第三章 空間向量與立體幾何(B卷)

第三章空間向量與立體幾何(B)(時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．空間四個(gè)點(diǎn)O、A、B、C，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))為空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法不正確的是()A．O、A、B、C四點(diǎn)不共線B．O、A、B、C四點(diǎn)共面，但不共線C．O、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線D．O、A、B、C四點(diǎn)不共面2．已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，b〉A(chǔ)．30°B．60°C．90°D．45°3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為()A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x，y的值分別為()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)D．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,3)5．設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點(diǎn)，在正方體的12條面對(duì)角線中，與截面A1ECF成60°角的對(duì)角線的數(shù)目是A．0B．2C．46．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．37．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，則x的值是()A．3B．4C．58．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．不確定9．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于A．30°B．45°C．60°D．90°10．若向量a＝(2,3，λ)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(\r(6),3)))的夾角為60°，則λ等于()A.eq\f(23,12)B.eq\f(\r(6),12)C.eq\f(23\r(6),12)D．－eq\f(23\r(6),12)11．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(1,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(7,3)))12．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)題號(hào)123456789101112答案二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿(mǎn)足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________.14．若Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，\f(19,8)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1，\f(5,8)))是平面α內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面α的法向量a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝__________.15．平面α的法向量為m＝(1,0，－1)，平面β的法向量為n＝(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為_(kāi)_________．16.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AD和BC1三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面體．設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對(duì)角線BC1上的eq\f(3,4)分點(diǎn)，設(shè)eq\o(MN,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AD,\s\up6(→))＋γeq\o(AA1,\s\up6(→))，試求α、β、γ的值．18.(12分)如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝eq\r(2)a，點(diǎn)E是SC上的點(diǎn)，且SE＝λa(0<λ≤2)．(1)求證：對(duì)任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；(2)若SC⊥平面BED，求直線SA與平面BED所成角的大?。?9.(12分)已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a和b的夾角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．20．(12分)如圖所示，在三棱錐S—ABC中，SO⊥平面ABC，側(cè)面SAB與SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，O為BC的中點(diǎn)，求二面角A—SC—B的余弦值．21.(12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PDC⊥平面PAD；(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離．22．(12分)如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的eq\r(2)倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由．第三章空間向量與立體幾何(B)1．B2．B[由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0,a－4b·7a－2b＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0①,7a2－30a·b＋8b2＝0②))由①－②可得a·b＝eq\f(1,2)b2，代入①可得a2＝b2，∴cos〈a·b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2).∴〈a，b〉＝60°.]3．C[eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(3,3\r(2)·\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°.]4．C[eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，由空間向量的基本定理知，x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2).]5．C6．C[∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正確；∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正確；由①②知eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，∴③正確，④錯(cuò)誤．]7．C8．B[△BCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2>0.∴∠B為銳角，同理，∠C，∠D均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．]9．C[建系如圖，設(shè)AB＝1，則B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)．∴eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0,1,1)∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))〉＝＝eq\f(1,\r(2)·\r(2))＝eq\f(1,2).∴〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))〉＝60°，即異面直線BA1與AC1所成的角等于60°.]10．C[∵a＝(2,3，λ)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(\r(6),3)))，∴a·b＝eq\f(\r(6),3)λ＋1，|a|＝eq\r(λ2＋13)，|b|＝eq\f(2\r(6),3)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(\r(6),3)λ＋1,\r(λ2＋13)·\f(2\r(6),3))＝eq\f(1,2).∴λ＝eq\f(23\r(6),12).]11．C[∵Q在OP上，∴可設(shè)Q(x，x,2x)，則eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－x，2－x,3－2x)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－x,1－x,2－2x)．∴eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝6x2－16x＋10，∴x＝eq\f(4,3)時(shí)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))最小，這時(shí)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).]12．C[以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－1,1,1)．可以證明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD又cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,3)，結(jié)合圖形可知平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為eq\f(1,3).]13．2解析∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.14．2∶3∶(－4)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，－\f(7,4)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(7,4)))，由a·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，a·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)y,z＝－\f(4,3)y))，x∶y∶z＝eq\f(2,3)y∶y∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)y))＝2∶3∶(－4)．15．60°或120°解析∵cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－1,\r(2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴〈m，n〉＝120°，即平面α與β所成二面角的大小為60°或120°.16.eq\f(π,6)解析建立如圖所示坐標(biāo)系，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，∴cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(6,2\r(2)·\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，∴〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,6).即異面直線AD和BC1所成角的大小為eq\f(π,6).17．解∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))，∴α＝eq\f(1,2)，β＝eq\f(1,4)，γ＝eq\f(3,4).18．(1)證明連結(jié)BD，AC，設(shè)BD與AC交于O.由底面是菱形，得BD⊥AC.∵SB＝SD，O為BD中點(diǎn)，∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥面SAC.又AE?面SAC，∴BD⊥AE.(2)解由(1)知BD⊥SO，同理可證AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.取AC和BD的交點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)SO＝x，則OA＝eq\r(4a2－x2)，OB＝eq\r(2a2－x2).∵OA⊥OB，AB＝2a∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x∴OA＝eq\r(3)a，則A(eq\r(3)a,0,0)，C(－eq\r(3)a,0,0)，S(0,0，a)．∵SC⊥平面EBD，∴eq\o(SC,\s\up6(→))是平面EBD的法向量．∴eq\o(SC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)a,0，－a)，eq\o(SA,\s\up6(→))＝(eq\r(3)a,0，－a)．設(shè)SA與平面BED所成角為α，則sinα＝＝eq\f(|－3a2＋a2|,\r(3＋1)a·\r(3＋1)a)＝eq\f(1,2)，即SA與平面BED所成的角為eq\f(π,6).19．解a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cosθ＝eq\f(a·b,|a|b|)＝eq\f(－1＋0＋0,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10)，∴a與b的夾角θ的余弦值為－eq\f(\r(10),10).(2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.即2k2＋k－10＝0，∴k＝－eq\f(5,2)或k＝2.20．解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA，OS分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)B(1,0,0)，則C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC的中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2))).故eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))，eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－\f(1,2)))，eq\o(SC,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，所以eq\o(MO,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))＝0，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))＝0.即MO⊥SC，MA⊥SC.故〈eq\o(MO,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))〉為二面角A—SC—B的平面角．cos〈eq\o(MO,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))〉＝＝eq\f(\r(3),3).即二面角A—SC—B的余弦值為eq\f(\r(3),3).21.(1)證明如圖，以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)．∴eq\o(PD,\s\up6(→))＝(4,0，－2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0，－2,0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(0,0，－2)．設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，則?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＝0,4x－2＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0,x＝\f(1,2)，))所以平面PCD的一個(gè)法向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1)).∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.∴平面PAD的法向量為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2,0)．∵n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴n⊥eq\o(AB,\s\up6(→)).∴平面PDC⊥平面PAD.(2)解由(1)知平面PCD的一個(gè)單位法向量為eq\f(n,|n|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，0，\f(2\r(5),5))).∴＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4，0，0·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，0，\f(2\r(5),5)))))＝eq\f(4\r(5),5)，∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為eq\f(4\r(5),5).22．(1)證明連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，由題意知SO⊥平面ABCD，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(OS,\s\up6(→))分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖所示．設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高SO＝eq\f(\r(6),2)a.于是S(0,0，eq\f(\r(6),2)a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2