【數(shù)學(xué)】2023-2024學(xué)年高二上人教A版（2019）選擇性必修一圓與圓的位置關(guān)系

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系第二章

直線和圓的方程人教A版2019選修第一冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系及判定方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；3.能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。01情景導(dǎo)入PARTONE情景導(dǎo)入

日食是一種天文現(xiàn)象，在民間稱此現(xiàn)象為天狗食日。日食只在月球與太陽(yáng)呈現(xiàn)合的狀態(tài)時(shí)發(fā)生。日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食。我們將月亮與太陽(yáng)抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過(guò)程中位置關(guān)系是怎樣的?

前面我們運(yùn)用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程，通過(guò)定量計(jì)算研究圓與圓的位置關(guān)系。02圓與圓的位置關(guān)系PARTONE圓與圓的位置關(guān)系思考：類比直線與圓的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們思考：圓與圓有哪幾種位置關(guān)系？提示：三種關(guān)系：

（1）兩圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)

（2）兩圓相切，包括外切與內(nèi)切，只有一個(gè)公共點(diǎn)

（3）兩圓相離，包括外離與內(nèi)含，沒(méi)有公共點(diǎn)圓與圓的位置關(guān)系探究1：如何利用兩圓的半徑和圓心距的關(guān)系判定圓與圓的位置關(guān)系？（幾何法）d>r1＋r2

外離d<

|r1－r2|內(nèi)含相交外切內(nèi)切d=r1＋r2

|r1－r2|<d<r1＋r2

d=|r1－r2|圓與圓的位置關(guān)系探究2：如何利用代數(shù)法判斷兩圓的位置關(guān)系呢？提示：

代數(shù)法：通過(guò)兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．一元二次方程圓C1方程圓C2方程消元Δ<0?

.Δ>0?

,Δ＝0?

,相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含圓與圓的位置關(guān)系

(1)-(2)，得

⑶圓與圓的位置關(guān)系解法二：把圓C1和圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：

圓與圓的位置關(guān)系練習(xí).判斷下列兩圓的位置關(guān)系:①(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16.②x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0.解:①根據(jù)題意得,兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距因?yàn)閐=r1+r2,所以兩圓外切.②將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6.兩圓的圓心距圓與圓的位置關(guān)系例2已知圓C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).試求a為何值時(shí),兩圓C1,C2的位置關(guān)系為:(1)相切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)含?解:圓C1,C2的方程,經(jīng)配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圓心C1(a,1),C2(2a,1),半徑r1=4,r2=1.(1)當(dāng)|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時(shí),兩圓外切;當(dāng)|C1C2|=r1-r2=3,即a=3時(shí),兩圓內(nèi)切.(2)當(dāng)3<|C1C2|<5,即3<a<5時(shí),兩圓相交.(3)當(dāng)|C1C2|>5,即a>5時(shí),兩圓外離.(4)當(dāng)|C1C2|<3,即0<a<3時(shí),兩圓內(nèi)含.圓與圓的位置關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法:利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較,得到兩圓的位置關(guān)系;(2)代數(shù)法:把兩圓位置關(guān)系的判定完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為方程組的解的組數(shù)問(wèn)題.方法總結(jié)03相交弦與公切線PARTONE相交弦思考：如何求直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)和弦長(zhǎng)？相交弦相交弦相交弦4x＋3y－2＝010相交弦例求圓心在直線x－y－4＝0上且經(jīng)過(guò)兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程．思路分析可聯(lián)立兩圓方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的圓心和半徑；也可利用過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程，根據(jù)已知條件求出待定系數(shù)．相交弦相交弦相交弦公切線例

(1)兩個(gè)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有(

)A．1條B．2條

C．3條 D．4條B兩個(gè)圓為外切位置關(guān)系，所以公切線有兩條公切線公切線公切線兩圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．(1)兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；(2)兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；(3)兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；(4)兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；(5)兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線．歸納總結(jié)公切線思路