劉蔣?。?道函數(shù)不等式題的命制-聽教育專家黃厚忠先生專題報(bào)告后而命制

劉蔣?。?道函數(shù)不等式題的命制——聽教育專家黃厚忠先生專題報(bào)告后而命制道函數(shù)不等式題的命制——聽教育專家黃厚忠先生專題報(bào)告后而命制文/劉蔣巍2023年4月14日，鎮(zhèn)江市教育科學(xué)研究院高中部部長(zhǎng)、高中數(shù)學(xué)教研員、鎮(zhèn)江市學(xué)科帶頭人、鎮(zhèn)江市政協(xié)常委、市農(nóng)工黨教育支部主任黃厚忠先生，在“江蘇省2023年高中數(shù)學(xué)新高考研討活動(dòng)”中作專題報(bào)告。在專家報(bào)告環(huán)節(jié)，黃厚忠先生指出：“基本初等函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、分式函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)為主）、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，這四種函數(shù)相互間組合運(yùn)算、疊加、復(fù)合，衍生出多種新函數(shù)，探討這些新函數(shù)的性質(zhì)?！蓖瑫r(shí)，黃厚忠先生也提到：“有些高考題，命題者出題意圖是讓學(xué)生用導(dǎo)數(shù)處理。實(shí)際上，也可以用不等式處理?！惫P者在學(xué)習(xí)教育專家黃厚忠先生專題報(bào)告后，研讀教材，命制了2道函數(shù)不等式題。下面將試題命制過(guò)程及參考解答呈現(xiàn)給大家。請(qǐng)批評(píng)指正。問(wèn)題1【命制過(guò)程】【命題背景】函數(shù)在為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，基于此背景，命制如下問(wèn)題1【問(wèn)題1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，（1）當(dāng)時(shí)，求證：（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明（3）求證：?jiǎn)栴}1【參考解答】證明略。故，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列。注：也可構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用不等式（）證明.由（2）知：，即：當(dāng)時(shí)，,,故（）即：當(dāng)時(shí)，；用替換得：（），即：（），亦即：（）故，綜上，問(wèn)題2【命制過(guò)程】【教材題源】（蘇教版必修1教材第134頁(yè)“思考運(yùn)用”第7題）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，試比較與的大小.【命題背景1】，，當(dāng)時(shí)，，則；則在是上凸函數(shù)當(dāng)或時(shí)，，則，則在是下凸函數(shù)。取“”段函數(shù)圖像，則據(jù)此，命制第（1）問(wèn)?！久}背景2】（上凸函數(shù)的“切線不等式”）若是區(qū)間上的可微上凸函數(shù)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線一定在曲線的上方，即成立不等式又若為嚴(yán)格上凸函數(shù)，則上述不等式成立等號(hào)的充分必要條件是.簡(jiǎn)證：將上述不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，應(yīng)用拉格朗日中值定理有：其中.又是區(qū)間上的可微上凸函數(shù)，則在上為減函數(shù)；則，又，則即：若為嚴(yán)格上凸函數(shù)，則在上嚴(yán)格單調(diào)減少。因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。由上述定理，可知：經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線一定在曲線的上方。即：據(jù)此，命制第（2）問(wèn)?！締?wèn)題2】給出定義：若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I上也可導(dǎo)，則稱在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)函數(shù).記，若在區(qū)間I上恒成立，則稱在區(qū)間I上為上凸函數(shù)；若在區(qū)間I上恒成立，則稱在區(qū)間I上為下凸函數(shù).對(duì)于任意，其中，，若在區(qū)間I上為上凸函數(shù)，則有;若在區(qū)間I上為下凸函數(shù),則有.已知，且，則______(填“>”、“<”或“=”);若在上恒成立，則的最小值為________問(wèn)題2【參考答案】；（2）的最小值為：【總結(jié)】教師要研究命題的背景——試題的“源”，據(jù)此，我們可取種種具體的函數(shù)，乃至抽象函數(shù)，源源不斷地產(chǎn)生相應(yīng)的函數(shù)不等式題。2022全國(guó)新高考Ⅰ卷作文提示語(yǔ)：對(duì)于初學(xué)者而言，應(yīng)該從本手開始，本手的功夫扎實(shí)了，棋力才會(huì)提高。一些初學(xué)者熱衷于追求妙手，而忽視更為常用的本手。本手是基礎(chǔ)，妙手是創(chuàng)造。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)本手理解深刻，才可能出現(xiàn)妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升。對(duì)于教師而言，你未必需要自己下出“妙手”；你需要的是“