2023年秋人教版八年級上冊人教版數(shù)學(xué)第十一章三角形綜合測試（含解析）

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一．選擇題（共9小題，滿分36分，每小題4分）

1．（4分）如圖，學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬護欄是由多個鋼管焊接的三角形組成的，這里面蘊含的數(shù)學(xué)原理是（）

A．同位角相等，兩直線平行

B．三角形具有穩(wěn)定性

C．兩點之間，線段最短

D．垂線段最短

2．（4分）如圖，在△ABC中，∠A：∠B＝1：2，D是BC延長線上一點，過點D作DE⊥AB于點E，若∠FCD＝75°，則∠D＝（）

A．40°B．30°C．45°D．50°

3．（4分）如圖，將三角形紙片ABC剪掉一角得△AD′E′與四邊形BCDE，設(shè)△AD′E′的外角和、四邊形BCDE的外角和分別為α、β，則下列正確的是（）

A．a(chǎn)＝βB．α＞βC．α＜βD．β﹣α＝180°

4．（4分）若一個三角形的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，其周長m滿足10＜m＜20，則這樣的三角形有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

5．（4分）下列語句中，正確的是（）

A．三角形的外角和大于它的內(nèi)角和

B．三角形的一個外角等于它的兩個內(nèi)角的和

C．三角形的內(nèi)角小于它的外角

D．三角形的外角和是180°

6．（4分）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，則∠AED的度數(shù)是（）

A．110°B．108°C．105°D．100°

7．（4分）由于疫情，現(xiàn)在網(wǎng)課已經(jīng)成為我們學(xué)習(xí)的一種主要方式，網(wǎng)課期間我們常常把手機放在一個支架上面，就可以非常方便地使用，如圖，此手機能穩(wěn)穩(wěn)放在支架上利用的原理是（）

A．三角形具有穩(wěn)定性B．兩點之間，線段最短

C．三角形的內(nèi)角和為180°D．垂線段最短

8．（4分）將兩把相同的直尺如圖放置．若∠1＝164°，則∠2的度數(shù)等于（）

A．103°B．104°C．105°D．106°

9．（4分）如圖，小明從點A出發(fā)沿直線前進5米到達點B，向左轉(zhuǎn)x°后又沿直線前進5米到達點C，再向左轉(zhuǎn)x°后沿直線前進5米到達點D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點A，一共走了60米，則x的值是（）

A．90B．45C．30D．15

二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

10．（3分）如圖，點D，E分別是BC，AD上一點，則∠1是△的外角，∠2是△的外角，所以∠3∠2∠1．

11．（3分）如圖，正五邊形ABCDE，則∠ACD的度數(shù)為．

12．（3分）如圖所示的三角形共有個．

13．（3分）在△ABC中：

（1）若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，則此三角形是三角形（按角分類）；

（2）若∠A＝∠B＝∠C，則此三角形是三角形（按角分類）；

（3）若∠A﹣∠B＝∠C，則此三角形是三角形（按角分類）．

14．（3分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AE，DF，則∠1的度數(shù)為．

三．解答題（共18小題，滿分49分）

15．（8分）已知△ABC的三邊長為9，4，x．

（1）求x的取值范圍；

（2）當(dāng)△ABC的周長為奇數(shù)時，求x．

16．（8分）如圖，AD為△ABC的高，BE為△ABC的角平分線，若∠EBA＝34°，∠AEB＝71°．

（1）求∠CAD的度數(shù)；

（2）若點F為線段BC上任意一點，當(dāng)△EFC為直角三角形時，求∠BEF的度數(shù)．

17．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．

（1）求∠BAD的度數(shù)；

（2）AE平分∠BAD交BC于點E，∠BCD＝50°．試說明：AE∥DC．

18．（8分）如圖，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°．

（1）求∠EAC的度數(shù)；

（2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度數(shù)．

19．（8分）如圖，AD、AE分別為△ABC的高線和角平分線，∠B＝30°，∠ACD＝50°，求∠EAD的度數(shù)．

20．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分線交于點E．

（1）若∠A＝42°，∠B＝58°，則∠E＝．

（2）請你探究∠A，∠B，∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2023年秋八年級上冊人教版數(shù)學(xué)第十一章：三角形綜合測試

參考答案與試題解析

一．選擇題（共27小題，滿分81分，每小題3分）

1．（3分）如圖，學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬護欄是由多個鋼管焊接的三角形組成的，這里面蘊含的數(shù)學(xué)原理是（）

A．同位角相等，兩直線平行

B．三角形具有穩(wěn)定性

C．兩點之間，線段最短

D．垂線段最短

【分析】學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬做成三角形的形狀，利用三角形不變形即三角形的穩(wěn)定性，從而可得答案．

【解答】解：學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是利用了三角形的穩(wěn)定性，

故選：B．

2．（3分）如圖，在△ABC中，∠A：∠B＝1：2，D是BC延長線上一點，過點D作DE⊥AB于點E，若∠FCD＝75°，則∠D＝（）

A．40°B．30°C．45°D．50°

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠A+∠B＝∠FCD，由此解答即可．

【解答】解：∵DE⊥AB，

∴∠BED＝90°，

∵∠A：∠B＝1：2，∠FCD＝75°，

∵∠A+∠B＝∠FCD，

∴∠B＝75°．

∴∠B＝50°，

∵∠B+∠BED+∠D＝180°，

∴∠D＝180°﹣50°﹣90°＝40°．

故選：A．

3．（3分）如圖，將三角形紙片ABC剪掉一角得△AD′E′與四邊形BCDE，設(shè)△AD′E′的外角和、四邊形BCDE的外角和分別為α、β，則下列正確的是（）

A．a(chǎn)＝βB．α＞βC．α＜βD．β﹣α＝180°

【分析】由多邊形的外角和是360°，即可得到答案．

【解答】解：∵多邊形的外角和等于360°，

∴△AD′E′的外角和與四邊形BCDE的外角和相等，

∴α＝β．

故選：A．

4．（3分）若一個三角形的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，其周長m滿足10＜m＜20，則這樣的三角形有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

【分析】首先根據(jù)連續(xù)自然數(shù)的關(guān)系可設(shè)中間的數(shù)為x，則前面一個為x﹣1，后面一個為x+1，根據(jù)題意可得10＜x﹣1+x+x+1＜20，再解不等式即可．

【解答】解：設(shè)中間的數(shù)為x，則前面一個為x﹣1，后面一個為x+1，由題意得：

10＜x﹣1+x+x+1＜20，

解得：3x＜6，

∵x為自然數(shù)：

∴x＝4，5，6．

故選：B．

5．（3分）下列語句中，正確的是（）

A．三角形的外角和大于它的內(nèi)角和

B．三角形的一個外角等于它的兩個內(nèi)角的和

C．三角形的內(nèi)角小于它的外角

D．三角形的外角和是180°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和及外角性質(zhì)逐項進行判斷即可．

【解答】解：三角形的外角和為360°，內(nèi)角和為180°，那么三角形的外角和大于它的內(nèi)角和，則A符合題意；

三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，則B不符合題意；

若三角形的一個內(nèi)角為100°，則它對應(yīng)的外角為80°，此時該內(nèi)角大于其外角，則C不符合題意；

三角形的外角和為360°，則D不符合題意；

故選：A．

6．（3分）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，則∠AED的度數(shù)是（）

A．110°B．108°C．105°D．100°

【分析】結(jié)合已知條件，利用多邊形的外角和可求得與∠AED相鄰的外角度數(shù)，繼而求得∠AED的度數(shù)．

【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝4×70°＝280°，

∴∠AED＝180°﹣[360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）]＝180°﹣（360°﹣280°）＝180°﹣80°＝100°，

故選：D．

7．（3分）由于疫情，現(xiàn)在網(wǎng)課已經(jīng)成為我們學(xué)習(xí)的一種主要方式，網(wǎng)課期間我們常常把手機放在一個支架上面，就可以非常方便地使用，如圖，此手機能穩(wěn)穩(wěn)放在支架上利用的原理是（）

A．三角形具有穩(wěn)定性B．兩點之間，線段最短

C．三角形的內(nèi)角和為180°D．垂線段最短

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行求解即可．

【解答】解：由圖可知，手機和支架組成了一個三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，所以手機能穩(wěn)穩(wěn)放在支架上．

故選：A．

8．（3分）將兩把相同的直尺如圖放置．若∠1＝164°，則∠2的度數(shù)等于（）

A．103°B．104°C．105°D．106°

【分析】互補關(guān)系求出∠3，互余關(guān)系求出∠4，再用互補關(guān)系即可得出結(jié)果．

【解答】解：如圖，

∵∠3＝180°﹣∠1＝16°，

∴∠4＝90°﹣∠3＝74°，

∴∠2＝180°﹣∠4＝106°；

故選：D．

9．（3分）如圖，小明從點A出發(fā)沿直線前進5米到達點B，向左轉(zhuǎn)x°后又沿直線前進5米到達點C，再向左轉(zhuǎn)x°后沿直線前進5米到達點D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點A，一共走了60米，則x的值是（）

A．90B．45C．30D．15

【分析】由題意可得第一次回到出發(fā)點時圍成的圖形是一個正多邊形，利用正多邊形的性質(zhì)求得邊數(shù)，然后再利用多邊形的外角和計算即可．

【解答】解：由題意可得第一次回到出發(fā)點時圍成的圖形是一個正多邊形，

則它的邊數(shù)為60÷5＝12（條），

那么x＝360÷12＝30，

故選：C．

二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

10．（3分）如圖，點D，E分別是BC，AD上一點，則∠1是△DEC的外角，∠2是△ABD的外角，所以∠3＜∠2＜∠1．

【分析】利用三角形的外角大于和它不相鄰的內(nèi)角，證明即可．

【解答】解：如圖，∠1是△DEC的外角，∠2是△ABD的外角，

所以∠3＜∠2＜∠1．

故答案為：DEC，ABD，＜，＜．

11．（3分）如圖，正五邊形ABCDE，則∠ACD的度數(shù)為72°．

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和及正多邊形性質(zhì)求得∠B，∠BCD的度數(shù)，然后利用等邊對等角求得∠ACB的度數(shù)，最后利用角的和差計算即可．

【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，

∴∠B＝∠BCD＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，

∵AB＝BC，

∴∠ACB36°，

∴∠ACD＝108°﹣36°＝72°，

故答案為：72°．

12．（3分）如圖所示的三角形共有3個．

【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論．

【解答】解：如圖所示的三角形有△ABD，△ABC，△BCD共3個，

故選：3．

13．（3分）在△ABC中：

（1）若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，則此三角形是直角三角形（按角分類）；

（2）若∠A＝∠B＝∠C，則此三角形是等邊三角形（按角分類）；

（3）若∠A﹣∠B＝∠C，則此三角形是直角三角形（按角分類）．

【分析】（1）首先根據(jù)∠A：∠B：∠C＝2：3：5，設(shè)∠A＝2k，∠B＝3k，∠C＝5k，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠A，∠B，∠C得度數(shù)即可得出答案；

（2）根據(jù)等邊三角形的判定可得出答案；

（3）由∠A﹣∠B＝∠C和三角形的內(nèi)角和定理可求出∠A＝90°，進而可得出答案．

【解答】解：（1）∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，

∴可設(shè)∠A＝2k，∠B＝3k，∠C＝5k，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴2k+3k+5k＝180°，

解得：k＝18°，

∴∠A＝2k＝36°，∠B＝3k＝54°，∠C＝5k＝90°，

∴△ABC為直角三角形．

故答案為：直角．

（2）∵∠A＝∠B＝∠C，

∴△ABC為等邊三角形，

故答案為：等邊．

（3）∵∠A﹣∠B＝∠C，

∴∠A＝∠B+∠C，

又∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴2∠A＝180°，

∴∠A＝90°，

∴△ABC為直角三角形．

故答案為：直角．

14．（3分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AE，DF，則∠1的度數(shù)為120°．

【分析】先由正六邊形性質(zhì)得出∠FED，∠FEA，∠EDF的度數(shù)，進而求得∠AED的度數(shù)，再由外角性質(zhì)得出∠1的度數(shù)．

【解答】解：∵多邊形ABCDEF為正六邊形，

∴∠FED＝120°，EF＝ED，

∴∠EFD＝∠EDF，

同理∠FEA＝30°，

∴∠AED＝∠FED﹣∠FEA＝120°﹣30°＝90°，

∴∠1＝∠AED+∠EDF＝90°+30°＝120°．

故答案為：120°．

三．解答題（共6小題，滿分49分）

15．（8分）已知△ABC的三邊長為9，4，x．

（1）求x的取值范圍；

（2）當(dāng)△ABC的周長為奇數(shù)時，求x．

【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出9﹣4＜x＜9+4，再求出x的取值范圍即可；

（2）根據(jù)周長為偶數(shù)得出x為奇數(shù)，根據(jù)x的范圍求出x即可．

【解答】解：（1）∵三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊，

∴9﹣4＜x＜9+4，

即5＜x＜13，

所以x的取值范圍是5＜x＜13；

（2）∵△ABC的周長x+4+9＝x+13為奇數(shù)，

∴x為奇數(shù)，

∵5＜x＜13，

∴x為7，9，11．

16．（8分）如圖，AD為△ABC的高，BE為△ABC的角平分線，若∠EBA＝34°，∠AEB＝71°．

（1）求∠CAD的度數(shù)；

（2）若點F為線段BC上任意一點，當(dāng)△EFC為直角三角形時，求∠BEF的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可；

（2）分∠EFC＝90°和∠FEC＝90°兩種情況解答即可．

【解答】解：（1）∵BE為△ABC的角平分線，

∴∠CBE＝∠EBA＝34°，

∵∠AEB＝∠CBE+∠C，

∴∠C＝71°﹣34°＝37°，

∵AD為△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝90°﹣∠C＝53°；

（2）當(dāng)∠EFC＝90°時，∠BEF＝90°﹣∠CBE＝90°﹣34°＝56°，

當(dāng)∠FEC＝90°時，

∵∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝180°﹣34°﹣37°＝109°，

∴∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝109°﹣90°＝19°．

故答案為：56°或19°．

17．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．

（1）求∠BAD的度數(shù)；

（2）AE平分∠BAD交BC于點E，∠BCD＝50°．試說明：AE∥DC．

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求解即可；

（2）根據(jù)AE平分∠BAD交BC于點E和AD∥BC，求出∠AEB＝∠BCD，再根據(jù)平行線的判定證明即可．

【解答】解：（1）∵AD∥BC，

∴∠B+∠BAD＝180°，

∵∠B＝80°，

∴∠BAD＝100°；

（2）證明：∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE＝50°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠DAE＝50°，

∵∠BCD＝50°，

∴∠AEB＝∠BCD，

∴AE∥DC．

18．（8分）18．（8分）如圖，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°．

（1）求∠EAC的度數(shù)；

（2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度數(shù)．

【考點】三角形內(nèi)角和定理．

【專題】計算題；方程思想；三角形；運算能力．

【答案】（1）54°；（2）40°．

【分析】（1）利用外角性質(zhì)及∠EAD=∠EDA，可得∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，又由角平分線的定義可得：∠EAC=∠B=54°．

（2）設(shè)∠CAD=2x,則∠E=5x,∠BAD=2x,則∠EDA=∠EAD=∠CAD+∠EAC=2x+54°，在三角形EDA中再由三角形內(nèi)角和為180°建立方程求解x即可求解此題．

【解答】解：（1）∵∠EAD=∠EDA，

∴∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAD．

∴∠EAC=∠B．

∵∠B=54°，

∴∠EAC=54°．

（2）設(shè)∠CAD=2x,則∠E=5x,∠DAB=2x,

∵∠B=54°，

∴∠EDA=∠EAD=2x+54°．

∵∠EDA+∠EAD+∠E=180°，

∴2x+54°+2x+54°+5x=180°．

解得x=8°．

∴∠E=5x=40°．

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是根據(jù)幾何性質(zhì)找到等量關(guān)系建立方程求解．

19．（8分）如圖，AD、AE分別為△ABC的高線和角平分線，∠B＝30°，∠ACD＝50°，求∠EAD的度數(shù)．

【分析】三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，角平分線求出∠BAE的度數(shù)，高線得到∠ADB＝90°，求出∠BAD的度數(shù)，再利用∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE，計算即可．