萬(wàn)有引力定律

第六章萬(wàn)有引力定律適用學(xué)科高中物理適用年級(jí)必修2適用區(qū)域安徽課時(shí)時(shí)長(zhǎng)(分鐘)2小時(shí)知識(shí)點(diǎn)開(kāi)普勒仃星運(yùn)動(dòng)疋律、萬(wàn)有引力疋律、于由速度、同步衛(wèi)星、變軌問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1?掌握描述天體運(yùn)動(dòng)的物理量及相關(guān)計(jì)算公式；2?掌握分析、解決有關(guān)人造衛(wèi)星問(wèn)題的基本方法和技能教學(xué)重點(diǎn)利用等量關(guān)系推導(dǎo)線速度、周期、角速度、加速度的大小關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)有關(guān)人造衛(wèi)星的問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程―、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)以及圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)。二知識(shí)講解考點(diǎn)1開(kāi)普勒行星三定律：所有行星都在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)則處在這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上；行星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與太陽(yáng)的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等;⑶行星軌道半長(zhǎng)軸的立方(若圓軌道，則為半徑立方)與其周期的平方成正比(同一中心天體的不同衛(wèi)星)考點(diǎn)2萬(wàn)有引力定律內(nèi)容：任何兩個(gè)物體之間都存在相互吸引的力。引力的大小跟兩個(gè)物體質(zhì)量的乘積成正比，跟它們之間距離的二次方成反比。⑵公式:r為質(zhì)心間距 G=6.67x10—11Nm2/kg2

⑵公式:(3)條件：只適用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)量分布均勻的球體?？键c(diǎn)3物體在地面上所受的引力與重力的區(qū)別和聯(lián)系在不考慮地球自轉(zhuǎn)的條件下地球表面物體的重力mg=GMm~R2在不考慮地球自轉(zhuǎn)的條件下地球表面物體的重力mg=GMm~R2.這是一個(gè)很有用的結(jié)論?由mg=GMm~R2，可以得出地球表面處的重力加速度g二GR2在距地表高度為h的高空處，萬(wàn)有引力引起的重力加速度為g'，由牛頓第二定律可得:Mm(RMm(R+h)2(R+h)2重力加速度隨高度增加而減小這一結(jié)論對(duì)其他星球也適用.考點(diǎn)4衛(wèi)星圍繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(行星與恒星，衛(wèi)星與行星)(1)中心天體對(duì)衛(wèi)星的引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力吧二罟(或m2或mR*或ma)由上式可推導(dǎo):v=鬥滬空T=耳a廬R R3 GM R2同一中心天體的不同衛(wèi)星，R、V、①、T、a五個(gè)參量，一同全同，一變?nèi)儭?同一軌道上的衛(wèi)星V、3、(同一軌道上的衛(wèi)星V、3、V、3、T、a不同。)人造衛(wèi)星相關(guān)速度的計(jì)算公式GMmmv2i—Rvi=GM■ 速度的計(jì)算公式GMmmv2i—Rvi=GM■ R或由mg=mv2i—RV[=JgR(1)第一宇宙g為星球表面重力加速度，R為星球半徑。(2)第一宇宙速度是衛(wèi)星運(yùn)行的最大速度GM，v3丁。MmGM，v3丁。田G =mv2/rr2由于r>R(衛(wèi)星軌道半徑r、星球半徑R)故衛(wèi)星運(yùn)行速度v<.第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度。宇宙速度:(1)環(huán)繞速度V］二7.9km/s，是發(fā)射速度的最小值，圓軌道衛(wèi)星環(huán)繞速度的最大值;周期1.4h(約84min)。(橢圓軌道近地點(diǎn)速度大于7.9km/s)⑵第二宇宙速度V］［二甘2V］二11.2km/s,第三宇宙速度V［［［二16.7km/s?？键c(diǎn)6同步衛(wèi)星：(1)同步：在赤道正上方，相對(duì)地面靜止，與地球自轉(zhuǎn)同步。⑵常見(jiàn)物理量：周期T為地球自轉(zhuǎn)周期24h，距地面高度為h=36000km,

軌道半徑為R地的6.63倍。速度約為3km/s。斗e'亠GMm 4兀2（3）常用公式： 二mr,T=24h。r2 T2考點(diǎn)7星球的其他常見(jiàn)問(wèn)題：雙星系統(tǒng)：兩個(gè)星體間距不變，以二者連線上某一點(diǎn)為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，角速度①相同，彼此間的萬(wàn)有引力提供向心力。如圖：令m1的軌道半徑為r1，m2的軌道半徑為r2，則m「m2的間距為片+乙。貝Q有Gmm1~2=mr?2，r+r)2ii12m1r1?2=m2r2?2。三、例題精析【例題1】在地球（看作質(zhì)量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說(shuō)法中正確的是（ ）A?它們的質(zhì)量可能不同B?它們的速度可能不同C?它們的向心加速度可能不同 D.它們離地心的距離可能不同【答案】A【解析】設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球半徑為R，同步衛(wèi)星距離地面的mM 4冗2 IGMT2高度為h,由F引=卩向，G =m (R+h)得：h=3 -R,可見(jiàn)同步衛(wèi)(R+h)2 T2 \l4r2星離地心的距離是一定的。mM v2 IGM由G； E=m— 得：V，所以同步衛(wèi)星的速度相同。(R+h)2 R+h R+hmM M由G =ma得：a=G 2即同步衛(wèi)星的向心加速度相同。(R+h)2 (R+h)2由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質(zhì)量可以不同外，其它物理量值都應(yīng)是固定的?！纠}2】木星是繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的行星之一，而木星的周圍又有衛(wèi)星繞木星公轉(zhuǎn)?如果要通過(guò)觀測(cè)求得木星的質(zhì)量，則需要測(cè)量的量是:( )木星運(yùn)行的周期和軌道半徑 B.衛(wèi)星運(yùn)行的周期和軌道半徑C.木星運(yùn)行的周期和衛(wèi)星的軌道半徑 D.衛(wèi)星運(yùn)行的周期和木星的軌道半徑【答案】B【解析】要測(cè)量木星的質(zhì)量，只要將其視為中心天體，測(cè)得繞其運(yùn)行的衛(wèi)星的周期和軌道半徑，根據(jù)公式M=色工1求得答案BGT2【例題3】2009年2月11日，美國(guó)銥衛(wèi)星公司的"銥33”通信衛(wèi)星和俄羅斯的“宇宙2251"軍用通信衛(wèi)星在西伯利亞上空約790km處發(fā)生相撞.據(jù)報(bào)道，美俄衛(wèi)星相撞時(shí)，雙方的運(yùn)行速度達(dá)到25000km/h.關(guān)于這兩顆衛(wèi)星的說(shuō)法中正確的是()兩顆衛(wèi)星可能都是地球同步衛(wèi)星兩顆衛(wèi)星相撞前瞬間受到地球的萬(wàn)有引力相等兩顆衛(wèi)星相撞前瞬間加速度相同A.0.2【答案】BMr21A.0.2【答案】BMr21MR22又由日對(duì)地引力GMM1 2R2,地對(duì)月引力GMm2—r24兀2

mr T22，得兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行速度都大于第一宇宙速度【答案】C【解析】若兩顆衛(wèi)星都是地球同步衛(wèi)星，則它們?cè)谕桓叨纫酝凰俣冗\(yùn)行，不可能相撞，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩顆衛(wèi)星相撞前瞬間，它們距離地球的距離相等，但它們的質(zhì)量不等，因此受到地球的萬(wàn)有引力不等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩顆衛(wèi)星相撞前瞬間，它們距離地球的距離相等，雖然它們的質(zhì)量不等，但受地球的萬(wàn)有引力與質(zhì)量的比值相等，所以C選項(xiàng)正確；這兩顆衛(wèi)星都是環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知，衛(wèi)星距離地面的高度越高，運(yùn)行速度越小，所以它們的運(yùn)行速度都小于第一宇宙速度，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.【例題4】已知太陽(yáng)到地球與地球到月球的距離的比值約為390，月球繞地球旋轉(zhuǎn)的周期約為27天。利用上述數(shù)據(jù)以及日常的天文知識(shí)可估算出太陽(yáng)對(duì)月球與地球?qū)υ虑虻娜f(wàn)有引力的比值約為：（ ）C.20 D.200【解析】設(shè)太陽(yáng)、地球、月球的質(zhì)量分別為M］、M2、m,日地距離為R,日月距離也為R,地月距離為r，地球公轉(zhuǎn)周期為',月球公轉(zhuǎn)周期為T2。GMmGMm日對(duì)月引力和地對(duì)月引力之比為n=R21 : r22RR3T22—r3T21沖RT2，貝Un=1=2.13。rT21、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、“神舟七號(hào)”繞地球做近似勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為r,若另有一顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為2r,則可以確定:（ ）衛(wèi)星與"神舟七號(hào)"的加速度大小之比為1:4衛(wèi)星與"神舟七號(hào)"的線速度大小之比為1:邁宇航員出艙后不再受地球引力宇航員出艙任務(wù)之一是取回外掛的實(shí)驗(yàn)樣品假如不小心實(shí)驗(yàn)樣品脫手側(cè)它做自由落體運(yùn)動(dòng)【答案】A、B【解析】加速度計(jì)算公式為a= 2，所以衛(wèi)星和"神舟七號(hào)"的加速度之比為1:4,mr2A選項(xiàng)正確線速度計(jì)算公式為v= ，所以衛(wèi)星和"神舟七號(hào)"的線速度之比為1:<2，rB選項(xiàng)正確宇航員出艙后依然受到地球的引力引力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；實(shí)驗(yàn)樣品脫手后，依然做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)飛船靜止，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。2、嫦娥一號(hào)衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道，軌道高度200km，運(yùn)行周期127min若還知道引力常量和月球平均半徑，僅利用以上條件不能求出的是（）月球表面的重力加速度 B.月球?qū)πl(wèi)星的吸引力C.衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速度 D.衛(wèi)星繞月運(yùn)行的加速度【答案】B【解析】因?yàn)椴恢佬l(wèi)星的質(zhì)量，所以不能求出月球?qū)πl(wèi)星的吸引力.【鞏固】1、已知月球半徑為R,若“嫦娥一號(hào)"到達(dá)距月球表面高為R處時(shí)，地面控制中心將其速度調(diào)整為v時(shí)恰能繞月球勻速飛行將月球視為質(zhì)量分布均勻的球體，則月球表面的重力加

速度為v2/R B.2v2/RC.V2/2R D.4v2/R【答案】B【解析】由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，即-GMm二m巴，①(2R)2 2RGMm在月球表面處有一R廠二mg?②2v2由①②可得g= ，故B正確.R2、如圖，地球赤道上的山丘、近地資源衛(wèi)星和同步通信衛(wèi)星均在赤道平面內(nèi)繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)?設(shè)山丘e、近地資源衛(wèi)星p和同步通信衛(wèi)星q的圓周運(yùn)動(dòng)速率依次為vl、v2、v3，向心加速度依次為al、a2、a3,則（）A?vl>v2>v3B?vl<v3<v2C?al>a2>a3D?a2>a3>al【答案】B、D2nr【解析】山丘e與同步通信衛(wèi)星q轉(zhuǎn)動(dòng)周期相等，根據(jù)V=〒，由于山丘e的軌道半徑小于同步通信衛(wèi)星q的軌道半徑，故V1<V3；根據(jù)衛(wèi)星的線速度公式v=：，GM，由于近地r資源衛(wèi)星的軌道半徑小于同步通信衛(wèi)星q的軌道半徑，攵近地資源衛(wèi)星的線速度大于同步通信衛(wèi)星的線速度，即V3<V2;故v1<v3<v2,故A不對(duì)，B對(duì)；山丘e與同步通信衛(wèi)星q轉(zhuǎn)動(dòng)周期相等，根據(jù)a=?2r二 ，由于山丘e的軌道半徑小于同步通信衛(wèi)星q的軌道半T2徑，故山丘e的軌道加速度大于同步通信衛(wèi)星q的加速度，即aKa3；根據(jù)衛(wèi)星的周期公2打r Ir3式T=一=2?！?，由于近地資源衛(wèi)星的軌道半徑小于同步通信衛(wèi)星q的軌道半徑，故v\GM近地資源衛(wèi)星的加速度小于同步通信衛(wèi)星的加速度，即a3<a2;故al<a3<a2,故C錯(cuò)誤，D正確；【拔高】1、某衛(wèi)星沿橢圓軌道繞行星運(yùn)行，近地點(diǎn)離行星中心的距離是a,遠(yuǎn)地點(diǎn)離行星中心的距離為b,若衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速率為Va,則衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速率Vb多少？【答案】V二avbba【解析】錯(cuò)解：衛(wèi)星運(yùn)行所受的萬(wàn)有引力提供向心力，在近地點(diǎn)時(shí)，有GMm=m性,a2 a在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)有二m字，上述兩式相比得匸=(2，故VJ?。b2b V\ab飛bab分析糾錯(cuò)：以上錯(cuò)誤在于認(rèn)為做橢圓運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道曲率半徑不同。實(shí)際做橢圓運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道曲率半徑相同，設(shè)都等于R。所以，在近地點(diǎn)MmV2 MmV2 Vb時(shí)有G=ma,在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)有G=mb,上述兩式相比得百=，故a2 R b2 R VabaV二一Vbba2、發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3,軌道1s2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，如圖20所示。則在衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說(shuō)法正確的是:

圖20A、 衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率。B、 衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度。C、 衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度。D、 衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度。【答案】B、D【解析】錯(cuò)解：因?yàn)镚 =mr?2= ，所以V=. ，w= ，即B選項(xiàng)r2 r Vr \r3正確，A選項(xiàng)錯(cuò)誤。因?yàn)樾l(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度等于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度，而在Q點(diǎn)軌道的曲率半徑r<r2,所以a= >a= ，即C選項(xiàng)正確。1 ir2r12FGM分析糾錯(cuò)：B選項(xiàng)正確，但C選項(xiàng)錯(cuò)誤。根據(jù)牛頓第二定律可得a= = ，即衛(wèi)星的m r2加速度a只與衛(wèi)星到地心的距離r有關(guān)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確。3、搭載著嫦娥二號(hào)衛(wèi)星的長(zhǎng)征三號(hào)丙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，衛(wèi)星由地面發(fā)射后，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)多次變軌最終進(jìn)入距離月球表面100公里，周期為118分鐘的工作軌道，開(kāi)始對(duì)月球進(jìn)行探測(cè)A、 衛(wèi)星在軌道III上的運(yùn)動(dòng)速度比月球的第一宇宙速度大B、 衛(wèi)星在軌道III上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度比在軌道I上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)大C、衛(wèi)星在軌道III上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的向心加速度比在軌道I上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)小D、衛(wèi)星在軌道I上的機(jī)械能比在軌道II上大【答案】D【解析】解：A根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力GMm=mr?2=m—，軌道半徑越大，線速r2 r度越小，第一宇宙速度的軌道半徑為月球的半徑，所以第一宇宙速度是繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)最大的環(huán)繞速度?故A錯(cuò)誤.B、 在軌道I經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，速度比較大，所需的向心力比較大，萬(wàn)有引力不夠提供向心力，會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，要進(jìn)入圓軌道II,需減速，使萬(wàn)有引力等于所需的向心力?所以衛(wèi)星在軌道III上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度比在軌道I上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)小?故B錯(cuò)誤.C、 衛(wèi)星在軌道III上過(guò)P點(diǎn)和在軌道I上過(guò)P點(diǎn)時(shí)萬(wàn)有引力大小相等，根據(jù)牛頓第二定律，加速度相等?故C錯(cuò)誤.D、 從軌道I進(jìn)入軌道II,在P點(diǎn)需減速，所以在軌道I上的機(jī)械能比在軌道II上多?故D正確.課程小結(jié)天體運(yùn)動(dòng)列等式的方法：空中：F萬(wàn)二F向二G地面：F萬(wàn)=G>F向課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1、在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星。它們圍繞兩球連線上的某一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。由于兩星間的引力而使它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)中距離保持不變。已知兩星質(zhì)量分別為M］和M2，相距L,求它們的角速度。

?M1O.■2【解析】如圖，設(shè)M1的軌道半徑為r1，M2的軌道半徑為r2，由于兩星繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，都設(shè)為?,根據(jù)牛頓第二定律有:G—1——2=Mw2rL 1^MM“G—1——2=Mw2rL 2以上三式聯(lián)立解得:1以上三式聯(lián)立解得:1G(M+M)~L L【鞏固】1、地球質(zhì)量約為月球質(zhì)量的81倍，地球半徑約為月球半徑的3.8倍，則地球表面重力加速度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分別在地球和月球表面以相同初速度上拋一物體，物體在地球上上升高度是在月球上上升高度的幾倍？Mm【解析】⑴設(shè)想地球表面有一質(zhì)量為m的物體，忽略自轉(zhuǎn)，則mg1=G「1R21Mm gMR2同理在月球表面：mg2=G— ...1= 1=4沁62R2 gMR22221⑵由豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得’上升的最大高度h=20gg1g16【拔高】1、 月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的三，一根繩子在地球表面能拉著3kg的6重物產(chǎn)生最大為10m/s2的豎直向上的加速度，g地取10m/s2，將重物和繩子帶到月球表面用該繩子能使重物產(chǎn)生在月球表面豎直向上的最大加速度是多大？【解析】由牛頓第二定律可知：對(duì)于這個(gè)重物，在地球表面：F-mg=ma在月球表面：F-mg'=ma'...“=mWmg=g+。-左=10,10.1x10=18.3^/s2)m 62、