第10章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播

1、電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播第十章第十章電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播10.1 矩形金屬波導(dǎo)中的電磁波矩形金屬波導(dǎo)中的電磁波10.2 圓柱形金屬波導(dǎo)中的電磁波圓柱形金屬波導(dǎo)中的電磁波10.3 圓柱形介質(zhì)波導(dǎo)圓柱形介質(zhì)波導(dǎo)階躍型光纖階躍型光纖電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播10.1 矩形金屬波導(dǎo)中的電磁波矩形金屬波導(dǎo)中的電磁波 上一章采用上一章采用路路分析方法分析方法把電磁波的傳播問題化為把電磁波的傳播問題化

2、為電路問題來處理，描述傳輸線上的電壓和電流波；這電路問題來處理，描述傳輸線上的電壓和電流波；這種方法適用于雙導(dǎo)體傳輸線。種方法適用于雙導(dǎo)體傳輸線。 電磁波傳播采用哪種傳輸線與電磁波的頻率緊密電磁波傳播采用哪種傳輸線與電磁波的頻率緊密相關(guān)。在相關(guān)。在低頻段低頻段，采用，采用雙線傳輸線雙線傳輸線；在；在高頻段高頻段，為了，為了避免輻射而采用避免輻射而采用同軸線同軸線。在。在微波波段微波波段，為了避免同軸，為了避免同軸線內(nèi)的焦耳損耗和介質(zhì)的熱損耗因而采用線內(nèi)的焦耳損耗和介質(zhì)的熱損耗因而采用波導(dǎo)傳輸波導(dǎo)傳輸。光波光波則采用則采用薄膜或圓形介質(zhì)波導(dǎo)傳輸薄膜或圓形介質(zhì)波導(dǎo)傳輸。 本章采用本章采用場(chǎng)場(chǎng)分析方

3、法分析方法，討論電磁波在矩形波導(dǎo)、，討論電磁波在矩形波導(dǎo)、圓波導(dǎo)以及光波在介質(zhì)波導(dǎo)圓波導(dǎo)以及光波在介質(zhì)波導(dǎo)階躍型光纖中的傳播特階躍型光纖中的傳播特性。電磁波在不同波導(dǎo)中傳播的理論基礎(chǔ)是求解滿足性。電磁波在不同波導(dǎo)中傳播的理論基礎(chǔ)是求解滿足邊界條件的矢量赫姆霍茲方程。邊界條件的矢量赫姆霍茲方程。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播一、一、 矩形波導(dǎo)橫平面內(nèi)場(chǎng)分量之間的關(guān)系矩形波導(dǎo)橫平面內(nèi)場(chǎng)分量之間的關(guān)系時(shí)諧電磁波在波導(dǎo)內(nèi)傳播滿足麥克斯韋方程時(shí)諧電磁波在波導(dǎo)內(nèi)傳播滿足麥克斯韋方程 jj HEEH圖圖10-1 矩形金屬波導(dǎo)矩形金屬波導(dǎo) 假

4、定電磁波沿假定電磁波沿+Z方向傳方向傳播，其傳播因子為播，其傳播因子為 ，則電磁波在直角坐標(biāo)系下具則電磁波在直角坐標(biāo)系下具有的解形式為有的解形式為 zjt k ze, , ,zzjk zjk zx y zx y ex y zx y eEEHH電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播在直角坐標(biāo)系中將麥克斯韋方程展開成分量形式在直角坐標(biāo)系中將麥克斯韋方程展開成分量形式 zxzyzyzxyxzzxzyzyzxyxzHjEjk HyHjEjk HxHHjExyEjHjk EyEjHjk ExEEjHxy 聯(lián)立求解方程組得到聯(lián)立求解方程組得到22

5、22zzxzczzyzczzxzczzyzcEHjEkkxyEHjEkkyxEHjHkkyxEHjHkkxy 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播式中式中22222czzkkkk 稱之為稱之為截止波數(shù)截止波數(shù) ck 這樣處理使矩形波導(dǎo)的求解過程得以簡化，這樣處理使矩形波導(dǎo)的求解過程得以簡化，這種用電磁場(chǎng)的縱向場(chǎng)分量來表示其橫向場(chǎng)分量這種用電磁場(chǎng)的縱向場(chǎng)分量來表示其橫向場(chǎng)分量的分析方法稱之為的分析方法稱之為縱向場(chǎng)法縱向場(chǎng)法。這樣做的。這樣做的目的是找目的是找到縱向分量與橫向分量之間的關(guān)系。到縱向分量與橫向分量之間的關(guān)系。2222zzx

6、zczzyzczzxzczzyzcEHjEkkxyEHjEkkyxEHjHkkyxEHjHkkxy 結(jié)果表明，沿結(jié)果表明，沿+Z方向方向傳播的電磁波，如果知道傳播的電磁波，如果知道 和和 , 那么，那么， 、 、 和和 就可由上式得到。就可由上式得到。zEzHxEyExHyH電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播二、矩形波導(dǎo)橫平面內(nèi)縱向場(chǎng)分量的解二、矩形波導(dǎo)橫平面內(nèi)縱向場(chǎng)分量的解波導(dǎo)內(nèi)無源空間時(shí)諧電磁場(chǎng)滿足矢量赫姆霍茲方程波導(dǎo)內(nèi)無源空間時(shí)諧電磁場(chǎng)滿足矢量赫姆霍茲方程222200kkEEHH式中式中2k 其定態(tài)解為其定態(tài)解為 , ,zj

7、k zx y zx y eEE, ,zjk zx y zx y eHH代入赫姆霍茲方程可得到代入赫姆霍茲方程可得到22222,0cx ykx yxyEE22222,0cx ykx yxyHHzjt k ze傳播因子傳播因子電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播在直角坐標(biāo)系下，在直角坐標(biāo)系下， 和和 的分量形式為的分量形式為, x yE, x yH,xxyyzzx yEx yEx yEx yEeee,xxyyzzx yHx yHx yHx yHeee寫成赫姆霍茲方程分量形式為寫成赫姆霍茲方程分量形式為 22222,0 xcxEx yk

8、Ex yxy22222,0ycyEx yk Ex yxy22222,0zczEx yk Ex yxy電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播和和22222,0 xcxHx yk Hx yxy22222,0ycyHx yk Hx yxy22222,0zczHx yk Hx yxy 僅需要求解波導(dǎo)橫平面內(nèi)的縱向電場(chǎng)分量僅需要求解波導(dǎo)橫平面內(nèi)的縱向電場(chǎng)分量 和和縱向磁場(chǎng)分量縱向磁場(chǎng)分量 ，即求解方程，即求解方程zEzH22222,0zczEx yk Ex yxy22222,0zczHx yk Hx yxy電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理

9、論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播下面分別求解上述方程下面分別求解上述方程 22222,0zczEx yk Ex yxy22222,0zczHx yk Hx yxy1求解求解,zEx y采用直角坐標(biāo)系下的分離變量法。設(shè)采用直角坐標(biāo)系下的分離變量法。設(shè) ,( )zEx yX x Y y代入后可得代入后可得 2cXxYykXxYy 22,xyXxYykkXxYy 令令電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播則有則有 2200 xyXxk X xYyk Y y而波數(shù)而波數(shù)222cxykkk通解為通解為 cossinc

10、ossinxxyyXxAk xBk xYyCk yDk yABCD式中式中 、 、 和和 為待定復(fù)常數(shù)，由電場(chǎng)邊界條件確為待定復(fù)常數(shù)，由電場(chǎng)邊界條件確定。由此可得定。由此可得,cossincossinzxxyyEx yAk xBk xCk yDk y理想導(dǎo)體表面電場(chǎng)切向邊界條件為理想導(dǎo)體表面電場(chǎng)切向邊界條件為 1120,0ttEEn E或該式表明，波導(dǎo)內(nèi)介質(zhì)與波導(dǎo)壁的交界面上該式表明，波導(dǎo)內(nèi)介質(zhì)與波導(dǎo)壁的交界面上電場(chǎng)僅電場(chǎng)僅有法向分量，電力線垂直于導(dǎo)體表面有法向分量，電力線垂直于導(dǎo)體表面 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播根據(jù)矩形

11、波導(dǎo)邊界特點(diǎn)，可寫出根據(jù)矩形波導(dǎo)邊界特點(diǎn)，可寫出0,0,0yzxx axx aEE0,0,0 xzyy byy bEE由此得到由此得到0,0,(0,1,2,)xABk amm同理同理,0cossin0zxxExC Ak xBk x,sincossin0zyxxEx bDk b Ak xBk x0,0,(0,1,2,)yCDk bnn此即金屬波導(dǎo)電場(chǎng)所滿足的邊界條件，代入上式，此即金屬波導(dǎo)電場(chǎng)所滿足的邊界條件，代入上式，0,cossin0zyyEyA Ck yDk y,sincossin0zxyyEa yBk a Ck yDk y有有電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁

12、波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播0,sinsinzmnEx yExyab0,sinsinzmnEx yExyab代入后可得代入后可得 式中常數(shù)式中常數(shù) 為電場(chǎng)的復(fù)振幅，由激勵(lì)條件為電場(chǎng)的復(fù)振幅，由激勵(lì)條件確定，與場(chǎng)分量間的關(guān)系和場(chǎng)分布無關(guān)。確定，與場(chǎng)分量間的關(guān)系和場(chǎng)分布無關(guān)。 0EBD 2求解求解,zHx y,cossincossinzxxyyHx yAk xBk xCk yDk y與上述求解方法相同，可得方程與上述求解方法相同，可得方程 的解為的解為,zHx y式中式中 、 、 和和 為待定復(fù)常數(shù)，由邊界條件確定。為待定復(fù)常數(shù)，由邊界條件確定。ABCD理想導(dǎo)體表面磁通密度矢量法向邊界條件

13、為理想導(dǎo)體表面磁通密度矢量法向邊界條件為 11200nnHHn B， 或該式表明，磁場(chǎng)矢量的法向?yàn)榱?，該式表明，磁?chǎng)矢量的法向?yàn)榱悖▽?dǎo)表面磁場(chǎng)矢波導(dǎo)表面磁場(chǎng)矢量僅有切向分量，即磁力線切于波導(dǎo)壁量僅有切向分量，即磁力線切于波導(dǎo)壁。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播磁場(chǎng)法向邊界條件為磁場(chǎng)法向邊界條件為 000,00,0 xxxx ayyyy bHHHH對(duì)于對(duì)于TE波，有波，有0,0,0zzzEEExy利用場(chǎng)的橫向分量與縱向分量的關(guān)系式，得到磁場(chǎng)利用場(chǎng)的橫向分量與縱向分量的關(guān)系式，得到磁場(chǎng)切向邊界條件為切向邊界條件為000,0zzxy

14、x ay bHHxy,sincoscossinzxxxxyyHx yA kk xB kk xCk yDk yx ,cossinsincoszxxyyyyHx yAk xBk xC kk yD kk yy電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播將磁場(chǎng)邊界條件代入后，得到將磁場(chǎng)邊界條件代入后，得到0,cossin0zxyyHyB kCk yDk yx,sincossin0zxxyyHa yA kk a Ck yDk yx 由此得到由此得到0,0,(0,1,2,)xABk amm同理同理,0cossin0zyxxHxD kAk xBk xy,

15、sincossin0zyyxxHx bC kk b Ak xBk xy 0,0,(0,1,2,)yCDk bnn電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播0,coscoszmnHx yHxyab可得可得式中常數(shù)式中常數(shù)0HA C 為磁場(chǎng)的復(fù)振幅為磁場(chǎng)的復(fù)振幅. 這就是波導(dǎo)內(nèi)橫平面內(nèi)這就是波導(dǎo)內(nèi)橫平面內(nèi)縱向場(chǎng)分量縱向場(chǎng)分量的解。的解。 0,coscoszmnHx yHxyab0,sinsinzmnEx yExyab電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播三、矩形波導(dǎo)中電磁波傳播的模式

16、三、矩形波導(dǎo)中電磁波傳播的模式 波導(dǎo)中電磁場(chǎng)能夠單獨(dú)存在的形式稱之為電磁場(chǎng)波導(dǎo)中電磁場(chǎng)能夠單獨(dú)存在的形式稱之為電磁場(chǎng)的的傳輸模式傳輸模式。平面電磁波在無界空間中傳播，電場(chǎng)矢。平面電磁波在無界空間中傳播，電場(chǎng)矢量量E和磁場(chǎng)矢量和磁場(chǎng)矢量H在垂直于傳播方向的橫平面內(nèi)，稱在垂直于傳播方向的橫平面內(nèi)，稱之為橫電磁波，也稱之為橫電磁波，也稱TEM波或波或TEM模模。但由式（。但由式（10-37）和式（）和式（10-51）知，波導(dǎo)內(nèi)電磁波在垂直于傳播）知，波導(dǎo)內(nèi)電磁波在垂直于傳播方向的橫平面內(nèi)具有縱向分量，即方向的橫平面內(nèi)具有縱向分量，即,0,0zzEx yHx y 所以波導(dǎo)內(nèi)電磁波傳播的模式與電磁波在無

17、界空所以波導(dǎo)內(nèi)電磁波傳播的模式與電磁波在無界空間傳播的模式不同。間傳播的模式不同。 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播如果波導(dǎo)內(nèi)在垂直于傳播方向的橫平面內(nèi)，縱向分量如果波導(dǎo)內(nèi)在垂直于傳播方向的橫平面內(nèi)，縱向分量,0,0zzEx yHx y 則稱波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)存在的形式為則稱波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)存在的形式為橫電波橫電波，簡稱，簡稱TE波或波或TE模模 如果如果 ,0,0zzEx yHx y則稱為則稱為橫磁波橫磁波，簡稱，簡稱TM波或波或TM模模 TE波和波和TM波還與波還與m、n的取值有關(guān)，因此還的取值有關(guān)，因此還可分為可分為TEmn波和波和

18、TMmn波。波。實(shí)際上，在波導(dǎo)中電實(shí)際上，在波導(dǎo)中電磁波存在的形式是磁波存在的形式是TEmn波和波和TMmn波的疊加。下波的疊加。下面就面就TE波和波和TM波進(jìn)行討論波進(jìn)行討論 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播四、四、TE波和波和TM波波 1TE波波 將將 和和 代入代入場(chǎng)的橫向分量與縱向分量的關(guān)系式，并代入場(chǎng)的定態(tài)場(chǎng)的橫向分量與縱向分量的關(guān)系式，并代入場(chǎng)的定態(tài)解，得到解，得到TE波的分量形式為波的分量形式為 0zE 0,coscoszmnHx yHxyab020202, ,cossin, ,sincos, ,0, ,sinco

19、s, ,zzzjk zxcjk zyczjk zzxczynmnEx y zjHxy ekbabmmnEx y zjHxy ekaabEx y zkmmnHx y zjHxy ekaabkHx y zj 020cossin, ,coscoszzjk zcjk zznmnHxy ekbabmnHx y zHxy eab電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播將將 和和 代入場(chǎng)的橫向分代入場(chǎng)的橫向分量與縱向分量的關(guān)系式，并代入場(chǎng)的定態(tài)解，得到量與縱向分量的關(guān)系式，并代入場(chǎng)的定態(tài)解，得到TM波的分量形式為波的分量形式為 0zH 0,sinsi

20、nzmnEx yExyab0202002, ,cossin, ,sincos, ,sinsin, ,sinzzzjk zzxcjk zzycjk zzxckmmnEx y zjExy ekaabknmnEx y zjExy ekbabmnEx y zExy eabnmHx y zjExkba 02cos, ,cossin, ,0zzjk zjk zyczny ebmmnHx y zjExy ekaabHx y z 2TM波波電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播式中式中22222cxymnkkkab 給定波導(dǎo)尺寸給定波導(dǎo)尺寸a和和b，

21、就能得到矩形波導(dǎo)內(nèi)電，就能得到矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)問題的解，也即矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁波可存在的磁場(chǎng)問題的解，也即矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁波可存在的模式。模式。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播五、矩形波導(dǎo)的傳輸特性五、矩形波導(dǎo)的傳輸特性1波導(dǎo)的傳輸條件波導(dǎo)的傳輸條件 TE波和波和TM波橫向波數(shù)波橫向波數(shù)kx和和ky是相同的。因此，是相同的。因此，kx和和ky代入可得矩形波導(dǎo)中代入可得矩形波導(dǎo)中TEmn和和TMmn模的截止波模的截止波數(shù)為數(shù)為22222cxymnkkkab 該式表明截止波數(shù)與矩形波導(dǎo)的尺寸該式表明截止波數(shù)與矩形波導(dǎo)的尺寸a和和b以及離散

22、值以及離散值m和和n有關(guān)有關(guān) 相位常數(shù)為相位常數(shù)為222222zcmnkkkkab式中式中 為無界均勻介質(zhì)中的波數(shù)為無界均勻介質(zhì)中的波數(shù) 2k 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播上式表明：上式表明：當(dāng)當(dāng)kkc時(shí)，時(shí)，kz為實(shí)數(shù)，則傳播因子代表沿為實(shí)數(shù)，則傳播因子代表沿Z方向傳播方向傳播的的行波行波；故此稱故此稱kc為截止波數(shù)為截止波數(shù)，并以，并以kc作為波能否在波導(dǎo)中作為波能否在波導(dǎo)中傳播的判斷依據(jù)。傳播的判斷依據(jù)。通常判斷依據(jù)以截止波長通常判斷依據(jù)以截止波長c或截止頻率或截止頻率fc表示表示 2cck電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)

23、與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播截止波長為截止波長為2222222cckmanbm an b則截止頻率為則截止頻率為221222ccckmnfab式中式中 為波在無界均勻介質(zhì)中的傳播速度為波在無界均勻介質(zhì)中的傳播速度 波導(dǎo)的波導(dǎo)的傳輸條件用截止波數(shù)、截止波長和截傳輸條件用截止波數(shù)、截止波長和截止頻率止頻率可分別表述為可分別表述為由由cck得得電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播22ckkc或222cm an b2222122cmnmnffabab 根據(jù)上式可知，如果被傳輸?shù)碾姶挪ǖ墓ぷ黝l根據(jù)上式

24、可知，如果被傳輸?shù)碾姶挪ǖ墓ぷ黝l率高于波導(dǎo)內(nèi)相應(yīng)模式的截止頻率；或者，如果被率高于波導(dǎo)內(nèi)相應(yīng)模式的截止頻率；或者，如果被傳輸?shù)碾姶挪ǖ墓ぷ鞑ㄩL小于截止波長，則波導(dǎo)內(nèi)傳輸?shù)碾姶挪ǖ墓ぷ鞑ㄩL小于截止波長，則波導(dǎo)內(nèi)可傳輸可傳輸TEmn波或波或TMmn波，所以波，所以波導(dǎo)具有高通濾波波導(dǎo)具有高通濾波的特性。的特性。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播2矩形波導(dǎo)中存在的傳輸模式矩形波導(dǎo)中存在的傳輸模式 由前面討論可知，由前面討論可知，m、n的取值為正整數(shù)，因而的取值為正整數(shù)，因而kx和和ky的取值是離散的，不同的的取值是離散的，不同的m、n取

25、值和組合對(duì)應(yīng)取值和組合對(duì)應(yīng)于不同的波形或模式于不同的波形或模式TEmn和和TMmn。 由式（由式（10-55）知，當(dāng)）知，當(dāng)m=n=0時(shí)，電磁波的工作頻時(shí)，電磁波的工作頻率不管取何值，除率不管取何值，除Hz分量外，電磁場(chǎng)其它分量為零，分量外，電磁場(chǎng)其它分量為零，由坡印廷矢量得知，波導(dǎo)中不存在能量流動(dòng)，因而矩由坡印廷矢量得知，波導(dǎo)中不存在能量流動(dòng)，因而矩形波導(dǎo)內(nèi)形波導(dǎo)內(nèi)不存在不存在TE00波波 將將m=0和和n=0代入式（代入式（10-56）可知，矩形波導(dǎo)）可知，矩形波導(dǎo)內(nèi)內(nèi)不存在不存在TM00、TMmo和和TM0n波波 因此，因此，矩形波導(dǎo)內(nèi)能夠存在的模式為矩形波導(dǎo)內(nèi)能夠存在的模式為TE0n、

26、TEm0和和TMmn（m0，n0） 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 對(duì)于相同的對(duì)于相同的 m 和和 n，TEmn 波和波和 TMmn 波具有波具有相同的截止波數(shù)，因而，滿足傳輸條件的相同的截止波數(shù)，因而，滿足傳輸條件的 TEmn 波波和和TMmn 波可以同時(shí)在波導(dǎo)中存在，這種同時(shí)存在波可以同時(shí)在波導(dǎo)中存在，這種同時(shí)存在的波稱之為的波稱之為簡并模簡并模。 既然既然m和和n不可能同時(shí)為零，即不可能同時(shí)為零，即kx和和ky不可能同不可能同時(shí)為零，那么，時(shí)為零，那么， 和和 就不可能同時(shí)為零，所以就不可能同時(shí)為零，所以矩形波導(dǎo)內(nèi)不可能

27、存在矩形波導(dǎo)內(nèi)不可能存在TEM波。波。 這一結(jié)論也適用這一結(jié)論也適用于所有截面形狀為有限的單連通金屬波導(dǎo)。于所有截面形狀為有限的單連通金屬波導(dǎo)。zEzH電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播例例 9.1 一直矩形波導(dǎo)的截面尺寸為一直矩形波導(dǎo)的截面尺寸為ab=2310mm2, 試求當(dāng)工作波長試求當(dāng)工作波長=10mm時(shí)，波導(dǎo)中能傳輸哪些模式？時(shí)，波導(dǎo)中能傳輸哪些模式？當(dāng)當(dāng)=30mm呢？呢？解解 傳輸條件為傳輸條件為222cm an b1當(dāng)當(dāng)=10mm時(shí)，有時(shí)，有22222100.0423102310mnmn即滿足條件的滿足條件的m和和n取

28、值為取值為:m=0時(shí)時(shí), n2.00, 由于波導(dǎo)內(nèi)不存在由于波導(dǎo)內(nèi)不存在TM00、TMmo和和TM0n波，所以僅可傳輸波，所以僅可傳輸TE01模。模。m=1時(shí)時(shí), n1.95, 能傳輸?shù)哪Ｊ綖槟軅鬏數(shù)哪Ｊ綖門E11、TM11和和TE10。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播m=2時(shí)，時(shí)，n1.80，能傳輸?shù)哪Ｊ綖?，能傳輸?shù)哪Ｊ綖門E21、TM21和和TE20。m=3時(shí)，時(shí)，n1.50，能傳輸?shù)哪Ｊ綖椋軅鬏數(shù)哪Ｊ綖門E30、TE31和和TM31。m=4時(shí)，時(shí)，n0.95，所以能傳輸?shù)哪Ｊ綖?，所以能傳輸?shù)哪Ｊ綖門E40。m=5時(shí)，時(shí)，

29、n無解，不存在傳輸模式。無解，不存在傳輸模式。由此說明當(dāng)由此說明當(dāng)=10mm時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)存在時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)存在11種模式的波形。種模式的波形。2當(dāng)當(dāng)=30mm時(shí)，有時(shí)，有2222243023109002310mnmn即滿足條件的滿足條件的m和和n取值為取值為電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播m=0時(shí)，時(shí)，n0.67，波導(dǎo)內(nèi)無傳導(dǎo)模式存在。，波導(dǎo)內(nèi)無傳導(dǎo)模式存在。m=1時(shí)，時(shí)，n0.50，能傳輸?shù)哪Ｊ綖?，能傳輸?shù)哪Ｊ綖門E10。m=2時(shí)，時(shí)，n無解，不存在傳輸模式。無解，不存在傳輸模式。由此說明由此說明當(dāng)當(dāng)=30mm時(shí)，時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)是單模傳

30、輸。波導(dǎo)內(nèi)是單模傳輸。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播3相速度和波導(dǎo)波長相速度和波導(dǎo)波長 相速度是波導(dǎo)內(nèi)對(duì)應(yīng)于某一頻率的導(dǎo)行波的等相相速度是波導(dǎo)內(nèi)對(duì)應(yīng)于某一頻率的導(dǎo)行波的等相位面?zhèn)鞑ニ俣?，可令行波的相位因子等于常?shù)，即位面?zhèn)鞑ニ俣?，可令行波的相位因子等于常?shù)，即ztk zC兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得 222221zccckkkkkk 式中為無界均勻介質(zhì)中的電磁波速度，式中為無界均勻介質(zhì)中的電磁波速度，對(duì)應(yīng)于電對(duì)應(yīng)于電磁波在介質(zhì)中的波長磁波在介質(zhì)中的波長 。如果波導(dǎo)內(nèi)無填充介質(zhì)，則如果波導(dǎo)內(nèi)無填充介質(zhì)，則201cc可見波導(dǎo)中可見波導(dǎo)

31、中c電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 波導(dǎo)波長波導(dǎo)波長也稱相波長，是指某一頻率的導(dǎo)行波其也稱相波長，是指某一頻率的導(dǎo)行波其等相位面在一個(gè)周期內(nèi)沿等相位面在一個(gè)周期內(nèi)沿Z方向移動(dòng)的距離，即方向移動(dòng)的距離，即2211gccTT 4群速度群速度g 群速度是指由許多具有相近頻率群速度是指由許多具有相近頻率和相位常數(shù)和相位常數(shù)kz構(gòu)成的合成波在傳輸過程中的速度。構(gòu)成的合成波在傳輸過程中的速度。下面以簡單的調(diào)下面以簡單的調(diào)幅波為例給予說明幅波為例給予說明 設(shè)有兩個(gè)頻率相近、相位常數(shù)相近的波沿設(shè)有兩個(gè)頻率相近、相位常數(shù)相近的波沿Z向傳向傳播，

32、其電場(chǎng)表達(dá)式為播，其電場(chǎng)表達(dá)式為()()10()()20zzzzj kkzjtj kkzjtEE eeEE ee電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播兩列波合成的結(jié)果為兩列波合成的結(jié)果為()1202coszjt k zzEEEEtkz e 式式 中表示合成波的包絡(luò)中表示合成波的包絡(luò),合成波的傳合成波的傳cosztkz 播速度就是包絡(luò)的移動(dòng)速度。播速度就是包絡(luò)的移動(dòng)速度。 ztkzC 由由 得到群速度為得到群速度為,0limzgkzzdzddtkdk2222211zccckkkkkkk 222221zczckkkk 即22211zgcz

33、zckddkkk 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播如果波導(dǎo)中填充介質(zhì)為空氣，如果波導(dǎo)中填充介質(zhì)為空氣， ，則，則c21gccc 該式表明：該式表明：當(dāng)不考慮波導(dǎo)內(nèi)介質(zhì)的色散時(shí)當(dāng)不考慮波導(dǎo)內(nèi)介質(zhì)的色散時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)傳輸模的波導(dǎo)內(nèi)傳輸模的群速度必小于光速群速度必小于光速c。 可見，電磁波的頻率不同，即波長不同，其相可見，電磁波的頻率不同，即波長不同，其相速度和群速度就不同，這種特性稱之為波的速度和群速度就不同，這種特性稱之為波的色散色散。由此可見，波導(dǎo)傳輸由此可見，波導(dǎo)傳輸TEmn波或波或TMmn波均為波均為色散波色散波。由于色散的存在

34、，波導(dǎo)傳輸信號(hào)會(huì)產(chǎn)生信號(hào)失真。由于色散的存在，波導(dǎo)傳輸信號(hào)會(huì)產(chǎn)生信號(hào)失真。而而TEM波的相速度和群速度相等，且與頻率無關(guān)，波的相速度和群速度相等，且與頻率無關(guān)，因此，因此，TEM波為波為非色散波非色散波。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 5波阻抗波阻抗 在波導(dǎo)中傳輸模式的橫向電場(chǎng)與橫向磁場(chǎng)在波導(dǎo)中傳輸模式的橫向電場(chǎng)與橫向磁場(chǎng)之比定義為導(dǎo)行波的波阻抗。之比定義為導(dǎo)行波的波阻抗。 TM波的波阻抗為波的波阻抗為 21yxzTMcyxEEkHH 式中式中為為TEM波在無界均勻介質(zhì)中的波阻抗波在無界均勻介質(zhì)中的波阻抗 電磁場(chǎng)與電磁波理論基

35、礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播六、矩形波導(dǎo)中的六、矩形波導(dǎo)中的TE10模模 波導(dǎo)中截止波長最長的導(dǎo)行波稱之為該波導(dǎo)的波導(dǎo)中截止波長最長的導(dǎo)行波稱之為該波導(dǎo)的主模主模，矩形波導(dǎo)的主模為，矩形波導(dǎo)的主模為TE10模模，也稱，也稱H10模。模。TE10模的優(yōu)點(diǎn)是場(chǎng)結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定、頻帶寬及損耗小，模的優(yōu)點(diǎn)是場(chǎng)結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定、頻帶寬及損耗小，并且可以實(shí)現(xiàn)單模傳輸。并且可以實(shí)現(xiàn)單模傳輸。1TE10模的場(chǎng)分布模的場(chǎng)分布取取m=1、n=0代入式（代入式（10-55）和式（）和式（10-57），得到），得到000, , , ,0, ,sin, ,sin, ,cos

36、zzzxzyjk zyjk zxzjk zzEx y zEx y zHx y zaEx y zjHx eaaHx y zjkHx eaHx y zHx ea 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播相應(yīng)的瞬時(shí)表達(dá)式為相應(yīng)的瞬時(shí)表達(dá)式為000, , ;, , ;, , ;0, , ;sincos2, , ;sincos2, , ;coscosxzyyzzxzzzEx y z tEx y z tHx y z taEx y z tHxtk zak aHx y z tHxtk zaHx y z tHxtk za 由此可見，由此可見，TE10模的

37、場(chǎng)分量僅有三個(gè)模的場(chǎng)分量僅有三個(gè)Ey、Hx和和Hz，并且三個(gè)分量均與，并且三個(gè)分量均與y無關(guān)，說明在無關(guān)，說明在Y方向場(chǎng)方向場(chǎng)均勻分布。均勻分布。根據(jù)上述方程可畫出電場(chǎng)線和磁感線：根據(jù)上述方程可畫出電場(chǎng)線和磁感線：電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播圖圖10-2 TE10模電場(chǎng)分布模電場(chǎng)分布電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播圖圖10-3 TE10模磁場(chǎng)分布模磁場(chǎng)分布電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播圖圖10

38、-4 TE10模的電磁場(chǎng)力線立體示意圖模的電磁場(chǎng)力線立體示意圖電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播2TE10模在矩形波導(dǎo)壁面產(chǎn)生的電流分布模在矩形波導(dǎo)壁面產(chǎn)生的電流分布 電磁場(chǎng)在金屬波導(dǎo)內(nèi)傳播會(huì)在波導(dǎo)內(nèi)金屬壁面產(chǎn)電磁場(chǎng)在金屬波導(dǎo)內(nèi)傳播會(huì)在波導(dǎo)內(nèi)金屬壁面產(chǎn)生感應(yīng)電流。在微波波段，由于頻率很高，導(dǎo)體的趨生感應(yīng)電流。在微波波段，由于頻率很高，導(dǎo)體的趨膚深度很小，這種壁面電流將在金屬導(dǎo)體表面的薄層膚深度很小，這種壁面電流將在金屬導(dǎo)體表面的薄層內(nèi)流動(dòng)。內(nèi)流動(dòng)。 壁面電流可根據(jù)磁場(chǎng)切向分量的邊界條件確定，壁面電流可根據(jù)磁場(chǎng)切向分量的邊界條件確定

39、，由于金屬導(dǎo)體內(nèi)磁場(chǎng)為零由于金屬導(dǎo)體內(nèi)磁場(chǎng)為零 ,有有StJnH000coszzxSxzyxHHtk zJeee0coszzx aSxzyx aHHtk zJeee電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播0000sincos2coscosxzxzyzzzSyxzzxyzxHHHHk aHxtk zaHxtk zaJeeeeeee000sincos2coscosxzxzSyxzzxy bzxyzzzHHHHk aHxtk zaHxtk za Jeeeeeee電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁

40、波在波導(dǎo)中的傳播3TE10模的傳輸特性模的傳輸特性（1）截止波數(shù)與截止波長）截止波數(shù)與截止波長22221,0cxymnmnkkkaba22ccak（2）相速度與波導(dǎo)波長）相速度與波導(dǎo)波長212a212ga電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播（3）群速度和波阻抗）群速度和波阻抗212ga212TEa電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 七、矩形波導(dǎo)的傳輸功率及尺寸選擇七、矩形波導(dǎo)的傳輸功率及尺寸選擇1波導(dǎo)的傳輸功率波導(dǎo)的傳輸功率 無限長理想導(dǎo)體矩形波導(dǎo)所傳輸?shù)墓β实扔谄綗o限

41、長理想導(dǎo)體矩形波導(dǎo)所傳輸?shù)墓β实扔谄骄掠⊥⑹噶烤掠⊥⑹噶縎av在波導(dǎo)橫截面內(nèi)的積分，有在波導(dǎo)橫截面內(nèi)的積分，有*( )1Re2SPdEHS下面以下面以TE10模為例，求與該模相對(duì)應(yīng)的傳輸功率模為例，求與該模相對(duì)應(yīng)的傳輸功率 *111ReReRe 002220 xyzxyzxyzyxyzxzEEEEHHHHHeeeeeeE H2*2001sin2zzakH Hxae電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播則則2*200()1sin2zzzSaPkH Hxdxdyaee22*22000001sin24bazzaabakH Hx dxdy

42、kHa 222210101012444zTEEkabababEEa 式中式中E10為為TE10模模x=a/2處電場(chǎng)的最大振幅處電場(chǎng)的最大振幅。由此。由此可見，矩形波導(dǎo)的傳輸功率可見，矩形波導(dǎo)的傳輸功率P與工作波長與工作波長、矩形波導(dǎo)、矩形波導(dǎo)橫截面面積橫截面面積ab及電場(chǎng)振幅及電場(chǎng)振幅E10有關(guān)。有關(guān)。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播受介質(zhì)擊穿強(qiáng)度的限制，在波導(dǎo)中傳輸?shù)墓β适芙橘|(zhì)擊穿強(qiáng)度的限制，在波導(dǎo)中傳輸?shù)墓β室矊⑹艿较拗?。波?dǎo)所能傳輸?shù)淖畲蠊β史Q為極限也將受到限制。波導(dǎo)所能傳輸?shù)淖畲蠊β史Q為極限功率或稱為波導(dǎo)的功率或稱為波導(dǎo)

43、的功率容量功率容量。功率容量與波導(dǎo)的尺。功率容量與波導(dǎo)的尺寸、波型、工作波長以及波導(dǎo)中填充介質(zhì)的擊穿強(qiáng)寸、波型、工作波長以及波導(dǎo)中填充介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度等因素有關(guān)。計(jì)算功率容量，首先求出傳輸功率度等因素有關(guān)。計(jì)算功率容量，首先求出傳輸功率與電場(chǎng)強(qiáng)度幅值的關(guān)系式，然后由介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度幅值的關(guān)系式，然后由介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度確定相應(yīng)的功率，即為功率容量。確定相應(yīng)的功率，即為功率容量。22124ccabPEa假如矩形波導(dǎo)內(nèi)填充介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度為假如矩形波導(dǎo)內(nèi)填充介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度為Ec，對(duì)，對(duì)于于TE10模，可以計(jì)算波導(dǎo)的功率容量為模，可以計(jì)算波導(dǎo)的功率容量為電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第

44、十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 2波導(dǎo)尺寸選擇波導(dǎo)尺寸選擇 矩形波導(dǎo)的尺寸選擇需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用中具體的矩形波導(dǎo)的尺寸選擇需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用中具體的技術(shù)要求來確定。在給定的頻帶內(nèi)，一般的技術(shù)要求來確定。在給定的頻帶內(nèi)，一般的選擇標(biāo)準(zhǔn)選擇標(biāo)準(zhǔn)是：是：傳輸單模；傳輸單模；有足夠的功率容量；有足夠的功率容量；損耗??；損耗小；尺寸盡可能小。尺寸盡可能小。為了保證單模傳輸，要求為了保證單模傳輸，要求022ab且考慮到功率容量問題，要求考慮到功率容量問題，要求0.62aab且要求傳輸損耗小，應(yīng)使要求傳輸損耗小，應(yīng)使0.7a綜合考慮以上因素，矩形波導(dǎo)尺寸一般選擇為綜合考慮以上因素，矩形波導(dǎo)

45、尺寸一般選擇為0.70.4 0.5aba且電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播10.2 圓柱形金屬波導(dǎo)中的電磁波圓柱形金屬波導(dǎo)中的電磁波一、圓波導(dǎo)橫平面內(nèi)場(chǎng)分量一、圓波導(dǎo)橫平面內(nèi)場(chǎng)分量 之間的關(guān)系之間的關(guān)系圓柱形波導(dǎo)問題的求解與矩形波導(dǎo)完全相同。圓柱形波導(dǎo)問題的求解與矩形波導(dǎo)完全相同。 時(shí)諧電磁波在圓波導(dǎo)內(nèi)傳播時(shí)諧電磁波在圓波導(dǎo)內(nèi)傳播滿足麥克斯韋方程滿足麥克斯韋方程jj HEEH假定電磁波沿假定電磁波沿+Z方向傳播，其傳播因子為方向傳播，其傳播因子為 , 則電磁波在柱坐標(biāo)系下具有的解形式為則電磁波在柱坐標(biāo)系下具有的解形式為zjt k

46、 ze, , ;, , ;,zzjt k zjt k zz tez te EEHH電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播把式（把式（10-107）在柱坐標(biāo)系下展開成分量形式，有）在柱坐標(biāo)系下展開成分量形式，有 ()11zzzzzjHHHHHHzzEEEeeeeeeH()11zzzzzjEEEEEEzzHHH eeeeeeE將式（將式（10-108）代入式（）代入式（10-109）和式（）和式（10-110），），得到分量形式為：得到分量形式為：電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中

47、的傳播1()11zzzzzHjEjk HHjEjk HHHjE 和和1()11zzzzzEjHjk EEjHjk EEEjH電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播聯(lián)立求解方程組，得到聯(lián)立求解方程組，得到2222zzzczzzczzzczzzcEHjEkkkEHjEkEHjHkkEkHjHk 式中式中22222czzkkkk 稱之為稱之為截止波數(shù)截止波數(shù)。顯然，沿。顯然，沿+Z方向傳播方向傳播的電磁波，在其垂直于傳播方向的橫平面內(nèi)，的電磁波，在其垂直于傳播方向的橫平面內(nèi)，場(chǎng)分量場(chǎng)分量 、 、 和和 僅僅與僅僅與 、 有關(guān)。有關(guān)。ckEE

48、HHzEzH電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播二、圓波導(dǎo)橫平面內(nèi)縱向場(chǎng)分量的解二、圓波導(dǎo)橫平面內(nèi)縱向場(chǎng)分量的解波導(dǎo)內(nèi)無源空間時(shí)諧電磁場(chǎng)滿足矢量赫姆霍茲方程為波導(dǎo)內(nèi)無源空間時(shí)諧電磁場(chǎng)滿足矢量赫姆霍茲方程為222200kkEEHH 對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，沿對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，沿+Z方向傳播的電磁波具有定方向傳播的電磁波具有定態(tài)形式的解。將電場(chǎng)和磁場(chǎng)的定態(tài)解的分量形式態(tài)形式的解。將電場(chǎng)和磁場(chǎng)的定態(tài)解的分量形式 , , , ,zzzjk zjk zjk zzzEzEeEzEeEzEe 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波

49、在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 代入赫姆霍茲方程式，得到柱坐標(biāo)系下分量代入赫姆霍茲方程式，得到柱坐標(biāo)系下分量形式的方程為形式的方程為222222222222110110110cczzczEEk EEEk EEEk E222222222222110110110cczzczHHk HHHk HHHk H, , , ,zzzjk zjk zjk zzzHzHeHzHeHzHe 和和電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 顯然，電場(chǎng)分量方程（顯然，電場(chǎng)分量方程（10-118）和磁場(chǎng)分量方程）和磁場(chǎng)分量方程（10-119）具有相同的形式，所

50、以僅需要求解波導(dǎo)橫）具有相同的形式，所以僅需要求解波導(dǎo)橫平面內(nèi)的縱向電場(chǎng)分量和縱向磁場(chǎng)分量，然后利用縱平面內(nèi)的縱向電場(chǎng)分量和縱向磁場(chǎng)分量，然后利用縱向場(chǎng)分量與橫向場(chǎng)分量的關(guān)系式（向場(chǎng)分量與橫向場(chǎng)分量的關(guān)系式（10-113），即可求），即可求得橫向場(chǎng)分量的解。得橫向場(chǎng)分量的解。 1求解求解,zE 采用圓柱坐標(biāo)系下的分離變量法。設(shè)采用圓柱坐標(biāo)系下的分離變量法。設(shè),( ) ( )zER 代入式（代入式（10-118）的縱向場(chǎng)方程，有）的縱向場(chǎng)方程，有222( )( )( )0( )( )( )cRRkRR電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳

51、播令令 2( )( )m 得到得到 2( )( )0m2222( )( )( )0cRRkmR第一方程和周期邊界條件構(gòu)成本征值問題，其解為第一方程和周期邊界條件構(gòu)成本征值問題，其解為( )cossin,0,1,2,AmBmm第二個(gè)方程可作自變量代換第二個(gè)方程可作自變量代換 cxk可得可得222( )( )( )0 x R xxR xxmR x這就是這就是m階貝塞爾方程，其解為階貝塞爾方程，其解為( )()()mcmcRCJkDYk電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播式中式中Jm(kc )和和Ym(kc )分別是分別是m階第一類貝塞爾

52、函數(shù)和階第一類貝塞爾函數(shù)和m階第二類貝塞爾函數(shù)，圖階第二類貝塞爾函數(shù)，圖10-6(a)和和(b)分別給出的是第分別給出的是第一類貝塞爾函數(shù)和第二類貝塞爾函數(shù)的曲線。一類貝塞爾函數(shù)和第二類貝塞爾函數(shù)的曲線。（a）第一類貝塞爾函數(shù)）第一類貝塞爾函數(shù) （b）第二類貝塞爾函數(shù)）第二類貝塞爾函數(shù) 圖圖10-6 貝塞爾函數(shù)曲線貝塞爾函數(shù)曲線電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 為了確定式中的待定常數(shù)為了確定式中的待定常數(shù) 、 、 和和 ，必，必須給出波導(dǎo)內(nèi)壁面上的邊界條件。由式（須給出波導(dǎo)內(nèi)壁面上的邊界條件。由式（5-52），），得圓波導(dǎo)內(nèi)表面

53、電場(chǎng)切向邊界條件為得圓波導(dǎo)內(nèi)表面電場(chǎng)切向邊界條件為ABCD0zaaEE當(dāng)當(dāng) =0時(shí)，由第二類貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)知時(shí)，由第二類貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)知(0)mY則有則有(0),0,zRE即顯然，不符合解的有界性，必有顯然，不符合解的有界性，必有0D 當(dāng)當(dāng) =a時(shí)，將邊界條件代入式中，有時(shí)，將邊界條件代入式中，有( )()0mcR aCJk a電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播如果如果 =0，必有，必有C( )0,0zR aEa即則縱向方程僅有零解。而方程存在非零解，必有則縱向方程僅有零解。而方程存在非零解，必有0,()0mcCJk a而設(shè)設(shè)

54、mn為為m階貝塞爾函數(shù)的第階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的根個(gè)零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的根, 即即()()0,0,1,2,;1,2,3,mcmmnJk aJmn則有則有22,mncccmnaka或 式（式（10-125）中存在兩項(xiàng)，表明在波導(dǎo)內(nèi)兩種波）中存在兩項(xiàng)，表明在波導(dǎo)內(nèi)兩種波形可以同時(shí)存在，并具有相同的特性，因此，把這兩形可以同時(shí)存在，并具有相同的特性，因此，把這兩個(gè)具有相同特性的行波稱之為簡并模。為了計(jì)算簡單個(gè)具有相同特性的行波稱之為簡并模。為了計(jì)算簡單起見，把式（起見，把式（10-125）改寫成復(fù)指數(shù)的形式）改寫成復(fù)指數(shù)的形式電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中

55、的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播( ),0, 1, 2,jmA em 式中式中 取為復(fù)常數(shù)，注意此處把簡并的情況取為復(fù)常數(shù)，注意此處把簡并的情況歸結(jié)為歸結(jié)為m取取“”和取和取“”。A 利用式利用式(10-132)，并把式，并把式(10-128)和式和式(10-138)代代入式入式(10-120)，得到縱向電場(chǎng)分量的解為，得到縱向電場(chǎng)分量的解為0,()jmzmcEE Jke 式中常數(shù)式中常數(shù) 為電場(chǎng)復(fù)振幅，由激勵(lì)條件確定為電場(chǎng)復(fù)振幅，由激勵(lì)條件確定.0EA C 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播2求解求解,zH 與求解方程（與求解方程（1

56、0-118）縱向場(chǎng)分量的方法相同，）縱向場(chǎng)分量的方法相同，可得方程（可得方程（10-119）縱向成分量的解為）縱向成分量的解為,()()jmzmcmcHC JkD Yke 式中式中 和和 為待定常數(shù)，由磁場(chǎng)邊界條件確定為待定常數(shù)，由磁場(chǎng)邊界條件確定 CD0,zH當(dāng)當(dāng) =0時(shí)，由于時(shí)，由于 ，則有，則有(0)mY不符合解的有界性，必有不符合解的有界性，必有0D 由此得到由此得到,()jmzmcHC Jke 由式（由式（10-39），可得磁場(chǎng)法向邊界條件為），可得磁場(chǎng)法向邊界條件為0aH電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播對(duì)于對(duì)于TE波

57、，有波，有0,0zzEE所以 將式（將式（10-144）和式（）和式（10-145）代入關(guān)系式）代入關(guān)系式（10-113），得到磁場(chǎng)切向邊界條件為），得到磁場(chǎng)切向邊界條件為0zaH對(duì)方程對(duì)方程(10-143) 求導(dǎo)，并利用邊界條件求導(dǎo)，并利用邊界條件(10-146)，有，有,()0zjmcmcaHC k Jk a e 存在非零解的條件為存在非零解的條件為0,()0mcCJk a而電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 式中式中 表示表示m階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù) 關(guān)于關(guān)于 的一階導(dǎo)的一階導(dǎo)數(shù)。設(shè)數(shù)。設(shè)mn為為m階貝塞爾函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的第

58、階貝塞爾函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的第n個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的根，即所對(duì)應(yīng)的根，即mJmJ()()0,0,1,2,;1,2,3,mcmmnJk aJmn則有則有22,mncccmnaka或或可得縱向磁場(chǎng)分量的解為可得縱向磁場(chǎng)分量的解為 0,()jmzmcHH Jke 式（式（10-139）和式（）和式（10-151）就是圓波導(dǎo)橫）就是圓波導(dǎo)橫平面內(nèi)縱向場(chǎng)分量的解。平面內(nèi)縱向場(chǎng)分量的解。電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播三、圓波導(dǎo)中電磁場(chǎng)傳播的模式三、圓波導(dǎo)中電磁場(chǎng)傳播的模式由式由式0,()jmzmcEE Jke 0,()jmzmcHH Jke ,

59、0,0zzEH 所以與矩形波導(dǎo)相同，當(dāng)所以與矩形波導(dǎo)相同，當(dāng)m和和n取不同值時(shí)，圓取不同值時(shí)，圓波導(dǎo)存在波導(dǎo)存在TEmn和和TMmn模式的電磁波，一般情況下，模式的電磁波，一般情況下，圓波導(dǎo)中電磁波存在的形式是圓波導(dǎo)中電磁波存在的形式是TEmn波和波和TMmn波的疊波的疊加。下面就加。下面就TE波和波和TM波進(jìn)行討論。波進(jìn)行討論?？芍?，電磁波在圓波導(dǎo)內(nèi)傳播具有縱向分量，即可知，電磁波在圓波導(dǎo)內(nèi)傳播具有縱向分量，即 電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播1TE波波 將將 和式（和式（10-151）代入式（）代入式（10-113），然），

60、然后代入式（后代入式（10-116）和式（）和式（10-117），得到），得到TE波的波的分量形式為分量形式為0zE 02000201()1()01()1()()zzzzzjk zjmmccjk zjmmcczjk zjmzmccjk zjmzmccjk zjmzmcmEH JkeekEjH JkeekEHjk H JkeekmkHH JkeekHH Jkee 式中式中2mnccka電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)電磁場(chǎng)與電磁波理論基礎(chǔ)第十章第十章 電磁波在波導(dǎo)中的傳播電磁波在波導(dǎo)中的傳播 2TM波波 將將 和式（和式（10-139）代入式（）代入式（10-113），），然后代入式（然后代入式（10-1