(增大)，即加速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻，而速度圖線與時(shí)間軸的交點(diǎn)則代表速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻.線：注意觀察圖線是直線、曲線還是折線等，從而弄清圖象所反映的兩個(gè)物理量之間的關(guān)系.斜率：表示縱橫坐標(biāo)上兩物理量的比值.常有一個(gè)重要的物理量與之對(duì)應(yīng)，用于求解定量計(jì)算中所對(duì)應(yīng)的物理量的大小以及定性分析變化的快慢.如v-t圖象的斜率表示加速度.截距：表示縱橫坐標(biāo)兩物理量在“邊界”條件下物理量的大小.由此往往可得到一個(gè)很有意義的物理量.如電源的U-I圖象反映了U=E-Ir的函數(shù)關(guān)系，兩截距點(diǎn)分別為(0,⑵和點(diǎn)，0)面積：有些物理圖象的圖線與橫軸所圍的面積往往代表一個(gè)物理量的大小?如v-t圖象中面積表示位移.4.運(yùn)用圖象解答物理問題的步驟看清縱橫坐標(biāo)分別表示的物理量.看圖象本身，識(shí)別兩物理量的變化趨勢(shì)，從而分析具體的物理過程.看兩相關(guān)量的變化范圍及給出的相關(guān)條件，明確圖線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圖線斜率、圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”的物理意義.四、數(shù)學(xué)歸納法在解決某些物理過程中比較復(fù)雜的具體問題時(shí)，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的.利用數(shù)學(xué)歸納法解題要注意書寫上的規(guī)范，以便找出其中的規(guī)律.五、微元法利用微分思想的分析方法稱為微元法.它是將研究對(duì)象(物體或物理過程)進(jìn)行無限細(xì)分，再從中抽取某一微小單元進(jìn)行討論，從而找出被研究對(duì)象的變化規(guī)律的一種思想方法.微元法解題的思維過程如下.隔離選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃鳛檠芯繉?duì)象.微元可以是一小段線段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個(gè)小體積、小質(zhì)量或一小段時(shí)間等，但必須具有整體對(duì)象的基本特征.將微元模型化(如視為點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)等)，并運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律求解這個(gè)微元與所求物體之間的關(guān)聯(lián).將一個(gè)微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對(duì)稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對(duì)各微元的求解結(jié)果進(jìn)行疊加，以求得整體量的合理解答.六、三角函數(shù)法三角函數(shù)反映了三角形的邊、角之間的關(guān)系，在物理解題中有較廣泛的應(yīng)用.例如：討論三個(gè)共點(diǎn)的平衡力組成的力的三角形時(shí)，常用正弦定理求力的大??；用函數(shù)的單調(diào)變化的臨界狀態(tài)來求取某個(gè)物理量的極值；用三角函數(shù)的“和積公式”將結(jié)論進(jìn)行化簡等.七、數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù).隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化.該類問題求解的基本思路為：逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程；利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式(這是解題的關(guān)鍵)；最后分析整個(gè)物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律求解.無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用.等差：S產(chǎn)也呼二“幻+嚀^〃為公差).

等比：S=幻￥_qn）（q為公比）.”1—q1八、比例法比例計(jì)算法可以避開與解題無關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進(jìn)行計(jì)算，使解題過程大為簡化.應(yīng)用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系，要清楚公式的物理意義和每個(gè)量在公式中的作用，以及所要討論的比例關(guān)系是否成立.同時(shí)要注意以下幾點(diǎn).（1）比例條件是否滿足.物理過程中的變量往往有多個(gè)，討論某兩個(gè)量間的比例關(guān)系時(shí)要注意只有其他量為常量時(shí)才能成比例.（2）比例是否符合物理意義.不能僅從數(shù)學(xué)關(guān)系來看物理公式中各量的比例關(guān)系，要注意每個(gè)物理量的意義.（如不能根據(jù)R斗認(rèn)定電阻與電壓成正比）（3）比例是否存在.討論某公式中兩個(gè)量的比例關(guān)系時(shí)，要注意其他量是否能認(rèn)為是不U2變量?如果該條件不成立，比例也不能成立.（如在串聯(lián)電路中，不能認(rèn)為P=~R中P與R成反比，因?yàn)镽變化的同時(shí)，U也隨之變化而并非常量）許多物理量都是用比值法來定義的，常稱之為“比值定義”?如密度p=m，導(dǎo)體的電阻R=UU，電容器的電容C=U，接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=f，電場(chǎng)強(qiáng)度E=F等.它們的共同特征是：被定義的物理量是反映物體或物質(zhì)的屬性和特征的，它和定義式中相比的物理量無關(guān).對(duì)此，學(xué)生很容易把它當(dāng)做一個(gè)數(shù)學(xué)比例式來處理而忽略了其物理意義，也就是說教學(xué)中還要防止數(shù)學(xué)知識(shí)在物理應(yīng)用中的負(fù)遷移.數(shù)學(xué)是“物理學(xué)家的思想工具”，它使物理學(xué)家能“有條理地思考”并能想象出更多的東西.可以說，正是有了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的有機(jī)結(jié)合，才使物理學(xué)日臻完善.物理學(xué)的嚴(yán)格定量化，使得數(shù)學(xué)方法成為物理解題中一個(gè)不可或缺的工具.?例?例1如圖8－2甲所示，一薄木板放在正方形水平桌面上，木板的兩端與桌面的兩端對(duì)齊，一小木塊放在木板的正中間?木塊和木板的質(zhì)量均為m端對(duì)齊，一小木塊放在木板的正中間?木塊和木板的質(zhì)量均為m,木塊與木板之間、木板與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為現(xiàn)突然以一水平外力F將薄木板抽出，要使小木塊不從桌面解析】解法一F越大，木塊與木板分離時(shí)的速度、位移越小，木塊越不可能從桌面滑下.設(shè)拉力為F0時(shí)，木塊恰好能滑至桌面的邊緣，再設(shè)木塊與木板分離的時(shí)刻為t1，在0?t1時(shí)間內(nèi)有：(F0(F0—ymg—2ymgmti21L2如i2p對(duì)t1時(shí)間后木塊滑行的過程，有：嚀（〃gt［）2L12〃g2〃g22“g12解得：Fo=6卩mg.解法二F越大，木塊與木板分離時(shí)的速度、位移越小，木塊越不可能從桌面滑出.若木塊不從桌面滑出，則其v—t圖象如圖8—2乙中OBC所示，其中OB的斜率為pg,BC的斜率為一〃g,t1=t2圖8－2乙有：S“bc=6如Jaw#設(shè)拉力為F時(shí)，木板的v~t圖象為圖7—2乙中的直線OA,則S△oab=2即扯-V］）.占其中V=^gt其中V=^gtvv2F—3umg=m?ti解得：F26ymg即拉力至少為6〃mg.［答案］C【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于兩物體間的多過程運(yùn)動(dòng)問題，在明確物理過程的基礎(chǔ)上，畫出物體各自的運(yùn)動(dòng)圖象，這樣兩物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)就很明顯了.利用圖線與坐標(biāo)軸所夾面積的關(guān)系明確物體間的位移關(guān)系，可省略一些物理量的計(jì)算，從而快速、簡捷地解答問題，同類題可見專題一能力演練第3題.?例2如圖8—3甲所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在外力F的作用下從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止沿直線ON斜向下運(yùn)動(dòng)，直線ON與y軸負(fù)方向成0角（0n<4），貝9F的大小至少為；若F=mgtan0,則質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能大小的變化情況是［2008年高考?上海物理卷］圖8－3甲【解析】該質(zhì)點(diǎn)在重力和外力F的作用下從靜止開始做直線運(yùn)動(dòng)，說明質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如圖8—3乙所示，當(dāng)F的方向?yàn)閍方向（垂直于ON）時(shí)，F(xiàn)最小為mgsin6；若F=mgtan6,即F可能為b方向或c方向，故除重力外的力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)可能做正功，也可能做負(fù)功，所以質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能增加、減少都有可能．圖8－3乙［答案］mgsin6增加、減少都有可能【點(diǎn)評(píng)運(yùn)用平行四邊形（三角形）定則分析物體受力的變化情況（或用相似三角形比較受力）是一種常用的方法，同類題可見專題一同類拓展2和例題4．?例3總質(zhì)量為80kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員從離地500m的直升機(jī)上跳下，經(jīng)過2s拉開繩索開啟降落傘，圖8—4是跳傘過程中的v—t圖象，試根據(jù)圖象求：（取g=10m/s2）

圖8－4t=ls時(shí)運(yùn)動(dòng)員的加速度和所受阻力的大小.估算14s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度及克服阻力做的功.估算運(yùn)動(dòng)員從飛機(jī)上跳下到著地的總時(shí)間．［2008年高考?上海物理卷］【解析】⑴從圖象中可以看出，在t=2s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員做勻加速運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小為:162162m/s2=8m/s2設(shè)此過程中運(yùn)動(dòng)員受到的阻力大小為f根據(jù)牛頓第二定律，有：mg-f=ma得：f=m(g—a)=80X(10—8)N=160N.(2)e—t圖象與t軸所包圍的面積表示位移，由圖象可知14s內(nèi)該面積包含的格子為39格所以h=39X2X2m=156m根據(jù)動(dòng)能定理，有：mgh—W=］mv2所以Wf=mgh—*mv2=(80X10X156—^X8OX62)J^1.23X105J.(3)14s后運(yùn)動(dòng)員做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：,H—h500—156__t=~V~=6?57s運(yùn)動(dòng)員從飛機(jī)上跳下到著地所需要的總時(shí)間為：t總=/+/'=(14+57)s^71s.［答案］(1)160N(2)1.23X105J(3)71s【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于本題，應(yīng)明確v—t圖象中“面積”的含義，在數(shù)小方格個(gè)數(shù)時(shí)需注意合理取舍，即大于半格的算1個(gè)，小于半格的舍去.?例4如圖8—5甲所示，一質(zhì)量m=1kg的木板靜止在光滑水平地面上.開始時(shí)，木板右端與墻相距L=0.08m,一質(zhì)量m=1kg的小物塊以初速度v0=2m/s滑上木板左端.木板的長度可保證物塊在運(yùn)動(dòng)過程中不與墻接觸?物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)尸0.1,木板與墻碰撞后以與碰撞前瞬時(shí)等大的速度反彈.取g=10m/s2,求：圖8－5甲從物塊滑上木板到兩者達(dá)到共同速度時(shí)，木板與墻碰撞的次數(shù)及所用的時(shí)間．達(dá)到共同速度時(shí)木板右端與墻之間的距離．【解析】解法一物塊滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板從靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng).設(shè)木板的加速度大小為a經(jīng)歷時(shí)間T后與墻第一次碰撞，碰撞時(shí)的速度為v1，則有：ymg=ma1L=2^T2V]=aT可得：a=1m/s2，T=0.4s，v1=0.4m/s物塊與木板達(dá)到共同速度之前，在每兩次碰撞之間，木板受到物塊對(duì)它的摩擦力作用而做加速度恒定的運(yùn)動(dòng)，因而木板與墻相碰后將返回至初態(tài)，所用時(shí)間為T.設(shè)在物塊與木板達(dá)到共同速度v之前木板共經(jīng)歷了n次碰撞，則有：v=v0—(2nT+At)a=a?At式中At是碰撞n次后木板從起始位置至達(dá)到共同速度所需要的時(shí)間上式可改寫為：2v=v0—2nTa由于木板的速率只能在0到v1之間，故有：OWv0—2nTaW2V]解得：1.5WnW2.5由于n是整數(shù)，故n=2解得：v=0.2m/s，At=0.2s從開始到物塊與木板達(dá)到共同速度所用的時(shí)間為：t=4T＋At=1.8s.(2)物塊與木板達(dá)到共同速度時(shí)，木板右端與墻之間的距離為：s=L—*a?At2解得：s=0.06m解法二(1)物塊滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a1=^g=1m/s，方向向右物塊做減速運(yùn)動(dòng)的加速度a2=〃g=1m/s,方向向左可作出物塊、木板的v—t圖象如圖8—5乙所示由圖可知，木板在0.4s、1.2s時(shí)刻兩次與墻碰撞，在t=1.8s時(shí)刻物塊與木板達(dá)到共同速度.(2)由圖8—5乙可知，在t=1.8s時(shí)刻木板的位移為：s=|xa1X0.22=0.02m木板右端距墻壁的距離As=L-s=0.06m.圖8－5乙［答案］(1)1.8s(2)0.06m【點(diǎn)評(píng)本題的兩種解題方法都是在清晰地理解物理過程的前提下巧妙地應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解析的，專題一例4中的解法二也是典型地利用圖象來確定物理過程的.?例5圖8—6所示為一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)狀均勻帶電平面，其單位面積的帶電量為6取環(huán)面中心O為原點(diǎn)，以垂直于環(huán)面的軸線為x軸.設(shè)軸上任意點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離為x,P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E.下面給出E的四個(gè)表達(dá)式(式中k為靜電力常量)，其中只有一個(gè)是合理的.你可能不會(huì)求解此處的場(chǎng)強(qiáng)E,但是你可以通過一定的物理分析，對(duì)下列表達(dá)式的合理性作出判斷?根據(jù)你的判斷，E的合理表達(dá)式應(yīng)為［2009年高考?北京理綜卷］()圖8—6A.BC.2+R?2丿"\\x2^r22\xR]A.BC.2+R?2丿"\\x2^r22\xR]2+R22丿D?E=2n氐気+石気x【解析】A選項(xiàng)表達(dá)式可變形為：,對(duì)于這一表達(dá)式，當(dāng)R]=0時(shí)，e=—加辰7R,1+D?E=2n氐気+石気x【解析】A選項(xiàng)表達(dá)式可變形為：,對(duì)于這一表達(dá)式，當(dāng)R]=0時(shí)，e=—加辰7R,1+(R)2隨x的增大，E的絕對(duì)值增大，這與客觀事實(shí)不符合，故A錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)中的表達(dá)式,當(dāng)x=0時(shí)，E=4nka，而事實(shí)由對(duì)稱性知應(yīng)該為E=0，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，廠1-L廠11]+(R1)2\^5丿同樣E隨x增大而增大，當(dāng)x=s時(shí)E>0，這與事實(shí)不符合，故D錯(cuò)誤，只有B可能正確.E=2nko[答案]B【點(diǎn)評(píng)】本例與2008年高考北京理綜卷第20題相似，給出某一規(guī)律的公式，要求證它的正確性，這類試題應(yīng)引起足夠的重視.?例6如圖8—7所示，一輕繩吊著一根粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高為H,上端套著一個(gè)細(xì)環(huán).棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg(k>1).斷開輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長，與地面發(fā)生碰撞時(shí)觸地時(shí)間極短，無動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì).求：圖8—7棒第一次與地面碰撞后彈起上升的過程中，環(huán)的加速度.從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程s.從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止的過程中，摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功W.[2007年高考?江蘇物理卷]【解析】(1)設(shè)棒第一次上升的過程中環(huán)的加速度為a由牛頓第二定律有：kmg—mgm=(k—1)g，方向豎直向上.kmg+mgmkmg+mgm=—(k+1)gH1=路程212=』2ak＋1H1=路程212=』2ak＋1s=H+2H]=k+3k+rH-(3)解法一設(shè)棒第一次彈起經(jīng)過t1時(shí)間后與環(huán)達(dá)到共同速度環(huán)的速度v1'=—q+a環(huán)棒的速度“=+a棒八解得：啟冷晉環(huán)的位移h環(huán)［h—q^+gat12h棒的位移h棒i=2itik—1棒ti2=~kTHxi=h環(huán)i—h棒i解得：x1=—2H棒、環(huán)一起下落至地，有：v22—v.'2=2gh加］21棒1解得：勺=\J2^同理，環(huán)第二次相對(duì)棒的位移為：—7z-2HX2=h環(huán)2—h棒2=—12xnxnh2Hkn故環(huán)相對(duì)棒的總位移尸工1+屮?卄丁——所以W=kmgx=—kmgH>解法二經(jīng)過足夠長的時(shí)間棒和環(huán)最終靜止，設(shè)這一過程中它們相對(duì)滑動(dòng)的總路程為l，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律有：mgH+mg(H+1)=kmgl解得：l解得：l=2H

k-1故摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功為：W=-kmgl=-2kmgHW=-kmgl=-2kmgHk-1?［答案］(1)(k—1)g,方向豎直向上⑵］石H2kmgH(3)—k—1【點(diǎn)評(píng)】①髙考?jí)狠S題中常涉及多個(gè)物體多次相互作用的問題，求解這類題往往需要應(yīng)用數(shù)學(xué)的遞推公式或數(shù)列求和知識(shí)．一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的總和W=—f-s總，s總為相對(duì)滑動(dòng)的總路程.對(duì)于涉及兩個(gè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，規(guī)定統(tǒng)一的正方向也很重要.?例7如圖8-8所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為I、足夠長且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為a條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B方向與導(dǎo)軌平面垂直.長度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“”形裝置，總質(zhì)量為m置于在一起組成“導(dǎo)軌上.導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出).線框的邊長為d(dvl),電阻為R下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合.將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直.重力加速度為g.求：圖8－8裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q.線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t「經(jīng)過足夠長時(shí)間后，線框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離xm.[2009年高考?江蘇物理卷]“【解析】(1)設(shè)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界的過程中，作用在線框上的安培力做功為W,由動(dòng)能定理得：mgsina^4d+W—BIld=0且Q=—W解得：Q=4mgdsina—BIld.(2)設(shè)線框剛離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v1，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d,由動(dòng)能定理得：mgsina2d一BIld=0一^mvF線框在穿越磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的合力F=mgsina_F感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Bdv

E感應(yīng)電流I=R安培力F=BI'dF由牛頓第二定律，在t到（t+At）時(shí)間內(nèi)，有Av=mAtmiB2d2y,則Av=E[gsina^~~R-]At亠.2B2d3有v1=gt1sina—-~R2m(BIld—2mgdsina)+解得：t、=一——?1mgsina(3)經(jīng)過足夠長時(shí)間后，線框在磁場(chǎng)下邊界與最大距離xm之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得:mgsinaxm—BIl(Xm—d)=0Bild解得：xm=??mBIl—mgsina［答案］(l)4mgdsina—Bild2m(BIld—2mgdsina)+mgsinamgsina(3)BIld.BIl—mgsina能力演練—、選擇題（10X4分）1.圖示是用來監(jiān)測(cè)在核電站工作的人員受到輻射情況的胸章，通過照相底片被射線感光的區(qū)域，可以判斷工作人員受到何種輻射.當(dāng)胸章上1mm鋁片和3mm鋁片下的照相底片被感光，而鉛片下的照相底片未被感光時(shí)，則工作人員可能受到了輻射的射線是（）A.a和卩B.a和yC.卩和yD.a、卩和y【解析】a粒子的穿透能力很弱，一張普通的紙就能把它擋住，題中無法說明輻射中不含a射線，能穿透1mm、3mm鋁片而不能穿透5mm鉛片的是卩射線，若存在y射線，則5mm厚的鉛片也能被穿透，故A正確.[答案]A2.在電磁波發(fā)射技術(shù)中，使電磁波隨各種信號(hào)而改變的技術(shù)叫調(diào)制，調(diào)制分調(diào)幅和調(diào)頻兩種?在圖甲中有A、B兩幅圖?在收音機(jī)電路中天線接收下來的電信號(hào)既有高頻成分又有低頻成分，經(jīng)放大后送到下一級(jí)，需要把高頻成分和低頻成分分開，只讓低頻成分輸入下一級(jí)，如果采用如圖乙所示的電路，圖乙中虛線框a和b內(nèi)只用一個(gè)電容器或電感器.以下關(guān)于電磁波的發(fā)射和接收的說法中，正確的是()在電磁波的發(fā)射技術(shù)中，甲圖中A是調(diào)幅波在電磁波的發(fā)射技術(shù)中，甲圖中B是調(diào)幅波在圖乙中a是電容器，用來通高頻阻低頻，b是電感器，用來阻高頻通低頻在圖乙中a是電感器，用來阻交流通直流，b是電容器，用來阻高頻通低頻【解析】A圖象中髙頻振蕩的振幅隨信號(hào)而變，為調(diào)幅波，B圖象中髙頻振蕩的頻率隨信號(hào)而變，為調(diào)頻波，A正確，檢波電路的作用為通低頻阻髙頻，故a為電容較小的髙頻旁路電容器，b為髙頻扼流圈，C正確.［答案］AC3．如圖所示，絕熱汽缸固定在水平地面上，汽缸內(nèi)用絕熱活塞封閉著一定質(zhì)量的理想氣體，開始時(shí)活塞靜止在圖示位置，現(xiàn)用力使活塞緩慢向右移動(dòng)一段距離，則在此過程中()外界對(duì)汽缸內(nèi)氣體做正功缸內(nèi)氣體的內(nèi)能減小C?缸內(nèi)氣體在單位時(shí)間內(nèi)作用于活塞單位面積沖量增大D.在單位時(shí)間內(nèi)缸內(nèi)氣體分子與活塞碰撞的次數(shù)增加【解析】體積膨脹，氣體對(duì)外做功，內(nèi)能減小，溫度降低，選項(xiàng)A錯(cuò)誤、B正確，由體積增大，溫度降低知單位時(shí)間內(nèi)氣體對(duì)活塞的碰撞次數(shù)減少，壓強(qiáng)減小，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.［答案］B4.兩物體甲和乙在同一直線上運(yùn)動(dòng)，它們?cè)??0.4s時(shí)間內(nèi)的v-t圖象如圖所示.若僅在兩物體之間存在相互作用，則物體甲與乙的質(zhì)量之比和圖中時(shí)間t1分別為［2009年高考?全國理綜卷II］()A.3和0.30sB.3和0.30sC.*和0.28sD.3和0.28sAv【解析】根據(jù)圖象的特點(diǎn)可知甲做勻加速運(yùn)動(dòng)，乙做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)a=左，得兩物F1Fm體加速度大小的關(guān)系為3aH=a乙,根據(jù)牛頓第二定律有一=亍，得f=3,由甲乙m3m甲乙a乙=10m/s204t，可解得片=0.3s,B正確.［答案］B某物體的v-t圖象如圖所示，在下列給出的兩段時(shí)間內(nèi),)5.的是(合外力的功和沖量都相同A.0?t1和t2?t4B.片?t2和t3?t40?t2和t2?t40?片和t3?t4【解析】0?々合外力做功為jm^o，合外力沖量為mv0,t2?t4合外力做功和合外力沖量都為0,A錯(cuò)誤；t3?t4時(shí)間內(nèi)合外力做功為一Tjmvj，合外力沖量為mv0,“?t2合外力做功為一7^0,，合外力的沖量一mv00?t2時(shí)間內(nèi)，合外力做功和合外力沖量都為0.故C正確.［答案］C—列簡諧橫波沿x軸正向傳播，t=0時(shí)刻波形如圖所示，從圖示時(shí)刻起經(jīng)0.5s時(shí)間處于x=2的質(zhì)點(diǎn)P剛好第二次出現(xiàn)波峰，下列說法正確的是()t=0時(shí)刻，P質(zhì)點(diǎn)的速度方向指向y軸正方向Q質(zhì)點(diǎn)開始振動(dòng)時(shí)，P質(zhì)點(diǎn)正在波峰t=0.5s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)P的加速度方向指向y軸正方向t=0.5s時(shí)亥I」，Q質(zhì)點(diǎn)第一次出現(xiàn)波峰【解析】t°=0時(shí)刻P質(zhì)點(diǎn)正向上振動(dòng)，A正確.又由題意知，t=0.5s=4T,得T=0.4

s，PQ=8m=2久故Q開始振動(dòng)時(shí)P處于平衡位置向上振動(dòng)，B錯(cuò)誤.t=0.5s時(shí)刻，P的4位移為正，加速度方向?yàn)樨?fù)，C錯(cuò)誤；經(jīng)過t=0.5s,波傳播s=vt=0"4X0.5=5m，Q正處于波峰，D正確.［答案］AD如圖所示，把一個(gè)帶電小球A固定在光滑的水平絕緣桌面上，在桌面的另一處放置帶電小球B.現(xiàn)給小球B一個(gè)垂直AB連線方向的速度v0，使其在水平桌面上運(yùn)動(dòng)，則下列說法中正確的是()若A、B帶同種電荷，B球一定做速度增大的曲線運(yùn)動(dòng)若A、B帶同種電荷，B球一定做加速度增大的曲線運(yùn)動(dòng)若A、B帶同種電荷，B球一定向電勢(shì)較低處運(yùn)動(dòng)若A、B帶異種電荷，B球可能做速度和加速度大小都不變的曲線運(yùn)動(dòng)【解析】若A、B帶同種電荷，庫侖力對(duì)B球做正功，B球做速度增大的曲線運(yùn)動(dòng)，B的電勢(shì)能減小，又由于AB間距增大，故B的加速度減小，若A、B為異種電荷，當(dāng)呼=警時(shí)，B球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度和加速度的大小都不變，D正確.［答案］AD某一空間存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B且大小不變、方向隨時(shí)間t做周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（如圖甲所示），規(guī)定垂直紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎疄榱耸轨o止于該磁場(chǎng)中的帶正電的粒子能按afb—c—dfeff的順序做橫“^”字曲線運(yùn)動(dòng)（即如圖乙所示的軌跡），下列辦法可行的是（粒子只受磁場(chǎng)力的作用，其他力不計(jì)）（）若粒子的初始位置在a處，在t^8時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向水平向右的初速度若粒子的初始位置在f處，在t=T時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向豎直向下的初速度若粒子的初始位置在e處，在t=11T時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向水平向左的初速度

若粒子的初始位置在b處，在t=T時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向豎直向上的初速度2nm【解析】要使粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡的周期應(yīng)為T=^qB=2，結(jié)合左手定則可知，選項(xiàng)A、D正確.［答案］AD水力采煤是利用高速水流沖擊煤層而進(jìn)行的，煤層受到3.6X106N/m2的壓強(qiáng)沖擊即可破碎，若水流沿水平方向沖擊煤層，不考慮水的反向?yàn)R射作用，則沖擊煤層的水流速度至少應(yīng)為（）錯(cuò)誤!未找到引用源。A.30m/sB.40m/sC.45m/sD.60m/s【解析】建立如圖所示模型，設(shè)水柱面積為S,由動(dòng)量定理：F?4t=0_(pS?v0^AtF?4t=0_(pS?v0^At)X(—v0)可得壓強(qiáng)：p=S=pv2帶水柱&煤空［答案］D如圖甲所示，傳送帶通過滑道將長為L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)物塊以初速度v0向右送上水平臺(tái)面，物塊前端在臺(tái)面上滑動(dòng)s距離停下來.已知滑道上的摩擦不計(jì)，物塊與臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為“而且s>L,則物塊的初速度v0為（）HZ,HI1——?jiǎng)t甲A.*2〃gLB.\/2〃gs_〃gLC.\；2〃gsD.-j2〃gs+〃gL【解析】乙由動(dòng)能定理得：｝^mg（s—L+s'）=2m^02可解得v0=\1乙由動(dòng)能定理得：｝^mg（s—L+s'）=2m^02可解得v0=\12ygs—ygL.［答案］B二、非選擇題（共60分）11．（6分）某實(shí)驗(yàn)小組擬用如圖甲所示的裝置研究滑塊的運(yùn)動(dòng)．實(shí)驗(yàn)器材有滑塊、鉤碼、在紙帶上留下的痕跡記錄了漏斗在不同時(shí)刻的位置.［2008年高考?重慶理綜卷］在紙帶上留下的痕跡記錄了漏斗在不同時(shí)刻的位置.［2008年高考?重慶理綜卷］紙帶運(yùn)動(dòng)方向甲紙帶、米尺、帶滑輪的木板以及由漏斗和細(xì)線組成的單擺等．實(shí)驗(yàn)中，滑塊在鉤碼的作用下拖動(dòng)紙帶做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)單擺沿垂直于紙帶運(yùn)動(dòng)的方向擺動(dòng)，漏斗漏出的有色液體甲(1)甲(1)實(shí)驗(yàn)中，電阻箱所用的阻值R=10203040506070S090100

乙在圖乙中，從紙帶可看出滑塊的加速度和速度的方向一致．用該方法測(cè)量滑塊加速度的誤差主要來源有：、．(寫出2個(gè)即可)【解析】要使速度和加速度的方向相同，則必須選紙帶B,因?yàn)锽中相等的時(shí)間內(nèi)紙帶運(yùn)動(dòng)的距離越來越大．［答案］(1)B(2分)(2)擺長測(cè)量漏斗的重心變化(或液體痕跡偏粗、阻力變化等)(每空2分)12．(9分)用高電阻放電法測(cè)電容的實(shí)驗(yàn)，是通過對(duì)高阻值電阻放電的方法，測(cè)出電容器的充電電壓為U時(shí)，所帶的電荷量為Q,從而再求出待測(cè)電容器的電容C.某同學(xué)的實(shí)驗(yàn)情況如下：按圖甲所示的電路連接好實(shí)驗(yàn)電路；接通開關(guān)S,調(diào)節(jié)電阻箱R的阻值，使小量程電流表的指針偏轉(zhuǎn)接近滿刻度，記下這時(shí)電流表的示數(shù)I0=490yA及電壓表的示數(shù)U0=6.2V,I0和U0分別是電容器放電的初始電流和電壓；斷開開關(guān)S,同時(shí)開始計(jì)時(shí)，每隔5s或10s測(cè)一次電流I的值，將測(cè)得數(shù)據(jù)填入預(yù)先設(shè)計(jì)的表格中，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)(10組)在以時(shí)間t為橫坐標(biāo)、電流I為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)紙上描點(diǎn)，即圖乙中用“X”表示的點(diǎn).300(2)試根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在圖乙中作出電容器放電的I-t圖象.經(jīng)估算，該電容器兩端的電壓為U0時(shí)所帶的電荷量Q0約為C；該電容器的電容C約為F.【解析】由AQ=IAt知，電荷量為I—t圖象與坐標(biāo)軸所包圍的面積，計(jì)面積時(shí)可數(shù)格數(shù)(四舍五入)．［答案］(1)1.3X104(3分)(2)用平滑曲線連接(2分)(3)(8.0?9.0)X10-3(1.29?1.45)X10-3(每空2分)13.(10分)質(zhì)量為60kg的消防隊(duì)員從一根豎直的輕繩上由靜止滑下，經(jīng)2.5s落地.輕繩受到的拉力變化情況如圖甲所示，取g=10m/s2.在消防隊(duì)員下滑的過程中其最大速度和落地速度各是多大？在圖乙中畫出其v-t圖象.其克服摩擦力做的功是多少？

【解析】（1）設(shè)該隊(duì)員先在t=1s的時(shí)間內(nèi)以加速度a勻加速下滑，然后在T2=1.5s的時(shí)間內(nèi)以加速度a2勻減速下滑第1s內(nèi)由牛頓第二定律得：mg—F1=ma1（1分）最大速度^m=a1t1（1分）代入數(shù)據(jù)解得：em=4m/s（1分）后1.5s內(nèi)由牛頓第二定律得：F2—mg=ma2該隊(duì)員落地時(shí)的速度v=vm—a2t2（1分）代入數(shù)據(jù)解得：v=1m/s．（2）圖象如圖丙所示．（2分）（3）該隊(duì)員在第1s內(nèi)下滑的咼度H=2。］片2（1分）該隊(duì)員在后1.5s內(nèi)下滑的咼度力2=Vmt2—2。2彳22（1分）由動(dòng)能定理得：mg(H1+H2)—^mv2(1分)落地速度為1m/s［答案］（1）最大速度為4m/s（2）如圖丙所示（3）3420J14.（11分）A、B兩小球由柔軟的細(xì)線相連，線長L=6m，現(xiàn)將A、B球先后以相同的初速度v°=4.5m/s從同一地點(diǎn)水平拋出（先A、后B），相隔時(shí)間t°=0.8s.取g=10m/s2，問：（1）B球拋出后經(jīng)過多長時(shí)間細(xì)線剛好被拉直？（線拉直時(shí)，兩球都未落地）（2）細(xì)線剛被拉直時(shí)，A、B兩球的水平位移（相對(duì)拋出點(diǎn)）各為多大？【解析】（1）A球先拋出，0.8s時(shí)間內(nèi)水平位移s0=v0t0=4.5X0.8m=3.6m（1分）豎直位移：H0=|gt