內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧區(qū)第二中學2022-2023學年高三上學期期中考試數(shù)學試卷

2022-2023學年內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧二中高三（上）期中數(shù)學試卷一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）1．（5分）復數(shù)z（2+i）＝1﹣i，則在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）曲線C：y＝在點P（1，0）處的切線方程為（）A．y＝x﹣1 B．y＝2x﹣2 C．y＝ex﹣e D．y＝﹣x+13．（5分）已知角α的終邊過點P（﹣1，），則＝（）A． B． C． D．4．（5分）已知，則的值是（）A． B． C． D．5．（5分）已知，且，則cosα﹣sinα的值為（）A． B． C． D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA＝2sinC，cosB＝（）A．1 B．2 C． D．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x2+alnx的圖象在（1，f（1））處的切線經(jīng)過坐標原點，則函數(shù)y＝f（x）（）A． B．+ln2 C． D．18．（5分）已知cosα＝，sin（β﹣α）＝﹣，α，則sin2β＝（）A． B． C． D．19．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為AB、AD上的點，且＝，＝，若＝λ，則λ的值為（）A． B． C． D．10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Acos（2x+φ）（φ＞0）的圖象向右平移，得到的圖象關于y軸對稱，f（0）＝1．當?取得最小值時（x）的解析式為（）A．f（x）＝cos（2x+） B．f（x）＝cos（2x+） C．f（x）＝cos（2x﹣） D．f（x）＝cos（2x﹣）11．（5分）把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x），若g（x1）＝g（x2）﹣6，x1，x2∈[﹣π，π]，則x1﹣x2的最大值為（）A． B．π C． D．2π12．（5分）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．則ω的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．（5分）已知，α為第二象限角，則cos2α＝．14．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為．15．（5分）已知兩個單位向量，，且||＝1|＝．16．（5分）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，，1，，與的夾角為α，且tanα＝7，與＝m+n（m，n∈R）．三、解答題（本大題共6小題，共70分。17題10分，18-22題12分）17．（10分）已知角α的終邊在直線上．（1）求的值；（2）求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．18．（12分）設向量，，記f（x）＝．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在上的值域．19．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．（1）求角B；（2）若a+c＝4，求△ABC周長的最小值，并求出此時△ABC的面積．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)y＝f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A滿足△ABC的值21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）問方程在區(qū)間上有幾個不同的實數(shù)根？并求這些實數(shù)根之和．22．（12分）設函數(shù)，（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）如果a＞0且關于x的方程f（x）＝m有兩個解x1，x2（x1＜x2），證明：x1+x2＞2a．

2022-2023學年內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧二中高三（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）1．（5分）復數(shù)z（2+i）＝1﹣i，則在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)已知條件，先對z化簡，再結合共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：∵z（2+i）＝1﹣i，∴＝，∴＝，∴在復平面內(nèi)對應的點（，．故選：A．【點評】本題主要考查共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．2．（5分）曲線C：y＝在點P（1，0）處的切線方程為（）A．y＝x﹣1 B．y＝2x﹣2 C．y＝ex﹣e D．y＝﹣x+1【分析】求出曲線的導函數(shù)，把x＝1代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)（1，0）和斜率寫出切線的方程即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝，∴y′＝，∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝4＝＝1，根據(jù)點斜式，可得切線方程為y＝x﹣1．故選：A．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了導數(shù)的幾何意義以及點斜式求直線方程，同時考查了計算能力，解題時要注意正確求導．屬于基礎題．3．（5分）已知角α的終邊過點P（﹣1，），則＝（）A． B． C． D．【分析】由已知求得cosα的值，再由誘導公式得答案．【解答】解：∵角α的終邊過點P（﹣1，），∴|OP|＝，則cosα＝﹣，∴＝﹣cosα＝．故選：C．【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查誘導公式的應用，是基礎題．4．（5分）已知，則的值是（）A． B． C． D．【分析】利用誘導公式及二倍角角的余弦可得答案．【解答】解：∵α++（，∴sin（α+）＝cos（，∴＝cos（2（﹣α）﹣1＝2×，故選：B．【點評】本題考查誘導公式及二倍角角的余弦的應用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運算求解能力，屬于中檔題．5．（5分）已知，且，則cosα﹣sinα的值為（）A． B． C． D．【分析】利用平方法求出cosαsinα的值，根據(jù)判斷cosα﹣sinα的值的正負．在利用平方后開方可得答案．【解答】解：，即（cosα+sinα）2＝1+2cosαsinα＝，∴cosαsinα＝．∵，∴cosα﹣sinα＝M＞0．則（cosα﹣sinα）4＝M2，∴1﹣6cosαsinα＝M2可得：M2＝，∵M＞0，∴M＝，即cosα﹣sinα＝．故選：B．【點評】本題考查了正余弦函數(shù)在象限的判斷和同角三角函數(shù)關系式的計算．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA＝2sinC，cosB＝（）A．1 B．2 C． D．【分析】由已知利用正弦定理可得a＝2c＝4，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解．【解答】解：∵c＝2，∴sinA＝2sinC，由正弦定理可得a＝8c＝4，∵cosB＝，∴sinB＝＝，∴△ABC的面積S＝acsinB＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x2+alnx的圖象在（1，f（1））處的切線經(jīng)過坐標原點，則函數(shù)y＝f（x）（）A． B．+ln2 C． D．1【分析】求出函數(shù)在（1，f（1））處的切線方程，代入原點坐標求解a，得到函數(shù)解析式，再由導數(shù)分析單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值．【解答】解：由f（x）＝x2+alnx，得f′（x）＝2x+，∴f′（1）＝3+a，又f（1）＝1，∴函數(shù)f（x）＝x2+alnx的圖象在（6，f（1））處的切線方程為y﹣1＝（2+a）（x﹣6），把O（0，0）代入，即a＝﹣6．∴f（x）＝x2﹣lnx，得f′（x）＝2x﹣＝，當x∈（0，）時，當x∈（，f′（x）＞7，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，+∞）上單調(diào)遞增，則＝．故選：C．【點評】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用導數(shù)求最值，考查運算求解能力，是中檔題．8．（5分）已知cosα＝，sin（β﹣α）＝﹣，α，則sin2β＝（）A． B． C． D．1【分析】因為α，β均為銳角，所以β﹣α∈，所以，，由sinβ＝sin[α+（β﹣α）]＝sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）求出sinβ，再求出cosβ，代入即可．【解答】解：因為α，β均為銳角，所以，，由sinβ＝sin[α+（β﹣α）]＝sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）＝＝，所以，，所以sin2β＝2sinβcosβ＝7，故選：D．【點評】考查同角三角函數(shù)的基本關系式，兩角和與差的公式的應用，中檔題．9．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為AB、AD上的點，且＝，＝，若＝λ，則λ的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的加減的幾何意義和三點共線即可求出答案．【解答】解：∵＝，＝，∴＝λ+）＝λ（+λ+λ，∵三點M，N，P共線．∴λ+，∴λ＝，故選：C．【點評】本題考查了平面向量的線性運算，及三點共線的充要條件，屬于中檔題．10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Acos（2x+φ）（φ＞0）的圖象向右平移，得到的圖象關于y軸對稱，f（0）＝1．當?取得最小值時（x）的解析式為（）A．f（x）＝cos（2x+） B．f（x）＝cos（2x+） C．f（x）＝cos（2x﹣） D．f（x）＝cos（2x﹣）【分析】首先利用三角函數(shù)的平移變換的應用確定φ的值，進一步利用f（0）＝1，求出A的值，進一步求出函數(shù)的解析式．【解答】解：函數(shù)f（x）＝Acos（2x+φ）（φ＞0）的圖象向右平移個單位長度后）+φ]，由于到的圖象關于y軸對稱，所以﹣，且φ＞0，由于f（0）＝5．所以．所以f（x）＝．故選：A．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，函數(shù)的圖象的平移變換的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題型．11．（5分）把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x），若g（x1）＝g（x2）﹣6，x1，x2∈[﹣π，π]，則x1﹣x2的最大值為（）A． B．π C． D．2π【分析】先根據(jù)圖像的平移變換、伸縮變換的規(guī)律求出g（x）的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的最值點的橫坐標，根據(jù)給的范圍求出結果．【解答】解：將f（x）的圖象向右平移個單位）+），再把橫坐標縮短到原來的倍，得到g（x）＝3sin（2?6x﹣），由題意，要使g（x3）＝g（x2）﹣6，x7，x2∈[﹣π，π]，只需g（x1）＝g（x）min，g（x5）＝g（x）max，故，……①，，……②，由①式，當k＝2時，x1的最大值為；由②式，x6的最小值為，故x8﹣x2的最大值為＝．故選：C．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖像變換以及性質(zhì)，屬于中檔題．12．（5分）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．則ω的最大值為（）A． B． C． D．【分析】直接利用余弦型函數(shù)性質(zhì)的應用求出結果．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的誘導公式，，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，利用函數(shù)的單調(diào)性，遞減區(qū)間滿足，整理得（k∈Z），故，解得，當k＝2時，，故選：C．【點評】本題考查的知識要點：余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．（5分）已知，α為第二象限角，則cos2α＝．【分析】利用誘導公式與二倍角公式求解即可．【解答】解：因為，所以，即，所以＝，解得sin2α＝，又因為α是第二象限角，所以，所以．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數(shù)求值應用問題，是基礎題．14．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為．【分析】代入三角形面積公式，代入余弦定理即可．【解答】解：因為△ABC的面積為，所以＝，所以sinC＝cosC，即tanC＝1，得．故答案為：．【點評】本題考查余弦定理，考查同角函數(shù)關系，屬于基礎題．15．（5分）已知兩個單位向量，，且||＝1|＝．【分析】根據(jù)為單位向量，對兩邊平方即可求出，從而可求出，進而可求出．【解答】解：∵，且；∴＝；∴；∴＝1+8+1＝3；∴．故答案為：．【點評】考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運算，以及向量長度的求法．16．（5分）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，，1，，與的夾角為α，且tanα＝7，與＝m+n（m，n∈R）3．【分析】如圖所示，建立直角坐標系．A（1，0）．由與的夾角為α，且tanα＝7．可得cosα，sinα．可得cos（α+45°），sin（α+45°）．利用＝m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系，0）．＝（1，4）．由與的夾角為α．∴cosα＝，sinα＝．∴C．cos（α+45°）＝（cosα﹣sinα）＝．sin（α+45°）＝（sinα+cosα）＝．∴B．∴＝．∵＝m（m，∴＝m﹣n，n，解得n＝，m＝．則m+n＝2．故答案為：3．【點評】本題考查了向量坐標運算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共70分。17題10分，18-22題12分）17．（10分）已知角α的終邊在直線上．（1）求的值；（2）求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義可求tanα的值．（1）利用同角三角函數(shù)基本關系式化簡即可求解；（2）利用同角三角函數(shù)基本關系式化簡即可求解．【解答】解：因為角α的終邊在直線上，所以tanα＝，（1）＝＝＝﹣；（2）sin6α﹣sinαcosα﹣2cos2α＝＝＝＝﹣1．【點評】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)基本關系式在三角函數(shù)求值中的應用，屬于基礎題．18．（12分）設向量，，記f（x）＝．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在上的值域．【分析】（1）進行向量坐標的數(shù)量積的運算，并根據(jù)二倍角的正余弦公式，以及兩角和的正弦公式可得出，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)x∈即可得出的范圍，從而可求出f（x）的最大值和最小值，進而得出f（x）的值域．【解答】解：（1）＝＝＝，解，（k∈Z），得，，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z；（2）∵，∴，∴時，f（x）取最小值；時，∴f（x）在上的值域為．【點評】本題考查了向量坐標的數(shù)量積的運算，二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了計算能力，屬于基礎題．19．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．（1）求角B；（2）若a+c＝4，求△ABC周長的最小值，并求出此時△ABC的面積．【分析】（1）由題意，對進行變形，再利用正弦定理即可求得B，（2）利用余弦定理，再結合均值不等式求三角形的面積即可．【解答】解：（1）因為，由正弦定理可得：，因為A為三角形內(nèi)角，所以sinA≠0，所以，可得：，即，因為B∈（0，π），可得．（2）因為b5＝a2+c2﹣5accosB＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣3ac，即3ac＝16﹣b2，所以，解得b≥2，取等號，所以bmin＝5，△ABC周長的最小值為6，△ABC的面積．【點評】本題考查解三角形，考查學生的運算能力，屬于中檔題．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)y＝f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A滿足△ABC的值【分析】（1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）＝sin（x+），再根據(jù)x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．（2）由已知可得sin（A+）＝1，結合A的范圍可求A的值，進而根據(jù)余弦定理可求b的值，利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）＝sinx+sin（x+）＝sinx+cosx＝（cosx）＝），∴令2kπ﹣≤x+，可得2kπ﹣，k∈Z，又∵x∈[7，]，∴可得k＝7，1時，]和[，]．（2）∵f（A）＝，可得：sin（A+，又∵A∈（2，π）∈（，）＝，∴可得A＝，∵由余弦定理a2＝b8+c2﹣2bccosA，可得25＝b8+c2﹣bc＝（b+c）2﹣6bc＝49﹣3bc，∴可得b＝8，∴S△ABC＝bcsinA＝．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）問方程在區(qū)間上有幾個不同的實數(shù)根？并求這些實數(shù)根之和．【分析】（Ⅰ）根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式可得f（x）＝﹣2sin（2x﹣），即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)對稱軸即可求出．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝cos2x﹣sin5x＝﹣2sin（2x﹣），∴T＝＝π，當5x﹣＝2kπ﹣，即x＝kπ﹣，函數(shù)f（x）取得最大值2．（Ⅱ）3x﹣＝kπ﹣，可得函數(shù)f（x）的對稱軸為x＝﹣，函數(shù)f（x）的圖象如下，∵函數(shù)f（x）＝在區(qū)間[﹣，，且這些實數(shù)根關于x＝對稱【點評】本題考查了三角恒等變換的應用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題．22．（12分）設函數(shù)，（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）如果a＞0且關于x的方程f（x）＝m有兩個解x1，x2（x1＜x2），證明：x1+x2＞2a．【分析】（1）先求導，再分類討論，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出，（2