中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題

中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題章建躍序言：數(shù)學(xué)課改的根本共識在課改正程中，我們對數(shù)學(xué)教學(xué)涉及的各環(huán)節(jié)及相關(guān)問題都進行了全方位的反思和討論，提出了各種各樣的觀點，從中可以概括出一些根本共識：●教學(xué)目標(biāo)——全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知、能力和理性精神，強調(diào)以學(xué)生最近開展區(qū)為定向，促進學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)開展，為學(xué)生的富有個性的開展奠定必須的數(shù)學(xué)根底，其實質(zhì)仍然是“數(shù)學(xué)育人〞；●教學(xué)內(nèi)容——強調(diào)概念及其反映的思想方法教學(xué)的重要性，注重知識的聯(lián)系與綜合，反對“數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)=題型教學(xué)=技巧訓(xùn)練〞的現(xiàn)象；●教學(xué)要求——個性差異與統(tǒng)一要求的辯證統(tǒng)一，這是歷來強調(diào)的，但以前偏重統(tǒng)一性，現(xiàn)在強調(diào)以個生差異為出發(fā)點和根底；●教學(xué)設(shè)計——不僅內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問、講授、訓(xùn)練等，而且特別強調(diào)課堂的“生成〞，設(shè)計能引發(fā)學(xué)生獨立思考、自主探究的“開放性問題〞，乃至強調(diào)“看過問題三百個，不會解題也會問〞；●教學(xué)方法——強調(diào)講授、問答、訓(xùn)練的結(jié)合，不再是單一的講授或活動，是教師主導(dǎo)取向的講授式和學(xué)生自主取向的活動式的融合，強調(diào)“啟發(fā)式教學(xué)〞的核心地位；●學(xué)習(xí)方式——是接受與探究的融合.強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性，注重獨立思考和合作學(xué)習(xí)的結(jié)合；●教學(xué)過程——應(yīng)該是以知識的發(fā)生、開展過程(自然、水到渠成)為載體的學(xué)生認(rèn)知過程，以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動過程.強調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開、深度參與(教學(xué)的有效性)；●教學(xué)評價——強調(diào)發(fā)揮評價對改進教師的教、學(xué)生的學(xué)的作用：作為教師根據(jù)教學(xué)進程進行教學(xué)反響、調(diào)節(jié)；作為學(xué)生那么通過自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)的進程.重視形成性評價；●教學(xué)媒體——以信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合為焦點，追求“必要性〞、“平衡性〞、“廣泛性〞、“實踐性〞、“有效性〞，效勞于數(shù)學(xué)概念、原理實質(zhì)的理解，做紙筆不能做的事.這些共識就是被廣闊教師普遍接受的新理念.從中可見，新理念并不是對舊理念的拋棄，而是對舊理念的揚棄，是繼承與開展的統(tǒng)一，而且有許多教育思想(例如“教學(xué)應(yīng)該實行啟發(fā)式，反對注入式〞)是常新的、永不過時的.教育領(lǐng)域中，“全新理念〞不能用來指導(dǎo)教改實踐.總之，新理念就是要在教育領(lǐng)域落實科學(xué)開展觀，使學(xué)生得到全面和諧與可持續(xù)開展.值得指出的是，上述共識許多都是常識.但常識往往被人們忘記.回憶我國在世紀(jì)之交開始的這場以課程改革為核心的教育改革，可以發(fā)現(xiàn)這些共識來之不易，人們的思想回歸常識也經(jīng)歷了一個曲折的過程.從教育改革的理念層面看，本次改革確實解放了人們的思想；對我國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)的批判許多都是切中要害的；更重要的是引發(fā)了人們的新思考，促進了人們更進一步地考慮數(shù)學(xué)教育中的深層次問題；關(guān)注學(xué)生的個性根底，強調(diào)發(fā)揮學(xué)生的主體性，促進學(xué)生積極主動地學(xué)數(shù)學(xué)等，也是與時代開展對數(shù)學(xué)教育的新要求是合拍的；有利于培養(yǎng)高素質(zhì)人才；等等.但是，因為學(xué)生的成長過程沒有重復(fù)的時機，所以教育改革應(yīng)該敢想而謹(jǐn)慎地干，切忌蠻干，看準(zhǔn)的問題也只能逐步地改，只能是在已有開展根底上的深入，否那么一定會陷入低層次的折騰.從教改的開展現(xiàn)狀看，關(guān)鍵還是將先進理念具體化，變成具有可操作性的行動指南，落實在課堂教學(xué)中，表達在教師的日常教學(xué)行為上.(一)“理解數(shù)學(xué)〞是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提數(shù)學(xué)水平高的人不一定能教好數(shù)學(xué)，但好的數(shù)學(xué)教師一定有好的數(shù)學(xué)功底，這是毋庸置疑的.在數(shù)學(xué)教師的知識結(jié)構(gòu)中，第一要素是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)〞，其主要內(nèi)涵是：了解數(shù)學(xué)知識的背景，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念、定理、法那么、公式等的邏輯意義及邏輯聯(lián)系，深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所蘊涵的思想方法，具有挖掘知識所蘊涵的科學(xué)方法、理性思維過程和價值觀資源的能力和技術(shù)，善于區(qū)分核心知識和非核心知識等.盡管現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)歷達標(biāo)率高，還有許多數(shù)學(xué)教師具有碩士、博士學(xué)位，但總體而言，對中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容及其蘊涵的思想方法的理解水平仍有很大的提高空間.【例1】如何理解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.人們一般從三角恒等變換的角度理解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，把它當(dāng)作是“將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)〞的工具.教科書也是這么表述的：對于到范圍內(nèi)非銳角的三角函數(shù)，能否轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)呢？如果能，轉(zhuǎn)化公式是什么？【1】教學(xué)中，因為誘導(dǎo)公式太多，學(xué)生記不住，教師又將之進一步概括為“奇變偶不變，符號看象限〞.但教學(xué)效果總不盡人意.什么原因？對于誘導(dǎo)公式本質(zhì)的理解出現(xiàn)偏差是原因之一.“其實，是單位圓的自然動態(tài)(解析)描述.由此想到，正弦、余弦函數(shù)的根本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)(主要是對稱性)的解析表述.〞【2】因此，誘導(dǎo)公式本質(zhì)上是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性和軸對稱性的解析表述.也就是說，它是三角函數(shù)的一條性質(zhì)(對稱性)，其幾何背景是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性.這樣我們就可以按如下方式設(shè)計誘導(dǎo)公式的教學(xué)：■先行者組織三角函數(shù)刻畫了單位圓上點的變化規(guī)律，可以想象，它的根本性質(zhì)與圓的幾何性質(zhì)有內(nèi)在聯(lián)系.我們知道，圓的重要性質(zhì)就是它的對稱性，例如，是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，也是以任意直徑為對稱軸的軸對稱圖形等.這種對稱性反映了三角函數(shù)的什么性質(zhì)呢？■問題1與為任意角，如果的終邊與的終邊關(guān)于原點對稱，那么它們有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)又有什么關(guān)系？，由于的終邊與的終邊與單位圓的交點關(guān)于原點對稱，因此.■問題2類似地，如果的終邊與的終邊關(guān)于軸對稱，它們有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)又有什么關(guān)系？關(guān)于軸、或關(guān)于直線、或關(guān)于直線對稱呢？■歸納總結(jié)從聯(lián)系的觀點看，上述問題可歸結(jié)為兩類變換：第一類，關(guān)于軸的軸對稱變換，單位圓上的點經(jīng)變?yōu)?，有，也就是；第二類，將的終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，單位圓上的點經(jīng)變?yōu)?，有，也就是，；在上述兩種變換下，我們可以得到所有誘導(dǎo)公式.例如，經(jīng)過兩次變換，就有，于是，，經(jīng)過一次再經(jīng)過一次變換，就有，于是，.其余可以類推.顯然在單位圓定義下，用對稱變換的思想研究誘導(dǎo)公式，確實使問題簡單了.事實上，所有三角公式都可以這樣來認(rèn)識：終邊相同的角的三角函數(shù)就是旋轉(zhuǎn)的整數(shù)倍的旋轉(zhuǎn)變換；誘導(dǎo)公式就是變換與及其合成；和(差)角公式就是旋轉(zhuǎn)任意角的旋轉(zhuǎn)變換.(二)課堂教學(xué)的高立意與低起點課堂教學(xué)的品味不高是普遍性的，許多教師“匠氣〞十足，一切圍繞高考轉(zhuǎn)，以題型教學(xué)、技巧訓(xùn)練代替數(shù)學(xué)教學(xué)，功利化色彩濃厚，缺乏起碼的思想、精神追求，極大地?fù)p害了數(shù)學(xué)的育人功能.因此提高課堂教學(xué)的品味是當(dāng)務(wù)之急.我們認(rèn)為，只有充分挖掘數(shù)學(xué)知識蘊涵的價值觀資源，并在教學(xué)中將知識教學(xué)與價值觀影響融為一體，才能真正表達“數(shù)學(xué)育人〞.其中至關(guān)重要的是要提高課堂教學(xué)的思想性.在課堂教學(xué)的實踐中要做到高立意，低起點.【例2】不等式根本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計的立意比擬.■以往的做法從“數(shù)軸上點的順序定義數(shù)的大小關(guān)系〞出發(fā)，給出“根本領(lǐng)實〞，指出由這些根本領(lǐng)實可以看到，“考察兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差〞；以“利用比擬實數(shù)大小的方法，可以推出以下不等式的性質(zhì)〞為引導(dǎo)，以“性質(zhì)——證明——例題——練習(xí)——習(xí)題〞為模式，逐次展開性質(zhì)1到性質(zhì)8的講解.■?人教A?的做法首先，從“數(shù)軸上點的順序定義數(shù)的大小關(guān)系〞出發(fā)，給出“根本領(lǐng)實〞，并指出“考察兩個實數(shù)的大小可以統(tǒng)一化歸為比擬它們的差與的大小〞；第二步，從“數(shù)及其運算〞的高度出發(fā)，以等式的根本性質(zhì)為起點，以“運算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)〞為指導(dǎo)思想，通過類比等式的根本性質(zhì)，得到不等式根本性質(zhì)的猜測；第三步，回到從“根本領(lǐng)實〞到“根本性質(zhì)〞的推理過程，給出證明；第四步，引導(dǎo)學(xué)生用不同語言表述“根本性質(zhì)〞；第五步，從實例中概括出根本不等式的作用——明確概括出思想方法.比擬后可以發(fā)現(xiàn)，以往教材實際上是一個公理化系統(tǒng)，其邏輯是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但邏輯背后的思想并沒有得到揭示.?人教A?將不等式與等式一起納入“數(shù)及其運算〞的系統(tǒng)中，明確了根本思想，即運算中的不變性、規(guī)律性成為運用運算律推導(dǎo)出的“根本性質(zhì)〞，并以等式的根本性質(zhì)為起點，通過類比歸納出不等式的根本性質(zhì)，然后再給予邏輯證明.這樣做的目的就是要“既講邏輯，又講思想〞，從而加快學(xué)生領(lǐng)悟思想的進程.根據(jù)上述意圖，對本課的教學(xué)作如下設(shè)計：■先行者組織解方程要以等式的根本性質(zhì)為依據(jù)，解決不等式的問題要以不等式的根本性質(zhì)為依據(jù)，因此我們先來研究不等式的根本性質(zhì).與等式的根本性質(zhì)一樣，不等式的根本性質(zhì)也是數(shù)、式在運算中的規(guī)律性的表現(xiàn)，因此可以類比等式的根本性質(zhì)的研究經(jīng)驗.■問題1請表達等式的根本性質(zhì).在學(xué)生表達的過程中，教師通過板書突出加、減、乘、除及“不變〞的表述.■問題2討論等式根本性質(zhì)的思想方法.通過討論得到：考察運算中的不變性.■問題3類似地，你能猜測一下不等式的根本性質(zhì)嗎？■問題4閱讀教材，看看還有哪些性質(zhì)沒有想到？其中等學(xué)生不易想到，可通過看書完善.■問題5請你根據(jù)“根本領(lǐng)實〞證明自己的猜測.■問題6你能總結(jié)一下等式的根本性質(zhì)和不等式的根本性質(zhì)蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法嗎？(三)大力提高概念教學(xué)的水平概念是思維的細(xì)胞.“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧缺乏道也!〞【3】因此我們必須十分重視根本概念的教學(xué)，在核心概念的教學(xué)上更要做到“不惜時、不惜力〞.當(dāng)前不重視概念教學(xué)是一個比擬普遍的現(xiàn)象.“一個定義，三項注意〞式的抽象講解，在學(xué)生對概念還沒有根本理解的時候就要求學(xué)生進行概念的綜合應(yīng)用，許多教師甚至認(rèn)為教概念不如多講幾道題目更實惠.更令人擔(dān)憂的是，有些教師不知如何教概念，這一問題必須引起我們的高度重視.從教育與開展心理學(xué)的觀點出發(fā)，概念教學(xué)的核心就是“概括〞：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動翻開，以假設(shè)干典型事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動而獲得概念.數(shù)學(xué)教學(xué)要“講背景，講思想，講應(yīng)用〞，概念教學(xué)那么要強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程.由于數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)概括為根底的能力【4】，因此重視數(shù)學(xué)概念的概括過程對開展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有根本的重要性.一般而言，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該率歷如下幾個根本環(huán)節(jié)：●第一環(huán)節(jié)：背景引入；●第二環(huán)節(jié)：通過典型、豐富的具體例證(必要時要讓學(xué)生舉例)，引導(dǎo)學(xué)生開展分析、比擬、綜合的活動；●第三環(huán)節(jié)：概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；●第四環(huán)節(jié)：下定義(用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述所得本質(zhì)屬性)●第五環(huán)節(jié)：概念的辨析，即以實例(正例與反例)為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對概念特例的考察；●第六環(huán)節(jié)：用概念作判斷的具體事例，這里要用有代表性的簡單例子，其目的是形成用概念作判斷的具體步驟；●第七環(huán)節(jié)：概念的“精致〞，主要是建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).概念教學(xué)要注意以下一些根本問題【5】：■第一，概念(特別是核心概念)教學(xué)中，要把“認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的根本套路〞作為核心目標(biāo)之一；■第二，數(shù)學(xué)概念的高度抽象性決定了對它的認(rèn)識不可能一步到位，需要一個螺旋上升、在已有根底上再概括的過程；■第三，人類認(rèn)識數(shù)學(xué)概念具有漸進性，個體對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識要重演人類的認(rèn)識過程，因此學(xué)習(xí)象函數(shù)這樣的核心概念，需要區(qū)分不同年齡階段的概括層次(如變量說、對應(yīng)說、關(guān)系說等)，這也是“教學(xué)與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)〞的本意所在；■第四，為了更有利于學(xué)生開展概括活動，例子的選擇至關(guān)重要，而且要重視讓學(xué)生自己舉例(一個好例子勝過一千條說教)；■第五，細(xì)節(jié)決定成敗，必須安排概念的辨析、精致的過程，即要對概念內(nèi)涵進行深加工，對概念要素作具體界定，讓學(xué)生在對概念的正例、反例做判斷的過程中，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié).■第六，在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，即要通過概念的應(yīng)用，形成用概念作判斷的操作步驟的同時，建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過程.【例3】直線的傾斜角與斜率的教學(xué)設(shè)計.下面呈現(xiàn)的設(shè)計思路以之前講了“解析幾何序言課〞為前提.在序言課中，已經(jīng)介紹了笛卡爾創(chuàng)造了坐標(biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對表示點，用方程表示曲線，從而把幾何研究轉(zhuǎn)化成為對應(yīng)的代數(shù)研究等.一句話，通過序言課，學(xué)生已經(jīng)從宏觀上了解了解析幾何的根本思想方法.本課是學(xué)生按解析幾何的根本三級跳套路解決問題的首次實踐，也就是要以直線為載體，學(xué)習(xí)坐標(biāo)法—將幾何語言轉(zhuǎn)化成代數(shù)符號語言，這里有建立根本標(biāo)準(zhǔn)的重要任務(wù)，具體過程如下：■先行者組織：前面已經(jīng)講過解析幾何的根本思想方法，誰能幫助大家回憶一下？在學(xué)生表達的根底上強調(diào)，今天開始我們就來實踐一下坐標(biāo)法.先從簡單的直線開始.大家要記住，我們先在平面上建立一個直角坐標(biāo)系，然后以直角坐標(biāo)系為工具研究問題.■傾斜角概念的獲得：○問題1經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，怎樣借助直角坐標(biāo)系把它們區(qū)分開來呢？設(shè)計意圖：讓學(xué)生感受引入傾斜角的必要性，突出坐標(biāo)系的作用.活動預(yù)設(shè)：教師可以用幾何畫板演示直線束，學(xué)生觀察并提出解決方案.教師可以一邊演示一邊啟發(fā)：以坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，過的這些直線與坐標(biāo)系有什么不同的關(guān)系？待學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用角作區(qū)分后再提出：○問題2用直線與軸所形成的角作區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)比擬符合我們的習(xí)慣.但這里有四個角，取哪個角呢？請說出選擇的理由.設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解如何從坐標(biāo)系的“基準(zhǔn)〞作用出發(fā)思考問題、作出決擇.活動預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會有不同的選擇.APOxy.APOxy.B個角叫做直線的傾斜角.當(dāng)然選擇其他三個角也可以，不過不太好，這一點可以在后面的學(xué)習(xí)中看到.○問題3由定義，傾斜角的取值范圍是什么？能表示經(jīng)過點的所有直線嗎？設(shè)計意圖：辨析概念，使概念完備.活動預(yù)設(shè)：讓學(xué)生說出取值范圍，并補充直線平行于軸時的情況.教師可作說明性講解：直線平行于軸時，為什么不把它的傾斜角定義為呢？實際上這也是為了簡單，便于計算.這樣，傾斜角的取值范圍是.■斜率概念的獲得：○問題1傾斜角是直角坐標(biāo)系下刻畫直線傾斜程度的一個量，但這是用幾何方法刻畫的.能否將它轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法來刻畫呢？在我們已有經(jīng)驗中有沒有刻畫傾斜程度的數(shù)量？設(shè)計意圖：喚醒坡度知識，類比坡度引入斜率概念.活動預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生回憶坡角、坡度這兩個描述傾斜程度的量的意義及其關(guān)系，類比坡度是升高量與前進量的比值，即為坡角的正切值，引進一個量：直線傾斜角的正切值，給出斜率概念.○問題2一般地，定義了一個數(shù)學(xué)新對象，就要從各種角度去認(rèn)識它.這里我們可以從斜率的取值范圍、與傾斜角的關(guān)系等方面進行更細(xì)致的認(rèn)識.你能說說自己的理解嗎？設(shè)計意圖：辨析概念，通過比擬直線的傾斜角與斜率的各自特點，突出斜率是對直線傾斜程度的代數(shù)刻劃，是解析幾何的本質(zhì).活動預(yù)設(shè)：先讓學(xué)生思考答復(fù)，最后歸納出：傾斜角和斜率分別從幾何和代數(shù)兩個角度刻劃了直線的傾斜程度，斜率是一個數(shù)量；與頻率、比率等類似，斜率中的“率〞是指兩個相關(guān)量的比值；由于，所以可以取任意實數(shù)；給定一條直線，傾斜角唯一確定，但斜率要分和兩種情況；等等.■斜率公式的獲得：○問題1平面幾何中有兩點確定一條直線，直線能由兩點確定，那么它的傾斜角、斜率也能由兩點確定.你能將這種幾何語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言嗎？請自己舉幾個具體的例子試一下.設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷從幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化過程.讓學(xué)生通過自己舉例獲得建立斜率公式的直接經(jīng)驗.ABCDOxy活動預(yù)設(shè)：學(xué)生舉例、展示.要得到：給定直線上兩點的坐標(biāo)ABCDOxy斜率和傾斜角.○問題2如圖，點，求直線.......OOyyxx設(shè)計意圖：讓學(xué)生自主探究得到斜率公式.○追問：〔1〕如果直線軸，上述結(jié)論還適用嗎？〔2〕如果直線軸，上述結(jié)論還適用嗎？設(shè)計意圖：通過對特例的討論，完善對公式的認(rèn)識.特別是將“時斜率不存在〞與“直線軸時，〞接通.■小結(jié)：再一次歸納用坐標(biāo)法刻畫直線的根本套路：建立坐標(biāo)系，以坐標(biāo)表示點；用直線與軸所形成的角〔傾斜角〕區(qū)分過點的直線；引進斜率表示傾斜程度；將幾何條件翻譯成代數(shù)表示〔用直線上兩點的坐標(biāo)表示斜率〕；注意對與軸平行、垂直時的分析和討論.特別要注意直角坐標(biāo)系的工具作用：用角區(qū)分過一點的直線時，利用了軸及它的正方向，軸就是一個基準(zhǔn)，一個參照系，這樣討論問題就有了一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).傾斜角是用來刻畫直線在直角坐標(biāo)系中傾斜程度的量.引進斜率是為了把傾斜角代數(shù)化，這樣就能借助代數(shù)運算來研究幾何問題了，這是坐標(biāo)法的本質(zhì).斜率是一個數(shù)，是刻畫直線在直角坐標(biāo)系中傾斜程度的量.它有一個缺點，那就是不能表示與軸垂直的直線.傾斜角為的直線的斜率不存在，這時只能單獨處理.(四)什么叫抓雙基抓雙基是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢，但這個優(yōu)勢正在喪失.其中的原因多種多樣，但對“怎樣做才是真正抓根底〞的認(rèn)識不到位是主要原因之一.當(dāng)前，課堂教學(xué)演變?yōu)轭}型教學(xué)，題型教學(xué)又進一步蛻化為“刺激——反響〞訓(xùn)練，這種狀況非常令人憂慮.有些教師往往用例題教學(xué)替代概念的概括過程，認(rèn)為應(yīng)用概念的過程就是理解概念的過程.殊不知沒有概括過程必然導(dǎo)致對概念理解的先天缺乏，沒有理解的應(yīng)用是盲目的應(yīng)用，結(jié)果不僅事倍功半，而且對概念的死記硬背和對解題的機械模仿必然導(dǎo)致功能僵化，學(xué)生面對新情境時無法透過現(xiàn)象看本質(zhì)，難以實現(xiàn)概念的正確、有效地運用，質(zhì)量和效益都無保障，有的教師試圖通過題型教學(xué)窮盡題型，夢想通過題型的機械重復(fù)、強化訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握對應(yīng)的特技和動作要領(lǐng)而提高考試分?jǐn)?shù)，而對具有普適性意義的、遷移能力強的根本大法——數(shù)學(xué)思想方法，卻因其不能立竿見影而得不加重視.為了真正表達雙基教學(xué)的思想，應(yīng)當(dāng)提高對抓根底的認(rèn)識水平：●第一，要強調(diào)根本概念教學(xué)的重要性，重視根本概念蘊涵的智力開發(fā)價值，主要是要充分挖掘根本概念蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法的教育價值，“無知者無能〞——學(xué)生的數(shù)學(xué)能力不強的主要根源在于沒有掌握數(shù)學(xué)根本概念及其聯(lián)系方式；●第二，要讓學(xué)生養(yǎng)成“不斷回到概念中去，從根本概念出發(fā)思考問題、解決問題〞的習(xí)慣；●第三，要加強概念聯(lián)系性的教學(xué)，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路——解題的靈巧性并不來自于“題型＋技巧〞，而是來自于概念聯(lián)系通道的順暢.根底是開展的根和本，根深才能長成參天大樹，本固才能立于不敗之地.【例4】等差數(shù)列前和公式的教學(xué)思考.大多數(shù)教師都認(rèn)為“倒序求和〞是這一內(nèi)容蘊涵的思想方法，另外還要構(gòu)建“梯形鋼管堆的計數(shù)〞、“梯形面積公式〞等模型來表達數(shù)形結(jié)合.因此，從根底的角度看，就是要讓學(xué)生掌握求和公式及其變式，學(xué)會倒序求和的思想方法.不過，在我們看來，倒序求和并不是什么思想方法，它只是為了防止對項數(shù)進行奇偶討論而引進的一個技巧.這一內(nèi)容的根底性應(yīng)表達在下面兩個方面：●目標(biāo)：用等差數(shù)列的根本量或表示前項和.●思想方法：用等差數(shù)列的性質(zhì)“在等差數(shù)列中，當(dāng)時，〞，將不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，從數(shù)量關(guān)系上看是利用了平均數(shù)的概念.更進一步地，為了表達從概念出發(fā)思考和解決問題的思想，利用等差數(shù)列的概念和通項公式可得，所以實質(zhì)是求.所以本課可以這樣引入：◎第一步，從高斯故事引入；◎第二步，歸納高斯方法的本質(zhì)，即利用，將不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和；◎第三步，用這一方法求的值，引出需要分為奇數(shù)、偶數(shù)討論的問題，并求出其和；◎第四步，過渡到利用求等差數(shù)列前項和的公式.這是一種聚集根本概念和根本原理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程，從中領(lǐng)悟化歸思想方法的思路.值得注意的是，教學(xué)中不必急于引入倒序求和的技巧.我們可以在討論的奇偶性而得到求和公式后，再讓學(xué)生思考“能否想個方法防止討論〞把公式變?yōu)?，再?lián)系性質(zhì)得到.總之，從加強根底考慮，應(yīng)把等差數(shù)列前項和公式看成是等差數(shù)列概念、性質(zhì)的應(yīng)用課.這一課的教學(xué)，重要的是培養(yǎng)學(xué)生從根本概念、根本原理出發(fā)思考問題的習(xí)慣.具體教學(xué)時應(yīng)在明確任務(wù)〔即用根本量或表示〕的根底上,引導(dǎo)學(xué)生從根本性質(zhì)、通項公式入手，尋找化歸的方法，在不斷求簡中得到“倒序求和〞.順便提及，在等差數(shù)列中，看看這一特例，考查它與一般等差數(shù)列的關(guān)系.不難發(fā)現(xiàn)：最簡單、最本質(zhì)的等差數(shù)列就是，其他都是它的變式——代表不同起點，代表不同時長.研究等差數(shù)列時，想想自然數(shù)的性質(zhì)是很有啟發(fā)的.(五)怎樣才是真正教完了當(dāng)我們強調(diào)課堂教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生過程時經(jīng)常會聽到，“如果這樣教，能教完嗎？〞于是就給學(xué)生吃“壓縮餅干〞，根底知識教學(xué)搞“一個定義，三項注意〞，學(xué)生沒有經(jīng)歷知識的發(fā)生、開展過程的時機，沒有經(jīng)過自己獨立思考而概括概念和原理的時機，解題教學(xué)搞一步到位，在學(xué)生沒有必須的認(rèn)知準(zhǔn)備時就要他們做高難度的題目.調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這些問題有越來越嚴(yán)重的趨勢.在匆忙完成的根底知識教學(xué)中，教學(xué)的“準(zhǔn)〞“簡〞“精〞都出問題：不“準(zhǔn)〞——或者是沒有圍繞概念的核心，或者教錯了；不“簡〞——在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡單問題復(fù)雜化了；不“精〞——讓學(xué)生在知識的外圍重復(fù)訓(xùn)練，消耗學(xué)生大量的時間、精力卻達不到對知識的深入理解.【例5】函數(shù)概念的“考前須知〞.在得到函數(shù)概念定義后，教師一般都會強調(diào)如下“考前須知〞：第一，函數(shù)，中，集合都是數(shù)集；第二，對于中的任意一個數(shù)，在集合中都有對應(yīng)的元素—任意性；第三，對于中的任意一個數(shù)，在對應(yīng)關(guān)系的作用下，在中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)——唯一性；第四，這種對應(yīng)可以是一對一，也可以是多對一，但不能一對多；第五，是一個整體，不是與的乘積，是一種符號，它可以是解析式，可以是圖象，也可以是表格；第六，自變量所對應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍叫做函數(shù)的值域，值域都是一個集合，且值域是集合的子集.第七，函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法那么三者缺一不可，值域可由定義域和對應(yīng)法那么唯一確定.“考前須知〞很全面，似乎是教完了，但學(xué)生理解了多少呢？這樣教完又有什么意義呢？當(dāng)然，這樣的教師還是負(fù)責(zé)任的，但這是好心辦壞事，在不適當(dāng)?shù)臅r候，用不適當(dāng)?shù)姆椒◤娬{(diào)細(xì)節(jié)，結(jié)果只能把學(xué)生教糊涂了.教完了應(yīng)該以學(xué)生是否理解教的內(nèi)容為標(biāo)準(zhǔn)，以學(xué)生是否到達課程規(guī)定的教學(xué)要求，特別是學(xué)生到達的數(shù)學(xué)“雙基〞的理解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)〔注意：雙基包括數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法那么等以及由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法〕，而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容講完.順便提及，一方面大家都在喊“課時不夠〞，另一方面卻是兩學(xué)年甚至是兩學(xué)年不到就教完了所有內(nèi)容，用一年以上的時間進行高考復(fù)習(xí).這樣的做法，不僅導(dǎo)致學(xué)生的根底知識不扎實，缺乏可持續(xù)開展的后勁，而且還可能使學(xué)生形成死記硬背的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，陷學(xué)生于高考復(fù)習(xí)時的機械操練，還容易導(dǎo)致學(xué)生厭惡學(xué)習(xí)的心理.這種嚴(yán)重違背教育規(guī)律的狀況必須得到糾正.(六)探究式教學(xué)的天時地利人和【6】首先講天時.當(dāng)今世界，經(jīng)濟全球化和知識經(jīng)濟步伐不斷加快.為了掌握21世紀(jì)社會經(jīng)濟開展的戰(zhàn)略制高點.我國正竭力倡導(dǎo)從模仿創(chuàng)新轉(zhuǎn)向自主創(chuàng)新，培育自身的科技原創(chuàng)力.相應(yīng)地，要求教育“以培新、培育學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點〞.因此，強調(diào)探究式教學(xué)順應(yīng)了我國社會經(jīng)濟科技開展的要求，大力加強探究式教學(xué)恰逢其時.當(dāng)然，也有我國社會轉(zhuǎn)型期出現(xiàn)的急功近利對教育的侵害，應(yīng)試教育實際上是教育領(lǐng)域的“GDP主義〞——政府主管部門、家長、社會輿論仍以高考分?jǐn)?shù)論英雄，并不問分?jǐn)?shù)是以什么方式得到的.人們的理由是：優(yōu)質(zhì)教育資源就那么多，我必須讓學(xué)生先拿到入場劵，是否有利于學(xué)生的可持續(xù)開展那是后話.因此“天時〞并沒有轉(zhuǎn)化為探究式教學(xué)的有力條件.正如溫家寶總理指出的，我們?nèi)匀皇恰爸匾曊J(rèn)知教育和應(yīng)試教育的教學(xué)方法，而相對無視對學(xué)生獨立思考和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)〞，因此中國培養(yǎng)的學(xué)生往往書本知識掌握得很好，但實踐能力和創(chuàng)造精神還比擬缺乏.其次看“地利〞.這里只針對學(xué)習(xí)內(nèi)容是否適宜于探究而言.一般地，解題教學(xué)都應(yīng)該安排學(xué)生自主探究活動.這里主要討論數(shù)學(xué)根底知識的探究式學(xué)習(xí)問題.應(yīng)當(dāng)說，大局部數(shù)學(xué)概念、定理、公式和法那么都適宜用探究式學(xué)習(xí)方式.顯然，數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中起到關(guān)鍵作用，但常常需要教師的啟發(fā)引導(dǎo).【例6】概念教學(xué)如何表達探究性〔以曲線與方程概念教學(xué)為例〕●教學(xué)目標(biāo)：〔1〕理解曲線的方程和方程的曲線的概念；〔2〕體會由曲線的幾何特征求曲線的方程的根本步驟；〔3〕以簡單的曲線與方程為載體，在從方程研究相應(yīng)曲線的性質(zhì)的過程中，體會坐標(biāo)法的根本思想.●探究點的布設(shè)：概念教學(xué)要自然，水到渠成，要讓學(xué)生體會引入概念的必要性、合理性，要讓學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵，學(xué)會用概念進行判斷.所有這些都應(yīng)建立在學(xué)生親身體驗的根底上.這就是概念教學(xué)要強調(diào)學(xué)生的自主探究的理由.因此，在曲線與方程的概念教學(xué)中，如何使學(xué)生建立起“純粹性〞與“完備性〞的充分體驗，就成為安排學(xué)生探究活動的重點.具體的探究點是【7】：〔1〕求曲線的方程，意圖是辨析曲線與方程的關(guān)系，曲線和方程的轉(zhuǎn)化，為歸納一般概念作鋪墊；〔2〕通過方程研究曲線的對稱性，意圖是體會“曲線的方程〞定義的合理性，參透坐標(biāo)法的思想；〔3〕在“曲線的方程〞概念之后，求給定曲線的方程，意圖是強化對概念的理解，體會求曲線的方程的步驟.這樣安排是為了在給出抽象概念之前，以學(xué)生熟知的“直線與方程〞、“圓與方程〞為載體，先經(jīng)歷較完整的“求曲線的方程——由方程討論曲線的簡單性質(zhì)〔對稱性〕〞的過程，并安排適當(dāng)?shù)姆蠢M行辨析，從中體會：只有當(dāng)曲線上點的集合與方程的解集之間具有一一對應(yīng)關(guān)系時才能通過研究方程得到曲線的性質(zhì)，當(dāng)完備性或純粹性被破壞時就無法由方程得到曲線的性質(zhì).問題或任務(wù)問題解決〔學(xué)生活動〕設(shè)計意圖圓心在原點，半徑為的圓的方程.圓上點的坐標(biāo)與方程解之間有著怎樣的聯(lián)系？圓上的點的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點都在圓上.由特殊的曲線與方程，體會曲線上點的集合與方程解集的一一對應(yīng).圓關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，如何由方程研究圓的對稱性？設(shè)滿足方程，如果也滿足方程，那么曲線關(guān)于軸，軸以及原點對稱.體會通過方程研究曲線性質(zhì)的方法，滲透坐標(biāo)法的思想.曲線是到軸和軸的距離相等的點的軌跡，求它的方程，并通過方程研究曲線的對稱性.〔如果不是等價變形，得到的方程可能是.曲線關(guān)于，軸及原點對稱.根據(jù)曲線上點的幾何特征，寫出點的坐標(biāo)滿足的方程，再次體會坐標(biāo)法的思想.曲線上點的集合和方程的解集之間有怎樣的關(guān)系？由方程能得到曲線的對稱性嗎？曲線上有些點的坐標(biāo)不是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上，由不能得到曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性.曲線和方程滿足純粹性而不滿足完備性.體會這種情形由方程不能得到曲線的對稱性質(zhì).曲線是第一、三象限內(nèi)到軸和軸的距離相等的點的軌跡，求曲線的方程.，同號.在化簡方程時，要特別關(guān)注方程的同解性.曲線上點的集合和方程的解集之間有怎樣的關(guān)系？曲線上點的坐標(biāo)都是方程的解，但以方程的某些解為坐標(biāo)的點不在曲線上.提供一個曲線與方程滿足完備性而不滿足純粹性的具體實例.設(shè)滿足方程，那么和都滿足方程，但曲線關(guān)于坐標(biāo)軸不對稱，這是為什么？方程的解集中包含了不在曲線上的點.體會此時由方程得到的性質(zhì)不是曲線所具有的.要想通過方程研究曲線的性質(zhì)，曲線上點的集合和方程的解集之間應(yīng)該滿足什么關(guān)系？曲線上點的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上.歸納得出曲線的方程和方程的曲線的定義.曲線是到兩個坐標(biāo)軸的距離之積為的點的軌跡，根據(jù)定義求曲線的方程.在教師引導(dǎo)下學(xué)生完成，強調(diào)以定義作為推理的依據(jù).設(shè)曲線上任意一點的坐標(biāo)為，根據(jù)曲線的特征得，說明曲線上點的坐標(biāo)都是方程的解〔滿足完備性〕.反之，設(shè)是方程的解，那么點到兩坐標(biāo)軸的距離之積為1，即點在曲線上〔滿足純粹性〕.由定義得曲線的方程為.由定義求方程，強化對概念的理解，體會求曲線方程的一般步驟.當(dāng)然，并不是所有學(xué)習(xí)內(nèi)容都適宜探究，有的就不需要探究.例如，數(shù)學(xué)中某些原始性的概念定義，沒有多少“開放性〞，不必探究.這樣的內(nèi)容，重要的是讓學(xué)生了解來龍去脈，理解其引入的必要性和合理性，因此采用教師講授或讓學(xué)生看書的方式即可.例如，直線與平面垂直的定義，通過生活中的事例，讓學(xué)生感受到定義與自己的經(jīng)驗相吻合，從而確認(rèn)其合理性，然后由教師表達定義，這樣安排教與學(xué)的過程是適宜的.這里，用說得清道得明的幾何關(guān)系〔直線與平面垂直〕，這是一種公理化思想，教師必須向?qū)W生交代清楚，而學(xué)生只要采用接受式學(xué)習(xí)方式即可.而關(guān)于概念的名稱、符號、某些規(guī)定〔如，與任意向量平行〕等，直接告訴學(xué)生就可以了.再次看“人和〞.探究式學(xué)習(xí)的“人和〞，就是師生所共同營造的探究氣氛.這種氣氛，一方面有賴于學(xué)生探究式學(xué)習(xí)的心向，另一方面也有賴于教師的探究型教學(xué)的意識.如果學(xué)生缺乏遇事問個為什么，以及打破沙鍋問到底的習(xí)慣和勇氣，那么探究式學(xué)習(xí)就失去了內(nèi)因；同樣，如果教師只注重給學(xué)生灌輸現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)論，不給學(xué)生獨立思考、自主探究的時機，那么探究式學(xué)習(xí)也就失去了生存的時間和空間.當(dāng)然，“人和〞氣象的出現(xiàn)，還需要一個位于學(xué)生思維最近開展區(qū)內(nèi)的、蘊涵當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的問題情境作為探究式學(xué)習(xí)的引子或平臺，使探究式學(xué)習(xí)得以展開、深入，開花結(jié)果.也就是說，課堂中的探究一般應(yīng)當(dāng)是一種“定向探究〞.最后，學(xué)習(xí)是知與行相統(tǒng)一的主動行為，接受式和探究式是學(xué)習(xí)的兩種根本形態(tài).以學(xué)生開展為本的教學(xué)，應(yīng)表達接受和探究的相輔相成，要協(xié)調(diào)、平衡認(rèn)知與情感、指導(dǎo)與自主、能動與受動、抽象思維與形象思維、動手實踐與大腦意識活動、獨立思考與合作交流等各種因素，進而使學(xué)習(xí)成為一個完整的認(rèn)識過程.有的教師說，我校生源差，反復(fù)講都記不住到，怎么能讓學(xué)生自主探究？我們的觀點是：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績不好，是因為他們還沒有找到進入數(shù)學(xué)的大門，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還沒有開竅.對于這局部學(xué)生，講授是必要的，但更要注意數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，而且“師傅領(lǐng)進門，修行在個人〞，如果學(xué)生沒有真正的獨立思考、自主探索的時機，沒有自己對數(shù)學(xué)知識的思維加工，總是停留在模仿、記憶的水平，那么他們是不可能真正理解數(shù)學(xué)知識的.所以，越是根底差的學(xué)生越要給他們獨立學(xué)習(xí)的時機.這里關(guān)鍵是要為他們安排好學(xué)習(xí)的臺階，使他們能循序漸進地學(xué)習(xí)，到達“積跬步以至千里〞的效果.例如，在例1中設(shè)計的教學(xué)過程，可能對根底薄弱的學(xué)生有困難，這時我們可以多安排幾個臺階，先讓學(xué)生探究比擬容易的終邊關(guān)于軸對稱的情況，而且從具體的角開始：○問題1：〔1〕設(shè)，如果的終邊與的終邊關(guān)于軸對稱，你能用表示嗎？這時與與有什么關(guān)系？〔2〕請你自己舉出類似的例子，看看有沒有同樣的結(jié)論？〔3〕一般地，設(shè)為任意角，的終邊與的終邊關(guān)于軸對稱，用表示，并求與，與的關(guān)系.○問題2：〔1〕設(shè)，如果的終邊與的終邊關(guān)于軸對稱，你能用表示嗎？這時與，與有什么關(guān)系？〔2〕一般地，設(shè)為任意角，的終邊與的終邊關(guān)于軸對稱，用表示，并求與，與的關(guān)系.○問題3：設(shè)為任意角，終邊與的終邊關(guān)于原點對稱，與有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)有什么關(guān)系？上述過程就是一個從具體到抽象、逐步擴大開放度的問題系列，目的是先給學(xué)生一定的示范，再逐步放開思維空間，使心動與行動融合.(七)如何正確理解螺旋上升在“模塊化“的課程結(jié)構(gòu)體系下，立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計等內(nèi)容都采用螺旋上升的組織方式，對已經(jīng)熟悉了直線式課程教材結(jié)構(gòu)體系的廣闊教師確實形成了挑戰(zhàn).到底應(yīng)該如何看待螺旋上升問題呢？●首先，螺旋上升地安排數(shù)學(xué)內(nèi)容，同一內(nèi)容在不同階段提出遞進式學(xué)習(xí)要求是正確的，因為這樣做既考慮到了教學(xué)與學(xué)生心理開展水平相適應(yīng)的問題〔因為學(xué)習(xí)附屬于開展〕，同時也表達了數(shù)學(xué)概念的開展性.特別是那些核心概念，因為它們在理解其他數(shù)學(xué)概念、聯(lián)系不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)內(nèi)容方面具有“固著點〞作用和紐帶作用，因此必須得到螺旋上升地再現(xiàn).例如，函數(shù)概念可以直觀地用描述性語言表征〔初中階段〕，也可以用集合對應(yīng)的語言表征〔高中階段〕，還可以關(guān)系語言來表征〔大學(xué)階段〕.數(shù)學(xué)概念在不同層次上的表征方式表達了人類對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)認(rèn)識的深化過程，是螺旋上升地安排學(xué)習(xí)內(nèi)容的主要依據(jù)之一.●其次，重要的數(shù)學(xué)思想方法必須得到螺旋上升地重復(fù).我們知道，思想方法是由數(shù)學(xué)內(nèi)容所反映的，屬于隱性知識，有一定的“可以意會不可言傳〞的成分，需要經(jīng)歷“滲透——概括——應(yīng)用〞的學(xué)習(xí)階段.這就需要教師有意識地安排——在概念教學(xué)中滲透、概括，在知識的聯(lián)系中強化、應(yīng)用.特別是在數(shù)學(xué)概念的“多元聯(lián)系表示〞中，可以很好地表達“螺旋上升地認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法〞的重要意義.●第三，螺旋上升要表達必要性.如果學(xué)生的心理開展水平不夠，還沒有能力認(rèn)識更多的細(xì)節(jié)、更本質(zhì)的內(nèi)涵，這時就要采取螺旋上升式；如果學(xué)生的能力已經(jīng)到達了，就不應(yīng)該人為割裂認(rèn)識的鏈條，更何況“學(xué)習(xí)能夠促進開展〞，教學(xué)既要與學(xué)生思維開展水平相適應(yīng)，又要盡最大努力將思維的最近開展區(qū)轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)實開展水平〞，例如，解析幾何分為“必修〞〔直線和圓〕和“選修〞〔圓錐曲線〕似乎沒有太大的必要.●第四，在構(gòu)建課程體系時，應(yīng)當(dāng)以知識的前后邏輯連貫性、思想方法的一致性為前提.當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的模塊化體系受到教師廣泛批評的原因，一方面是其本身存在整體結(jié)構(gòu)邏輯性差、知識不連貫、螺旋設(shè)置不合理等；另一方面是初高中銜接不光滑，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的根底知識有缺失，運算和推理的根本技能不過關(guān)等.一般地，整個中學(xué)數(shù)學(xué)課程體系上要螺旋上升，而在小系統(tǒng)上還是以“直線式〞為好.●第五，螺旋上升可能帶來的問題就是簡單重復(fù)學(xué)習(xí)，這是需要特別注意的.例如，當(dāng)前的統(tǒng)計、概率內(nèi)容安排，從小學(xué)低年級開始不斷低水平重復(fù)，既浪費時間，同時也不符合隨機數(shù)學(xué)的特點和學(xué)生認(rèn)知開展規(guī)律.事實上，學(xué)習(xí)隨機數(shù)學(xué)需要的辯證邏輯思維在14周歲左右才能萌芽，整個青少年時期都開展不完善〔有人甚至終身得不到完善和開展〕，因此，在初中三年級正式安排概率、統(tǒng)計的內(nèi)容是適宜的.小學(xué)階段可以在算術(shù)中安排一點“平均數(shù)〞的內(nèi)容.【例7】比例關(guān)系及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的螺旋上升式理解小學(xué)：分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)，滲透分?jǐn)?shù)是兩個數(shù)的商；理解比、比例的意義及其性質(zhì)，正比例、反比例的意義，用比例知識解決簡單問題(比例尺)等.初中：熟練運用比例列代數(shù)式，用比例進行幾組數(shù)的比擬——列方程、不等式等；正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、線性函數(shù)等.在代數(shù)中，比照例完成：數(shù)——字母——變量的螺旋上升的認(rèn)識.在長度、角度、面積等各種幾何量的大小比擬中應(yīng)用比例思想，在度量單位的轉(zhuǎn)換中體會比例的作用；以比例線段為載體，比照例性質(zhì)、比例式及其變形等進行理論研究；用比例進行線段的比擬；用比例的思想方法研究圖形的性質(zhì)，如平行截割定理，相似三角形(全等時相似比為1)；銳角三角函數(shù)；等等.在幾何中，比照例的性質(zhì)進行較系統(tǒng)的探索，并且用比例思想方法認(rèn)識和解決幾何問題.比例作為數(shù)形聯(lián)系的工具，例如“坡度〞概念〔上升量與前進量的比〕，一次函數(shù)中的幾何意義〔作為函數(shù)值與自變量的增量比，變化率恒定的變化特征等〕，等等.用比例的方法作統(tǒng)計圖表；頻率、概率就是一個比例數(shù)；等等.高中：用比例思想方法解決更為廣泛、更為復(fù)雜的問題.如在解析幾何中，直線方程的問題根本上可以歸結(jié)為斜率，圓錐曲線中存在大量與比例相關(guān)的問題；比例是研究等差數(shù)列性質(zhì)的有效工具，如把寫成，由它對任何自然數(shù)成立，立即可由比例性質(zhì)得到，于是當(dāng)時，；與斜率概念相聯(lián)系，把看成是由和決定的直線的斜率，也可以得出等差數(shù)列的許多有用的性質(zhì).總之，當(dāng)我們利用根本的幾何概念〔如相似〕和代數(shù)概念〔如線性關(guān)系〕來認(rèn)識比例概念，聯(lián)系相關(guān)知識時，學(xué)生比照例關(guān)系的理解就會深刻.(八)如何理解“不是教教材，而是用教材教〞從大量的課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，脫離課本進行教學(xué)的現(xiàn)象很普遍，這是令人擔(dān)憂的.調(diào)研說明，出現(xiàn)脫離課本進行教學(xué)的原因主要有：第一，許多教師認(rèn)為教材內(nèi)容簡單，缺乏以應(yīng)付高考；第二，誤解本次課改提倡的“不是教教材，而是用教材教〞，要“創(chuàng)造性地使用教材〞的真正意圖；第三，許多教師不善于或不愿意花大力氣研究教材；第四，有的教師認(rèn)為，只有講課本以外的東西才能顯示自己的水平.對此，我們應(yīng)該有這樣的認(rèn)識：●首先，“不是教教材，而是用教材教〞是針對照本宣科而言的，絕對不是提倡大家脫離教材進行教學(xué)(當(dāng)然，某些“課改專家〞確實提出過“教材僅僅是課程資源的一種〞、“教師是課程資源的開發(fā)主體〞等，但實踐證明這些觀點過于理想化了).●其次，“教教材太簡單，缺乏以應(yīng)付高考〞的觀點是偏頗的.誠然，教材的根底與高考的選拔性確實有一定的目標(biāo)差異，但學(xué)好教材一定是高考取得好成績的前提，教師的主要精力應(yīng)該放在幫助學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容上.●第三，教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的.因此，在處理教材時，內(nèi)容順序的調(diào)整要十分小心，否那么容易導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)的偏離.例如，有的教師在?數(shù)學(xué)3?第三章概率之前補充排列組合知識，結(jié)果使概率的教學(xué)偏離到“用排列組合求古典概型的概率〞，而把“理解古典概型的特征——實驗結(jié)果的有限性和每一個實驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性〞丟到一邊，致使學(xué)生把貌似古典概型問題當(dāng)成古典概型.在對課本例子的處理中，可以根據(jù)學(xué)生根底和當(dāng)?shù)亟虒W(xué)環(huán)境替換，但所換的例子要反映教科書的意圖，要能承載書上例子的教學(xué)任務(wù).例如，“人教A版〞在對函數(shù)概念的概括過程中，注意“不能用解析式表達的函數(shù)例子〞的使用，其目的是要提升學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識層次，體會函數(shù)表示的多樣性，同時也是為了幫助學(xué)生更全面深刻地領(lǐng)悟“對應(yīng)關(guān)系〞的本質(zhì).因此如果把“八五以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化表〞換成商品總價與商品數(shù)關(guān)系表就不能承載相應(yīng)的教學(xué)任務(wù)，換成“北京奧運會金牌榜〞(先按字母順序?qū)Α皣舀曎x值)那么是一個比擬好的選擇.教之道在于“度〞，學(xué)之道在于“悟〞.在課標(biāo)教材實驗過程中，許多教師覺得這個度不好把握.我們認(rèn)為這主要是對課標(biāo)教材的研讀還不夠深入所致，不領(lǐng)悟教材就不可能把握好度.課本，一科之本，課堂教學(xué)應(yīng)以“課本為本〞.(九)重結(jié)果輕過程的危害是什么重結(jié)果輕過程是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的一大弊端，尤其表現(xiàn)在概念教學(xué)和解題教學(xué)中.概念教學(xué)搞“一個定義，三項注意〞，不講概念產(chǎn)生的背景，也不經(jīng)歷概念的概括過程，僅從邏輯意義上列舉概念要素和考前須知，無視概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致學(xué)生難以達成對概念的實質(zhì)性理解，無法形成相應(yīng)的心理意義.沒有過程的教學(xué)，因為缺乏數(shù)學(xué)思想方法為紐帶，概念間的關(guān)系無法認(rèn)識，聯(lián)系難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可用性、可區(qū)分性和穩(wěn)定性等功能指標(biāo)都會大打折扣.解題教學(xué)歷來是課堂教學(xué)的重點、核心，教師常常把注意力集中在題型及其技巧上，而且往往把技術(shù)直接告訴學(xué)生，然后讓學(xué)生再通過模仿訓(xùn)練記住技巧，而對技巧的來龍去脈那么語焉不詳(實際上，技巧往往是可以意會而不可言傳的，就象專業(yè)運動技巧、魔術(shù)表演技巧等一樣，需要經(jīng)過長時間的、枯燥的千百次重復(fù).普及教育、群眾教育并不需要這種專門的技巧，教學(xué)時也很難用富有啟發(fā)性的語言予以傳授)，特別是對蘊涵于數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，因其是一種潛移默化、潤物無聲的“漫工〞，被一些教師判為不實惠而得不到應(yīng)有的參透、提練和概括，結(jié)果是在稍有變化的情境中，因為沒有數(shù)學(xué)思想方法的支撐，特技失靈，動作變形，靈巧應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力成為泡影.在能力立意的高考中出現(xiàn)的結(jié)局就缺乏為奇了.【例8】遞推數(shù)列通項公式的題型總結(jié).上世紀(jì)八九十年代，由于高考常常出現(xiàn)以遞推數(shù)列為背景的壓軸題，所以對遞推數(shù)列的題型總結(jié)很是熱鬧了一陣子，后來因為控制難度、糾偏等，遞推數(shù)列中高考中銷聲匿跡，所以教學(xué)中也就不搞了.但最近幾年這個問題又熱鬧起來了，于是遞推數(shù)列的題型及其解題技巧又熱起來了.在遞推數(shù)列的代數(shù)變換中，由于涉及巧法較多，而這些確實是學(xué)習(xí)的難點，因此教師就在技巧上大做文章，并總結(jié)出許多題型：(1)利用構(gòu)建遞推關(guān)系解決問題.(2)型，當(dāng)時，是等差數(shù)列；當(dāng)時，用待定系數(shù)法，設(shè)，求出，化歸為等比數(shù)列.(3)型，當(dāng)時，，假設(shè)可求和，那么可用累加消項法；當(dāng)時，如果，那么可設(shè)；如果，等式兩邊同時除以，得，可歸結(jié)為型.(4)型，如果是常數(shù)，那么可化歸為等比數(shù)列；如果可求積，那么可用累積約項法化簡求通項.〔5〕型，可以考慮倒數(shù)關(guān)系，有，可化歸為型.〔6〕〔為常數(shù)〕型，可以應(yīng)用“不動點〞理論.題型套題型，題型何其多；沒有思想方法作為主線，成為題型的雜亂無章的堆砌.實際教學(xué)中，采取灌輸?shù)姆绞剑瑢⑦@些題型及其解法強加給學(xué)生.這種只給結(jié)果的教學(xué)是不可能奏效的，因為沒有對解法的來源有任何交代，因此學(xué)生是無法理解的.沒有過程的教學(xué)把思維的體操降格為“刺激——反響〞訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中表現(xiàn).為使數(shù)學(xué)教學(xué)成為有思想的教學(xué)，成為提高思維能力的舞臺，成為培育理性精神的陣地，必須堅持過程與結(jié)果并重的原那么.實際上，只要設(shè)計得當(dāng)，遞推數(shù)列通項公式的教學(xué)完全可以成為充滿思想性的過程，學(xué)生也可以從中獲得思考方法的啟迪.【例9】數(shù)列中，，當(dāng)時，有，其中為常數(shù)，且，求數(shù)列的通項公式.教學(xué)過程設(shè)計：■先行者組織：這是一個遞推數(shù)列問題.一般地，抽象問題具體化、一般問題特殊化是數(shù)學(xué)中采用的根本策略.因此，先考查幾個特殊的具體問題，以便從中找到思路.■問題1，，求通項公式.設(shè)計意圖：此題是解決整個問題的關(guān)鍵。取，是因為這時比擬容易觀察出其結(jié)構(gòu)特點，并可以采取“湊〞的方法，將數(shù)列化歸為等比數(shù)列.注意：教學(xué)中應(yīng)該在這里舍得花時間，放手讓學(xué)生自己去做，教師不必干預(yù)過多.■問題2，，求通項公式.設(shè)計意圖：這個問題主要是為了穩(wěn)固一下問題1中獲得的方法.■問題3，，為常數(shù)，求通項公式.設(shè)計意圖：這是時的一般性結(jié)論，變形為，對引出待定系數(shù)很有啟發(fā).■問題4，求通項公式.設(shè)計意圖：這一問題不能象前面那樣容易“湊〞了.提出這一問題后，先讓學(xué)生思考，待學(xué)生產(chǎn)生困難后再作如下引導(dǎo)：注意觀察前幾個問題的解決過程.變形后得到的等式的結(jié)構(gòu)有什么共性？從中可以得到什么啟發(fā)？結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為的形式.設(shè)，那么，于是.■問題5一般地，對于，如何求其通項公式？設(shè)計意圖：在前面四個問題的鋪墊下，這一問題的解決已經(jīng)水到渠成.當(dāng)然，因為推廣到了“同類事物〞，所以要注意完備性，要對細(xì)節(jié)、特例進行討論.上述設(shè)計，我們不是把待定系數(shù)法強加給學(xué)生，而是通過從特殊到一般引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生通過獨立思考而得到這類問題的一般解法.雖然其構(gòu)造性很強，但方法不是從天上掉下來的，而是合情推理的結(jié)果.(十)如何理解數(shù)學(xué)應(yīng)用關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用，我們有以下幾點根本認(rèn)識：〔1〕數(shù)學(xué)是一門有生命力和有廣泛應(yīng)用的學(xué)科，某種程度上它應(yīng)該象自然科學(xué)的學(xué)科一樣來探索理解.教數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要目的是使學(xué)生更全面地理解數(shù)學(xué).“學(xué)以致用，用以促學(xué)，學(xué)用相長〞應(yīng)該成為數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)的根本指導(dǎo)思想.〔2〕數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)中，“問題領(lǐng)先〞很重要，即以問題提供學(xué)生理解有關(guān)數(shù)學(xué)的時機；數(shù)學(xué)模型化，數(shù)據(jù)收集，數(shù)據(jù)表示，數(shù)據(jù)解釋、預(yù)測、模擬等課題應(yīng)該得到充分強調(diào).〔3〕特別要重視數(shù)學(xué)建模，強調(diào)數(shù)據(jù)收集、表示、詮釋、預(yù)測及模擬等概念，其用意是通過數(shù)學(xué)建模讓學(xué)生在各種情境和生活背景下由數(shù)據(jù)和問題出發(fā)來體驗數(shù)學(xué)的具體意義.〔4〕數(shù)學(xué)應(yīng)用有不同的側(cè)面.數(shù)學(xué)應(yīng)用應(yīng)成為日常教學(xué)中自然的一局部.當(dāng)然，在根底教育階段，數(shù)學(xué)教育最大應(yīng)用是育人.〔5〕當(dāng)前，數(shù)學(xué)應(yīng)用沒有得到起碼的重視.“題型＋技巧〞不是應(yīng)用，解題并不是解決問題的縮寫.課堂是教數(shù)學(xué)應(yīng)用的主陣地，需要研究的問題很多，這里通過例子談兩點體會.【例10】從應(yīng)用的角度看內(nèi)容的變化〔以三角函數(shù)為例〕.以往，三角函數(shù)的重點在三角恒等變換，對三角函數(shù)本身的研究不充分.與此相比，課標(biāo)對三角函數(shù)的定位有變化，它強調(diào)函數(shù)的角度，強調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，認(rèn)為應(yīng)該通過單擺、彈簧振子、圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學(xué)生感受到周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型；強調(diào)發(fā)揮單位圓的作用，要求用單位圓來幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，以及三角函數(shù)的圖象和根本性質(zhì).同時，課標(biāo)降低了三角恒等變換的要求，淡化了三角恒等變換的技巧性內(nèi)容.為什么呢?這是因為三角函數(shù)與其他學(xué)科的聯(lián)系非常重要，最重要的是它與振動和波動的聯(lián)系，可以說它幾乎是全部高科技的根底之一.以往強調(diào)三角恒等變換，主要是為了制作三角函數(shù)表以應(yīng)付天文學(xué)、測量學(xué)的需要，而現(xiàn)在一個簡單的函數(shù)計算器就可以搞定任何三角函數(shù)求值問題.因此，三角函數(shù)定位和