導(dǎo)數(shù)中恒成立問題

導(dǎo)數(shù)中恒成立問題1.已知函數(shù)，其中為實數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立?若不存在，請說明理由，若存在，求出的值并加以證明．（1）時，，，，又所以切線方程為（2）1°當(dāng)時，，則令，，再令，當(dāng)時，∴在上遞減，∴當(dāng)時，，∴，所以在上遞增，，所以2°時，，則由1°知當(dāng)時，在上遞增當(dāng)時，，所以在上遞增，∴∴；由1°及2°得：2.已知函數(shù)（1）求曲線處的切線方程；（2）當(dāng)a<0時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)a>0時，若不等式恒成立，求a的取值范圍。解：（1）∴曲線處的切線方程為即（2）令當(dāng)令上為減函數(shù)，在上增函數(shù)。當(dāng)在R上恒成立。上為減函數(shù)。當(dāng)令在上為增函數(shù)。綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為。當(dāng)當(dāng)單調(diào)遞減區(qū)間為（），（）（3）a>0時，列表得：1（1，+）+0－0+↗極大值↘極小值↗又從而，當(dāng)由題意，不等式恒成立，所以得從而a的取值范圍為3.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，判斷在定義域上的單調(diào)性；（2）若在上的最小值為，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范圍解：（1）由題意：的定義域為，且．，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)．（2）由（1）可知：①若，則，即在上恒成立，此時在上為增函數(shù)，（舍去）． ②若，則，即在上恒成立，此時在上為減函數(shù)，（舍去）． ③若，令得， 當(dāng)時，在上為減函數(shù)， 當(dāng)時，在上為增函數(shù)，綜上可知：．（3）．又 令， 在上是減函數(shù)，，即，在上也是減函數(shù)，．令得，∴當(dāng)在恒成立時，4.已知函數(shù)．（１）求的單調(diào)區(qū)間；（２）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值組成的集合．解：（１）由已知得．因為，所以當(dāng)．故區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間，區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間．（２）①當(dāng)時，．令，則．由（１）知當(dāng)時，有，所以，即得在上為增函數(shù)，所以，所以．②當(dāng)時，．由①可知，當(dāng)時，為增函數(shù)，所以，所以．綜合以上得．故實數(shù)的取值組成的集合為5.已知函數(shù)（I）若函數(shù)的值；（II）設(shè)的取值范圍解：（I）處的切線互相平行 （II） 令 當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)。 恒成立， 值滿足下列不等式組①，或② 不等式組①的解集為空集，解不等式組②得綜上所述，滿足條件的6.函數(shù)其中為常數(shù)，且函數(shù)和的圖像在其與坐標(biāo)軸的交點處的切線互相平行．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1），的圖像與坐標(biāo)軸的交點為，的圖像與坐標(biāo)軸的交點為由題意得即，又（2）由題意當(dāng)時，令令當(dāng)時，單調(diào)遞增。由在上恒成立，得當(dāng)時，可得單調(diào)遞增。由在上恒成立，得綜上，可知7.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2－a2x+m(a>0).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在x∈[－1，1]內(nèi)沒有極值點，求a的取值范圍；（3）若對任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m取值范圍解：（1）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴當(dāng)x<－a或x>時f′(x)>0；當(dāng)－a<x<時，f′(x)<0.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－a），(，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－a，).（2）由題設(shè)可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上沒有實根∴，解得a>3.（3）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0∴f(x)max=f(－2)=－8+4a+2a2+m又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立∵9－4a－2a2的最小值為－87∴m≤－87.8．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)，求在上的最大值；(3)試證明：對，不等式恒成立．解：（１）∵令得顯然是上方程的解令，，則∴函數(shù)在上單調(diào)∴是方程的唯一解∵當(dāng)時，當(dāng)時∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時函數(shù)有最大值（２）由（１）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故①當(dāng)即時在上單調(diào)遞增∴＝②當(dāng)時在上單調(diào)遞減∴＝③當(dāng)，即時（３）由（１）知當(dāng)時，∴在上恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時“＝”成立∴對任意的恒有∵∴即對，不等式恒成立．9．已知函數(shù)為大于零的常數(shù)。（1）若函數(shù)內(nèi)調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值。（3）求證：對于任意的成立解：（1）由已知，得上恒成立，即上恒成立 又當(dāng)（2）當(dāng)時，在（1，2）上恒成立，這時在[1，2]上為