(5.1.15)-第五講 正態(tài)分布社會調(diào)查研究方法

1第五講：正態(tài)分布2學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握正態(tài)分布的特性；正態(tài)分布曲線下面積的含義；標(biāo)準(zhǔn)分的計算和應(yīng)用；利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計算概率。理解大數(shù)定理和中心極限定理3一、什么是正態(tài)分布？4從“分布”說起5☆直方圖——用長條的面積來表示頻次或相對頻次；☆折線圖——用直線連接直方圖中條形頂端的中點；當(dāng)組距逐漸減小時，折線將逐漸平滑為曲線。6峰點（Peak)研究單峰多峰7幾種常見的頻數(shù)分布曲線對稱分布右偏分布左偏分布正J型分布反J型分布U型分布8一、正態(tài)分布曲線

xφ(x)91.1什么是正態(tài)分布？1、由德國數(shù)學(xué)家高斯提出，也叫高斯分布；2、自然界、社會經(jīng)濟生活中大量存在的分布規(guī)律,如人們的身高、體重、智商等都比較接近正態(tài)分布；3、經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)；4、在所有的分布中，正態(tài)分布居于首要位置，由正態(tài)分布出發(fā)，可以導(dǎo)出一系列重要的抽樣分布，如T分布、X2分布、F分布等；xf(x)101.2正態(tài)分布的基本特征特征一：一個高峰特征二：一條對稱軸特征三：一條漸近線xf(x)M0＝Md=μ

眾值=中位值＝均值111.3正態(tài)分布的數(shù)學(xué)表達式φ(x)=隨機變量X的頻次（概率密度）＝總體標(biāo)準(zhǔn)差；

=總體方差;

=總體均值（圓周率）=3.14159;e（自然對數(shù)的底）=2.71828x=隨機變量的取值(-

<x<

)通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得X的數(shù)學(xué)期望E（X）=u，方差D（X）=

121.4兩個參數(shù)的影響（μ，σ）位置參數(shù)均值μ標(biāo)準(zhǔn)差σ

形狀參數(shù)131.4.1μ對正態(tài)曲線的影響μ1

μ2

μ3μ1

＜μ2＜

μ3141.4.2

對正態(tài)曲線的影響xφ(x)CAB曲線A和B的比較16正態(tài)曲線的位置由均值μ決定；正態(tài)曲線的形狀“高，矮，胖，瘦”的特點由標(biāo)準(zhǔn)差σ決定；

當(dāng)σ較小時，曲線“高”且“瘦”；當(dāng)σ較大時，曲線“矮”且“胖”。因此,當(dāng)隨機變量x服從正態(tài)分布,習(xí)慣上又記作:X-N(u,σ).由公式,可推出正態(tài)分布具有如下特性:(1)正態(tài)曲線是單峰\對稱的,即它的眾數(shù)\中位數(shù)和均值是相等的,換言之,圖形中均值u同時也是眾數(shù)和中位數(shù);(2)X與均值的差異(|x-u|)越大,對應(yīng)的f(x)就越小,但不會等于零,即曲線兩端呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢,但不會完全接觸底線(橫軸);(3)u決定圖形式的位置,σ決定圖形陡峭平緩(或高聳扁平)程度.在σ一定的情況下,若u增大,圖形右移,若u減小,圖形左移,但整個圖形形狀不變.在u不變的情況下,σ越小,對應(yīng)的圖形越陡峭;σ越大,對應(yīng)的圖形越平緩.18二、正態(tài)曲線下的面積192.1正態(tài)曲線下面積的涵義隨機變量的頻次總和；位于正態(tài)曲線和橫軸之間的總面積可以表示一個單位的整體,即包含了總體中的全部(100%)的個案.正態(tài)曲線下包含的每一塊面積,可以表示對應(yīng)的個案數(shù)占總數(shù)的比例的大小.一般把正態(tài)曲線下的總面積約等于1，這時一定區(qū)間內(nèi)的頻次分布表現(xiàn)為概率分布。對于正態(tài)分布曲線下的任一面積,如a<x<b所對應(yīng)的面積為:212.2正態(tài)曲線的一個重要性質(zhì)

無論正態(tài)曲線具有哪種均值和標(biāo)準(zhǔn)差，在均值和橫坐標(biāo)某一點的距離內(nèi)（用標(biāo)準(zhǔn)差來表示）曲線下的面積是常數(shù)。

下圖說明此意。22正態(tài)曲線下的面積（圖）

-2

+2

2.3%2.3%

-

+

95.44%68.26%232.3幾個典型取值區(qū)間的概率值P(

-≤ξ≤

+)=0.6826;P(

-2≤ξ≤

+2)=0.9544;P(

-3≤ξ≤

+3)=0.9974;24三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布253.1什么是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布——以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的正態(tài)分布一般稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standardizednormaldistribution)263.2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性

——簡化統(tǒng)計分析▲一般的正態(tài)分布取決于均值

和標(biāo)準(zhǔn)差；

▲計算概率時，每一個正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的;▲若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計算概率時只需要查一張表.273.3標(biāo)準(zhǔn)分（Standardscores)公式:Z值代表每個X值在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的數(shù)值。283.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的表達式正態(tài)分布的表達式為：N（，

）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的表達式為：N（0，1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一般正態(tài)分布的特例，即＝0，

＝1的正態(tài)分布。293.5標(biāo)準(zhǔn)分的實際意義各總體之間可以通過標(biāo)準(zhǔn)分進行合理的比較不同總體間綜合指標(biāo)的比較如:甲城市居民月收入的均值為3000元，標(biāo)準(zhǔn)差為500元；乙城市居民月收入的均值為4500元，標(biāo)準(zhǔn)差為1000元。若甲城市的居民A的月收入為4000元，乙城市居民B的月收入為5500元?？雌饋鞡的收入比A的高，但與本地其他居民相比較，結(jié)果可能有所不同。這時候就需要把A與B的收入都轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)值，進行更加直觀的比較。結(jié)果是？303.6標(biāo)準(zhǔn)分的應(yīng)用例題:李明參加了全校新生入學(xué)摸底考試，數(shù)學(xué)得了90分，英語得了75分。假定全校新生數(shù)學(xué)成績的均值

=85分，標(biāo)準(zhǔn)差=10分；全校新生英語成績的均值=60分，標(biāo)準(zhǔn)差=5。這次考試?yán)蠲髂拈T科目考試考得好一些？313.7標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的面積P(-1≤Z≤

1)=0.6826;P(-2≤Z≤

2)=0.9544;P(-3≤Z≤

3)=0.9974;由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的圖形是唯一的，因此使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布無須自己計算，只需要學(xué)會查表就行了。由于正態(tài)分布是對稱的,因而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表只給出了標(biāo)準(zhǔn)值的絕對值.只要數(shù)值相同,無論是正值還是負值,所表示的面積大小都是相同的.當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)值為正數(shù)時,所對應(yīng)的面積在均值的右邊;當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)值為負數(shù)時,所對應(yīng)的面積在均值的左邊.又由于整個正態(tài)曲線包含的面積為1個單位,所以均均值右邊的總面積與均值左邊的總面積都等于0.5.33四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用344.1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的介紹見教材P369——附錄B(不對)盧淑華書P485,附錄4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表.doc354.2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計算【例5】已知ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求P（ξ

≤1.3)=?解：因為ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），可直接查附表B，根據(jù)z=1.3，有P（ξ≤1.3)=

1.3=0.9032Xi:大寫Ξ，小寫ξ讀作：克西

36【例6】:已知ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求P（ξ≥1.3)=?解：因為

∞＝1，而

∞＝P（ξ＜1.3)＋P（ξ≥1.3)＝1因此有P（ξ≥1.3)＝1－P（ξ＜1.3)＝1－

1.3＝0.096837【例7】已知ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求P（ξ≤－1.3)=?解：附表四中沒有給出Z≤0的

Z

值。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖形是以Z＝0為對稱的原理，P（ξ≤－1.3)=1－

1.3＝0.096838【例8】已知ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求P（1.3≤ξ≤2.3）＝？解：P（1.3≤ξ≤2.3）＝

2.3－

1.3

=0.9893－0.9032=0.086139【例9】根據(jù)統(tǒng)計，北京市初婚年齡服從正態(tài)分布。其均值為25歲，標(biāo)準(zhǔn)差為5歲，問25歲到30歲之間結(jié)婚的人，其百分比為多少？解：1.年齡換為標(biāo)準(zhǔn)分：Z1＝，Z2＝2.查表得

Z1＝0.50,

Z2＝0.8413

Z2-

Z1=0.3413,所以25歲到30歲之間結(jié)婚的人，百分數(shù)為34.13%.404.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用1.通過標(biāo)準(zhǔn)分公式，將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；2.計算概率時，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表；3.對于負的x，可由

(-x)

x

得到；4.對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X~N(0,1)，有P(aXb)

b

a

P(|X|a)2

a141常用的標(biāo)準(zhǔn)值Z≥1.65,概率P為0.05;Z≥1.96,概率P為0.025;Z≥2.58,概率P為0.005;42五、大數(shù)定理和中心極限定理435.1極限定理

簡單講，凡是采用極限的方法（例如，觀察次數(shù)n趨于無限）所得出的一系列定理統(tǒng)稱極限定理。極限定理分為兩類：大數(shù)定理（Lawoflargenumbers）中心極限定理(Centrallimittheorem)

445.2大數(shù)定理【例子】從撲克牌盒中取出一張牌，出現(xiàn)牌“K”的概率是1/13，在取的次數(shù)比較少時，出現(xiàn)“K”的頻率可能與1/13相差得很大，但是在取的次數(shù)很多時，出現(xiàn)“K”的頻率接近1/13幾乎是必然的。455.2大數(shù)定理

這些例子說明，在大量隨機現(xiàn)象中，不僅看到了隨機事件頻率的穩(wěn)定性，而且還看到平均結(jié)果的穩(wěn)定性。這就是概率論中大數(shù)定理的概念。闡明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理。著名的大數(shù)定理：貝努里大數(shù)定理和切貝謝夫大數(shù)定理

465.2.1貝努里大數(shù)定理

多次重復(fù)試驗，隨機事件的頻率日趨穩(wěn)定，具有接近概率的趨勢。

475.2.2切貝謝夫大數(shù)定理

多次重復(fù)試驗，隨機變量的平均值接近數(shù)學(xué)期望（即總體均值）。

485.3中心極限定理

任何變量，不管其原有分布如何，如果把它們n個加在一起，只要n足夠大，其和的分布必然接近正態(tài)分布，均值的分布也接近正態(tài)分布。

49

為什么社會經(jīng)濟生活、自然界存在許多隨機變量的分布都服從正態(tài)分布？請結(jié)合中心極限定理來解釋。50如果一個現(xiàn)實的量是由大量獨立偶然的因素的影響疊加而得，且其中每一個偶然因素的影響又是均勻地微小的話，可以斷定這個量將近似地服從正態(tài)分布。這就解釋了為什么在自然、社會、經(jīng)濟領(lǐng)域里大量存在服從正態(tài)分布的隨機變量。例如，身高、體重、智商、婚齡等等，因為影響它們的因素都是大量的。

六.運用SPSS檢驗正態(tài)分布1.直方圖2.P-P圖練習(xí)題1.一個正態(tài)分布N(120,302)中,有300個變量值在130至150之間,求有多少變量值在130至145之間.2.已知一個正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為6.0,隨機抽取一個變量超過45.0的概率是0.02,求:(1)該分布的均值;(2)某一變量值,使95%的變量值都比它大.3.對某大學(xué)的學(xué)生進行調(diào)查發(fā)現(xiàn),平均缺課天數(shù)為3.5,標(biāo)準(zhǔn)差為1.2.領(lǐng)導(dǎo)假設(shè)該大學(xué)的缺課情況服從正態(tài)分布,求:(1)一名學(xué)生缺課3.5天到5天的概率;(2)一名學(xué)生缺課5天