二項(xiàng)分布與超幾何分布

一、超幾何分布設(shè)一批產(chǎn)品共有個，其中有個次品，現(xiàn)從中任取個（）,令則的分布列為上述分布稱為超幾何分布，記作。超幾何分布的二項(xiàng)近似當(dāng)時，即抽取的個數(shù)遠(yuǎn)小于產(chǎn)品總數(shù)時，每次抽取后，總體中的不合格率改變甚微，所以可以把不放回抽樣近似的看成是有放回抽樣，這時，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似例1甲乙兩人賭技相當(dāng)，各出賭本500元，約定5局3勝，勝者得到這1000元錢?，F(xiàn)在因故在甲贏了一局的情況下終止比賽，試問該如何分配這1000元錢？解法一合理的方案應(yīng)該是按照“若把球打完，甲乙二人各自取勝的概率”的比例來分配獎金。由于甲已經(jīng)先勝了一局，所以，甲取勝的事件就是“在接下來的比賽中，第三次失敗之前贏下兩次”。令則，于是注：本題也可以采用求數(shù)學(xué)期望的方法，這時求分布列較麻煩二項(xiàng)分布與超幾何分布是兩個非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決．在實(shí)際應(yīng)用中，理解并區(qū)分兩個概率模型是至關(guān)重要的．下面舉例進(jìn)行對比辨析．例袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個球．求：（1）有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Ｘ的分布列；（2）不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)Ｘ可能的取值為０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則．；；；．因此，的分布列為01232．不放回抽樣時，取到的黑球數(shù)Ｙ可能的取值為０，1，2，且有：；；．因此，的分布列為012辨析：通過此例可以看出：有放回抽樣時，每次抽取時的總體沒有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是二項(xiàng)分布模型．而不放回抽樣時，取出一個則總體中就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型．因此，二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣．所以，在解有關(guān)二項(xiàng)分布和超幾何分布問題時，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是非常重要的．例１從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有Ｘ個紅球，則隨機(jī)變量Ｘ的概率分布列為012解析：由題意，得，，（或）．故隨機(jī)變量Ｘ的概率分布為0120．10．60．3點(diǎn)評：本題主要考查了組合、離散型隨機(jī)變量分布列的知識、概率的計算及超幾何分布列的求法．例2在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張券中有一等獎券１張，可獲價值50元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從此10張中任抽2張，求：（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得的獎品總價值Ｘ（元）的概率分布列．解析：（1）（或），即該顧客中獎的概率為．（2）的所有可能值為：0，10，20，50，60（元），且，，，，．故的分布列