求解圓的方程幾種常見策略+專題講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

求解圓的方程幾種常見策略圓的方程中，需要三個獨立的條件，利用待定系數(shù)法或三個方程組成的方程組，解之得到待定系數(shù)字母的值，即可求得圓的方程。一.已知三點求圓的方程例1在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為．【分析】【方法一】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求得圓心與半徑，寫出圓的方程．【方法二】設(shè)圓的一般方程，把點的坐標(biāo)代入求得圓的方程．【方法一】根據(jù)題意畫出圖形如圖所示，結(jié)合圖形知經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0）的圓，其圓心為（1，0），半徑為1，則該圓的方程為（x﹣1）2+y2=1．【方法二】設(shè)該圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，解得D=﹣2，E=F=0；∴所求圓的方程為x2+y2﹣2x=0．故答案為：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．點評：兩種方法各有利弊。方法一需要數(shù)形結(jié)合思想運算簡單，方法二需要計算準(zhǔn)確，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。二．已知圓心位置求解圓的方程例2．已知圓M與直線x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切，圓心在直線y=﹣x+2上，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【分析】根據(jù)圓心在直線y=﹣x+2上，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，2﹣a），利用圓C與直線x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切，求得圓心坐標(biāo)，再求圓的半徑，可得圓的方程．解：圓心在y=﹣x+2上，設(shè)圓心為（a，2﹣a），∵圓C與直線x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切，∴圓心到直線x﹣y=0的距離等于圓心到直線x﹣y+4=0的距離，即：，解得a=0，∴圓心坐標(biāo)為（0，2），，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣2）2=2．故答案為：x2+（y﹣2）2=2．【點評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，根據(jù)條件利用待定系數(shù)法以及圓與直線相切的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵。例3.過A（﹣1，1），B（1，3），圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【分析】設(shè)圓心為M（a，0），由|MA|=|MB|求得a的值，可得圓心坐標(biāo)以及半徑的值，從而求得圓的方程．解：∵圓的圓心在x軸上，設(shè)圓心為M（a，0），由圓過點A（﹣1，1）和B（1，3），即|MA|=|MB|可得MA2=MB2，即（a+1）2+1=（a﹣1）2+9，求得a=2，可得圓心為M（2，0），半徑為，故圓的方程為（x﹣2）2+y2=10．故答案為：（x﹣2）2+y2=10．【點評】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程例4圓（x+2）2+y2=5關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為．【分析】圓關(guān)于直線y=x的對稱，實質(zhì)是圓心的對稱，求出圓心的對稱點即可得到結(jié)論．解：圓心坐標(biāo)為（﹣2，0），則圓的對稱實質(zhì)是圓心的對稱，則圓心關(guān)于y=x對稱的點的坐標(biāo)為（0，﹣2），則圓（x+2）2+y2=5關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為x2+（y+2）2=5，故答案為：x2+（y+2）2=5．【點評】本題主要考查圓的方程的求解，求出圓心的對稱坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．四.已知圓截某直線的弦長求圓的方程例5已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點，截直線x﹣9y+41=0所得的弦長為，則圓的方程為．【分析】由題意利用直線和圓相交的性質(zhì)求出圓的半徑，從而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由題意可得圓心C到直線x﹣9y+41=0的距離為，故半徑r=，故要求的圓的方程為x2+y2=41，故答案為：x2+y2=41．【點評】本題主