2023新教材高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式對點練新人教A版選擇性必修第二冊

4．2等差數(shù)列4．2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式知識點一等差數(shù)列的定義1.下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是()A．6,6,6，…，6，…B．－2，－1,0，…，n－3，…C．5,8,11，…，3n＋2，…D．0,1,3，…，eq\f(n2－n,2)，…答案D解析利用等差數(shù)列的定義去判斷．故選D.2．下列數(shù)列是等差數(shù)列的是()A.eq\f(1,3)，eq\f(1,5)，eq\f(1,7)，eq\f(1,9) B．1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)C．1，－1,1，－1 D．0,0,0,0答案D解析∵eq\f(1,5)－eq\f(1,3)≠eq\f(1,7)－eq\f(1,5)，故排除A；∵eq\r(3)－1≠eq\r(5)－eq\r(3)，故排除B；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C.故選D.3．(多選)若數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n＋5，則此數(shù)列是()A．公差為－1的等差數(shù)列B．公差為5的等差數(shù)列C．首項為4的等差數(shù)列D．公差為n的等差數(shù)列答案AC解析∵an＝－n＋5，∴a1＝－1＋5＝4，an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，∴{an}是首項為4，公差為d＝－1的等差數(shù)列．4．若數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列{a2n－1＋2a2n}是()A．公差為3的等差數(shù)列 B．公差為4的等差數(shù)列C．公差為6的等差數(shù)列 D．公差為9的等差數(shù)列答案C解析數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，所以a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2＋2×2＝6，所以{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列．故選C.知識點二等差數(shù)列的通項公式5.在等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，則a1等于()A．－9 B．－8C．－7 D．－4答案B解析∵a6＝a4＋6，∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8.故選B.6．已知{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d等于()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．2答案B解析根據(jù)題意，得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－eq\f(1,2).7．設(shè)等差數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n＝()A．48 B．49C．50 D．51答案C解析a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq\f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq\f(2,3)，又an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50.8．等差數(shù)列的第3項是7，第11項是－1，則它的第7項是________．答案3解析設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，則a7＝3.9．已知數(shù)列{an}滿足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{an}的通項公式為________．答案an＝2n－1解析由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.10．已知{an}是等差數(shù)列且an>0，求證：eq\f(1,\r(a1)＋\r(a2))＋eq\f(1,\r(a2)＋\r(a3))＋…＋eq\f(1,\r(an)＋\r(an＋1))＝eq\f(n,\r(a1)＋\r(an＋1)).證明設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.①當(dāng)d＝0時，a1＝a2＝…＝an＝an＋1，左邊＝eq\f(n,2\r(a1))＝右邊；②當(dāng)d≠0時，左邊＝eq\f(\r(a2)－\r(a1),a2－a1)＋eq\f(\r(a3)－\r(a2),a3－a2)＋…＋eq\f(\r(an＋1)－\r(an),an＋1－an)＝eq\f(\r(a2)－\r(a1),d)＋eq\f(\r(a3)－\r(a2),d)＋…＋eq\f(\r(an＋1)－\r(an),d)＝eq\f(\r(an＋1)－\r(a1),d)＝eq\f(an＋1－a1,d\r(an＋1)＋\r(a1))＝eq\f(nd,d\r(an＋1)＋\r(a1))＝eq\f(n,\r(a1)＋\r(an＋1))＝右邊．綜合①②知結(jié)論成立.知識點三等差中項及應(yīng)用11.已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項為()A.eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\f(1,\r(3)) D．eq\f(1,\r(2))答案A解析設(shè)等差中項為x，由等差中項的定義知，2x＝a＋b＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(3)＋eq\r(2))＝2eq\r(3)，∴x＝eq\r(3)，故選A.12．設(shè)x是a與b的等差中項，x2是a2與－b2的等差中項，則a，b的關(guān)系是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)＝3bC．a(chǎn)＝－b或a＝3b D．a(chǎn)＝b＝0答案C解析由等差中項的定義知，x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.知識點四等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系13.已知(1,1)，(3,5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點．(1)求這個數(shù)列的通項公式；(2)畫出這個數(shù)列的圖象；(3)判斷這個數(shù)列的單調(diào)性．解(1)由于(1,1)，(3,5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點，所以a1＝1，a3＝5.由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1.(2)圖象是直線y＝2x－1上一些離散的點，如圖所示．(3)因為一次函數(shù)y＝2x－1是增函數(shù)，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝3－2n，則它的公差為()A．2 B．3C．－2 D．－3答案C解析因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以公差為an－an－1＝3－2n－(3－2n＋2)＝－2.故選C.2．若{an}為等差數(shù)列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，則ap＋q為()A．p＋q B．0C．－(p＋q) D．eq\f(p＋q,2)答案B解析依題意，得ap＝a1＋(p－1)d＝q，aq＝a1＋(q－1)d＝p，∴p－q＝(q－p)d，∴d＝－1，∴a1＝p＋q－1.∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)(－1)＝0.3．等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，則數(shù)列{an}的通項公式是()A．a(chǎn)n＝2n－2(n∈N*)B．a(chǎn)n＝2n＋4(n∈N*)C．a(chǎn)n＝－2n＋12(n∈N*)D．a(chǎn)n＝－2n＋10(n∈N*)答案D解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2·a4＝12，,a2＋a4＝8，,d＜0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a4＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,d＝－2，))所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋10.4．等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為1，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(an,an＋1).若對任意n∈N*，bn≤b6，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－8，－6) B．(－7，－6)C．(－6，－5) D．(6,7)答案B解析∵{an}是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，∴an＝n＋a－1.∴bn＝eq\f(an,an＋1)＝1－eq\f(1,n＋a).又對任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知eq\f(1,6＋a)≤eq\f(1,n＋a)，則必有6＋a＜0且7＋a＞0，∴－7＜a＜－6.故選B.5．(多選)已知數(shù)列{an}是首項為1，公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列，若81是該數(shù)列中的一項，則公差d可能是()A．2 B．3C．4 D．5答案ACD解析由題設(shè)可知an＝1＋(n－1)d,81是該數(shù)列中的一項，即81＝1＋(n－1)d，所以n＝eq\f(80,d)＋1，因為d，n∈N*，所以d是80的因數(shù)，結(jié)合選項，選ACD.二、填空題6．若m≠n，兩個等差數(shù)列m，a1，a2，n與m，b1，b2，b3，n的公差為d1和d2，則eq\f(d1,d2)的值為________．答案eq\f(4,3)解析∵n－m＝3d1，d1＝eq\f(1,3)(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝eq\f(1,4)(n－m)．∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(\f(1,3)n－m,\f(1,4)n－m)＝eq\f(4,3).7．一個直角三角形三邊長a，b，c成等差數(shù)列，面積為12，則它的周長為________．答案12eq\r(2)解析由條件知b一定不是斜邊，設(shè)c為斜邊，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,\f(1,2)ab＝12，,a2＋b2＝c2，))解得b＝4eq\r(2)，a＝3eq\r(2)，c＝5eq\r(2)，∴a＋b＋c＝12eq\r(2).8．已知等差數(shù)列{an}圖象上的點都在直線y＝3x＋5上，且a5＝20，則{an}的通項公式為________．答案an＝3n＋5解析由已知，得等差數(shù)列{an}的公差為3，又a5＝a1＋4×3＝20，得a1＝8，所以an＝8＋3(n－1)，即an＝3n＋5.三、解答題9．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在數(shù)列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，試說明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列，并求x95的值．解因為當(dāng)n≥2時，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(1,x1)＝3，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).10．是否存在數(shù)列{an}(an≠0)同時滿足下列條件：①{an}是等差數(shù)列且公差不為0；②數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等差數(shù)列．解設(shè)符合條件