(5.1.15)-第五講 正態(tài)分布社會調(diào)查研究方法

1第五講：正態(tài)分布2學習目標掌握正態(tài)分布的特性；正態(tài)分布曲線下面積的含義；標準分的計算和應用；利用標準正態(tài)分布表計算概率。理解大數(shù)定理和中心極限定理3一、什么是正態(tài)分布？4從“分布”說起5☆直方圖——用長條的面積來表示頻次或相對頻次；☆折線圖——用直線連接直方圖中條形頂端的中點；當組距逐漸減小時，折線將逐漸平滑為曲線。6峰點（Peak)研究單峰多峰7幾種常見的頻數(shù)分布曲線對稱分布右偏分布左偏分布正J型分布反J型分布U型分布8一、正態(tài)分布曲線

xφ(x)91.1什么是正態(tài)分布？1、由德國數(shù)學家高斯提出，也叫高斯分布；2、自然界、社會經(jīng)濟生活中大量存在的分布規(guī)律,如人們的身高、體重、智商等都比較接近正態(tài)分布；3、經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎；4、在所有的分布中，正態(tài)分布居于首要位置，由正態(tài)分布出發(fā)，可以導出一系列重要的抽樣分布，如T分布、X2分布、F分布等；xf(x)101.2正態(tài)分布的基本特征特征一：一個高峰特征二：一條對稱軸特征三：一條漸近線xf(x)M0＝Md=μ

眾值=中位值＝均值111.3正態(tài)分布的數(shù)學表達式φ(x)=隨機變量X的頻次（概率密度）＝總體標準差；

=總體方差;

=總體均值（圓周率）=3.14159;e（自然對數(shù)的底）=2.71828x=隨機變量的取值(-

<x<

)通過數(shù)學推導，可得X的數(shù)學期望E（X）=u，方差D（X）=

121.4兩個參數(shù)的影響（μ，σ）位置參數(shù)均值μ標準差σ

形狀參數(shù)131.4.1μ對正態(tài)曲線的影響μ1

μ2

μ3μ1

＜μ2＜

μ3141.4.2

對正態(tài)曲線的影響xφ(x)CAB曲線A和B的比較16正態(tài)曲線的位置由均值μ決定；正態(tài)曲線的形狀“高，矮，胖，瘦”的特點由標準差σ決定；

當σ較小時，曲線“高”且“瘦”；當σ較大時，曲線“矮”且“胖”。因此,當隨機變量x服從正態(tài)分布,習慣上又記作:X-N(u,σ).由公式,可推出正態(tài)分布具有如下特性:(1)正態(tài)曲線是單峰\對稱的,即它的眾數(shù)\中位數(shù)和均值是相等的,換言之,圖形中均值u同時也是眾數(shù)和中位數(shù);(2)X與均值的差異(|x-u|)越大,對應的f(x)就越小,但不會等于零,即曲線兩端呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢,但不會完全接觸底線(橫軸);(3)u決定圖形式的位置,σ決定圖形陡峭平緩(或高聳扁平)程度.在σ一定的情況下,若u增大,圖形右移,若u減小,圖形左移,但整個圖形形狀不變.在u不變的情況下,σ越小,對應的圖形越陡峭;σ越大,對應的圖形越平緩.18二、正態(tài)曲線下的面積192.1正態(tài)曲線下面積的涵義隨機變量的頻次總和；位于正態(tài)曲線和橫軸之間的總面積可以表示一個單位的整體,即包含了總體中的全部(100%)的個案.正態(tài)曲線下包含的每一塊面積,可以表示對應的個案數(shù)占總數(shù)的比例的大小.一般把正態(tài)曲線下的總面積約等于1，這時一定區(qū)間內(nèi)的頻次分布表現(xiàn)為概率分布。對于正態(tài)分布曲線下的任一面積,如a<x<b所對應的面積為:212.2正態(tài)曲線的一個重要性質(zhì)

無論正態(tài)曲線具有哪種均值和標準差，在均值和橫坐標某一點的距離內(nèi)（用標準差來表示）曲線下的面積是常數(shù)。

下圖說明此意。22正態(tài)曲線下的面積（圖）

-2

+2

2.3%2.3%

-

+

95.44%68.26%232.3幾個典型取值區(qū)間的概率值P(

-≤ξ≤

+)=0.6826;P(

-2≤ξ≤

+2)=0.9544;P(

-3≤ξ≤

+3)=0.9974;24三、標準正態(tài)分布253.1什么是標準正態(tài)分布——以標準差為單位的正態(tài)分布一般稱為標準正態(tài)分布（standardizednormaldistribution)263.2標準正態(tài)分布的重要性

——簡化統(tǒng)計分析▲一般的正態(tài)分布取決于均值

和標準差；

▲計算概率時，每一個正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的;▲若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，計算概率時只需要查一張表.273.3標準分（Standardscores)公式:Z值代表每個X值在標準正態(tài)分布上的數(shù)值。283.4標準正態(tài)分布的表達式正態(tài)分布的表達式為：N（，

）標準正態(tài)分布的表達式為：N（0，1）標準正態(tài)分布是一般正態(tài)分布的特例，即＝0，

＝1的正態(tài)分布。293.5標準分的實際意義各總體之間可以通過標準分進行合理的比較不同總體間綜合指標的比較如:甲城市居民月收入的均值為3000元，標準差為500元；乙城市居民月收入的均值為4500元，標準差為1000元。若甲城市的居民A的月收入為4000元，乙城市居民B的月收入為5500元?？雌饋鞡的收入比A的高，但與本地其他居民相比較，結果可能有所不同。這時候就需要把A與B的收入都轉(zhuǎn)換成標準值，進行更加直觀的比較。結果是？303.6標準分的應用例題:李明參加了全校新生入學摸底考試，數(shù)學得了90分，英語得了75分。假定全校新生數(shù)學成績的均值

=85分，標準差=10分；全校新生英語成績的均值=60分，標準差=5。這次考試李明哪門科目考試考得好一些？313.7標準正態(tài)分布的面積P(-1≤Z≤

1)=0.6826;P(-2≤Z≤

2)=0.9544;P(-3≤Z≤

3)=0.9974;由于標準正態(tài)分布N（0，1）的圖形是唯一的，因此使用標準正態(tài)分布無須自己計算，只需要學會查表就行了。由于正態(tài)分布是對稱的,因而標準正態(tài)分布表只給出了標準值的絕對值.只要數(shù)值相同,無論是正值還是負值,所表示的面積大小都是相同的.當標準值為正數(shù)時,所對應的面積在均值的右邊;當標準值為負數(shù)時,所對應的面積在均值的左邊.又由于整個正態(tài)曲線包含的面積為1個單位,所以均均值右邊的總面積與均值左邊的總面積都等于0.5.33四、標準正態(tài)分布表的使用344.1標準正態(tài)分布表的介紹見教材P369——附錄B(不對)盧淑華書P485,附錄4標準正態(tài)分布表.doc354.2標準正態(tài)分布的計算【例5】已知ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），求P（ξ

≤1.3)=?解：因為ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），可直接查附表B，根據(jù)z=1.3，有P（ξ≤1.3)=

1.3=0.9032Xi:大寫Ξ，小寫ξ讀作：克西

36【例6】:已知ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），求P（ξ≥1.3)=?解：因為

∞＝1，而

∞＝P（ξ＜1.3)＋P（ξ≥1.3)＝1因此有P（ξ≥1.3)＝1－P（ξ＜1.3)＝1－

1.3＝0.096837【例7】已知ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），求P（ξ≤－1.3)=?解：附表四中沒有給出Z≤0的

Z

值。根據(jù)標準正態(tài)分布圖形是以Z＝0為對稱的原理，P（ξ≤－1.3)=1－

1.3＝0.096838【例8】已知ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），求P（1.3≤ξ≤2.3）＝？解：P（1.3≤ξ≤2.3）＝

2.3－

1.3

=0.9893－0.9032=0.086139【例9】根據(jù)統(tǒng)計，北京市初婚年齡服從正態(tài)分布。其均值為25歲，標準差為5歲，問25歲到30歲之間結婚的人，其百分比為多少？解：1.年齡換為標準分：Z1＝，Z2＝2.查表得

Z1＝0.50,

Z2＝0.8413

Z2-

Z1=0.3413,所以25歲到30歲之間結婚的人，百分數(shù)為34.13%.404.3標準正態(tài)分布表的使用1.通過標準分公式，將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布；2.計算概率時，查標準正態(tài)分布表；3.對于負的x，可由

(-x)

x

得到；4.對于標準正態(tài)分布，即X~N(0,1)，有P(aXb)

b

a

P(|X|a)2

a141常用的標準值Z≥1.65,概率P為0.05;Z≥1.96,概率P為0.025;Z≥2.58,概率P為0.005;42五、大數(shù)定理和中心極限定理435.1極限定理

簡單講，凡是采用極限的方法（例如，觀察次數(shù)n趨于無限）所得出的一系列定理統(tǒng)稱極限定理。極限定理分為兩類：大數(shù)定理（Lawoflargenumbers）中心極限定理(Centrallimittheorem)

445.2大數(shù)定理【例子】從撲克牌盒中取出一張牌，出現(xiàn)牌“K”的概率是1/13，在取的次數(shù)比較少時，出現(xiàn)“K”的頻率可能與1/13相差得很大，但是在取的次數(shù)很多時，出現(xiàn)“K”的頻率接近1/13幾乎是必然的。455.2大數(shù)定理

這些例子說明，在大量隨機現(xiàn)象中，不僅看到了隨機事件頻率的穩(wěn)定性，而且還看到平均結果的穩(wěn)定性。這就是概率論中大數(shù)定理的概念。闡明大量隨機現(xiàn)象平均結果的穩(wěn)定性的一系列定理。著名的大數(shù)定理：貝努里大數(shù)定理和切貝謝夫大數(shù)定理

465.2.1貝努里大數(shù)定理

多次重復試驗，隨機事件的頻率日趨穩(wěn)定，具有接近概率的趨勢。

475.2.2切貝謝夫大數(shù)定理

多次重復試驗，隨機變量的平均值接近數(shù)學期望（即總體均值）。

485.3中心極限定理

任何變量，不管其原有分布如何，如果把它們n個加在一起，只要n足夠大，其和的分布必然接近正態(tài)分布，均值的分布也接近正態(tài)分布。

49

為什么社會經(jīng)濟生活、自然界存在許多隨機變量的分布都服從正態(tài)分布？請結合中心極限定理來解釋。50如果一個現(xiàn)實的量是由大量獨立偶然的因素的影響疊加而得，且其中每一個偶然因素的影響又是均勻地微小的話，可以斷定這個量將近似地服從正態(tài)分布。這就解釋了為什么在自然、社會、經(jīng)濟領域里大量存在服從正態(tài)分布的隨機變量。例如，身高、體重、智商、婚齡等等，因為影響它們的因素都是大量的。

六.運用SPSS檢驗正態(tài)分布1.直方圖2.P-P圖練習題1.一個正態(tài)分布N(120,302)中,有300個變量值在130至150之間,求有多少變量值在130至145之間.2.已知一個正態(tài)分布的標準差為6.0,隨機抽取一個變量超過45.0的概率是0.02,求:(1)該分布的均值;(2)某一變量值,使95%的變量值都比它大.3.對某大學的學生進行調(diào)查發(fā)現(xiàn),平均缺課天數(shù)為3.5,標準差為1.2.領導假設該大學的缺課情況服從正態(tài)分布,求:(1)一名學生缺課3.5天到5天的概率;(2)一名學生缺課5天