2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　第二章 3-2　第1課時(shí)　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(一) 學(xué)案

3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第1課時(shí)拋物線的簡單幾何性質(zhì)(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握拋物線的幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題．導(dǎo)語在上一節(jié)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，類比橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)的導(dǎo)學(xué)過程，這一節(jié)我們利用方程研究拋物線的幾何性質(zhì)．一、拋物線的簡單幾何性質(zhì)問題類比用方程研究橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的過程與方法，你認(rèn)為應(yīng)研究拋物線y2＝2px(p>0)的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？提示范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率．知識(shí)梳理圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e＝1注意點(diǎn)：(1)只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑，通徑長為2p.例1拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程．解橢圓的方程可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，其短軸在x軸上，∴拋物線的對(duì)稱軸為x軸，∴設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．∵拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，即eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x或y2＝－12x，其準(zhǔn)線方程分別為x＝－3和x＝3.反思感悟把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)一次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)．(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸．(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A，B的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x答案C解析設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取點(diǎn)A在x軸上方)，則有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以拋物線方程為y2＝±eq\f(\r(3),6)x.二、拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)已知正三角形AOB的一個(gè)頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個(gè)三角形的邊長．解如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，即xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因?yàn)閤1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝eq\f(\r(3),3)x1，與yeq\o\al(2,1)＝2px1聯(lián)立，解得y1＝2eq\r(3)p.所以|AB|＝2y1＝4eq\r(3)p，即這個(gè)三角形的邊長為4eq\r(3)p.(2)已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，求直線AB的方程．解如圖，設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)，由題意可知點(diǎn)B(x0，－y0)，∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即eq\f(y0,x0－\f(p,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0)))＝－1.∴yeq\o\al(2,0)＝x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))，又∵yeq\o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝2p＋eq\f(p,2)＝eq\f(5p,2).∴直線AB的方程為x＝eq\f(5p,2).反思感悟利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對(duì)稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題．(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題．(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題．(4)焦點(diǎn)弦：解決焦點(diǎn)弦問題．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5，若y軸上存在點(diǎn)A(0,2)，使得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，則p的值可以為()A．2B．4C．6D．8答案AD解析由題意可得，以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由拋物線定義知|MF|＝x＋eq\f(p,2)＝5，可得x＝5－eq\f(p,2).因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心的橫坐標(biāo)為eq\f(5－\f(p,2)＋\f(p,2),2)＝eq\f(5,2)，由已知可得圓的半徑也為eq\f(5,2)，據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)A(0,2)，故圓心縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，即點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4))，代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.(2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，且∠AFO＝120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是________．答案4eq\r(3)解析由拋物線方程可知F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.如圖，由于拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(x0，y0)，y0>0，過A作AH⊥x軸于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝eq\r(3)(x0－1)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，eq\r(3)(x0－1))，將此代入拋物線方程可得3xeq\o\al(2,0)－10x0＋3＝0，解得x0＝3或x0＝eq\f(1,3)(舍)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2eq\r(3))，故S△AKF＝eq\f(1,2)×(3＋1)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).1．知識(shí)清單：(1)拋物線的幾何性質(zhì)．(2)拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．2．方法歸納：待定系數(shù)法．3．常見誤區(qū)：求拋物線方程時(shí)焦點(diǎn)的位置易判斷失誤．1．對(duì)拋物線y＝4x2，下列描述正確的是()A．開口向上，焦點(diǎn)為(0,1)B．開口向上，焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C．開口向右，焦點(diǎn)為(1,0)D．開口向右，焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))答案B解析由拋物線y＝4x2，得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,4)y,2p＝eq\f(1,4)，eq\f(p,2)＝eq\f(1,16)，故焦點(diǎn)在y軸上，開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).2．(多選)以y軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y答案CD解析設(shè)拋物線方程為x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，由題意得2p＝8.∴拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y.3．若拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))答案B解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)為O，P(x0，y0)，由條件及拋物線的定義知，|PF|＝|PO|，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以x0＝eq\f(1,8)，所以yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,8)，所以y0＝±eq\f(\r(2),4).4．已知拋物線y2＝2px(p>0)，直線x＝m與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y1＋y2＝________.答案0解析因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱，x＝m與x軸垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.1．若拋物線y2＝2x上有兩點(diǎn)A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案A解析由題意知，線段AB所在的直線方程為x＝1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則焦點(diǎn)到直線AB的距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).2．以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過圓x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圓心的拋物線的方程是()A．x2＝eq\f(1,3)y或x2＝－eq\f(1,3)yB．x2＝eq\f(1,3)yC．y2＝－9x或x2＝eq\f(1,3)yD．y2＝9x或x2＝－eq\f(1,3)y答案D解析圓的方程可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圓心為(1，－3)，由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，所以p＝eq\f(9,2)或p＝eq\f(1,6)，所以y2＝9x或x2＝－eq\f(1,3)y.3．若雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，則p的值為()A．2B．3C．4D．4eq\r(2)答案C解析雙曲線的方程可化為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,\f(p2,16))＝1，∴雙曲線的左焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3＋\f(p2,16))，0)).又∵拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，由題意得－eq\r(3＋\f(p2,16))＝－eq\f(p,2)，解得p＝4.4．若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2eq\r(3)，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為()A．4B．5C．6D．7答案A解析由題意，知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，∵拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2eq\r(3)，則P(3，±2eq\r(3))，∴點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3＋1＝4，∴點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2－4x－5＝0相切，則p的值為()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案A解析曲線的方程可化為(x－2)2＋y2＝9，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2.6．若拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(7，±eq\r(14)) B．(14，±eq\r(14))C．(7，±2eq\r(14)) D．(14，±2eq\r(