福建省龍巖重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

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數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知集合，則中的元素個(gè)數(shù)為（）

A．8B．9C．10D．11

2．已知是定義在上的函數(shù)，則“是上的偶函數(shù)”是“都是上的偶函數(shù)”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

3．下列命題中，錯(cuò)誤的命題有（）

A．函數(shù)與不是同一個(gè)函數(shù)

B．命題“，”的否定為“，”

C．設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增

D．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件

4．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）

A．B．C．D．

5．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少1/4，要使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，則至少應(yīng)過濾的次數(shù)為（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）

A．8B．9C．10D．11

6．設(shè)定義在R上的奇函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）

A．B．

C．D．

7．已知，，，則（）

A．B．

C．D．

8．定義在上的函數(shù)滿足，時(shí)，若的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）

A．B．C．D．

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9．已知為實(shí)數(shù)集的非空集合，則的必要不充分條件可以是（）

A．B．C．CRBCRAD．BRA=R

10．已知，下列命題為真命題的是（）

A．若，則B．若，則ac2>bc2

C．若，則D．若，則

11．已知是定義在上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．函數(shù)的周期為2B．函數(shù)的周期為4

C．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．

12．函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，則下列說法正確的是（）

A．B．C．D．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．已知實(shí)數(shù)集R，集合A＝{x|log2x0，設(shè)命題，命題，已知命題p是命題q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值圍.

18.（本題滿分12分）已知函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求；

（2）若，求的范圍.

19．（本題滿分12分）

已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

20.（本題滿分12分）

某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬元.為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為萬元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高.

（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？

（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則a的取值范圍是多少？

21.（本題滿分12分）

已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，.

(1)若函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，求的值；

(2)若，，求的取值范圍.

22.（本題滿分12分）

已知函數(shù)，．

(1)討論函數(shù)單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

龍巖重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)參考答案

題號(hào)123456789101112

答案BBCDDDABABDCDBCDABD

{2，3，4}14.15.2,-316.-1

8.【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，

作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，又因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋渲校鶕?jù)圖象可知：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)為臨界狀態(tài)，此時(shí)，故要使不等式的解集為，其中，則，故選：.

12.【答案】ABD

【詳解】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

于是有，因此選項(xiàng)AB正確，

兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示：

由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，

不妨設(shè)，

且，

由，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，

又，又，

又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，

，，于是有，所以選項(xiàng)D正確，

故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合等式是解題的關(guān)鍵.

16.解：作出函數(shù)的圖象如下：

令，則，

由題意，結(jié)合圖象可得，，，

所以，，，因此.故答案為：.

17.解：（1）當(dāng)時(shí)，，可得，

又由，所以..5分

（2）當(dāng)時(shí)，可得.因?yàn)槊}是命題的充分不必要條件，則，可得，等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為10分

18.1分

6分（用特殊值沒檢驗(yàn)的，扣2分）

8分

12分

19．解：（1）由題意∵在區(qū)間上為增函數(shù)，

在區(qū)間（2，+）上恒成立2分

即k+1恒成立，又，∴，故

∴的取值范圍為4分(沒有等號(hào)扣2分)

（2）設(shè)，6分

令得或由（1）知，

當(dāng)時(shí)，，在R上遞增，顯然不合題意7分

②當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：

—

↗極大值↘極小值↗

由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，故需，即10分

∴，解得,綜上，所求的取值范圍為12分

20.解：（1）由題意，得，3分

即，又，所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).5分

（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)為萬元，

從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤(rùn)為萬元，7分

21.解:(1)因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，

即解得2分

因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，所以，則4分

(2)由(1)可得，

，6分

因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以在上是減函數(shù)，

則在上的最大值為8分

因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，在上是減函數(shù).

則的最小值為和中的較小的一個(gè).

因?yàn)椋?所以10分

因?yàn)椋?，所?

解得.故的取值范圍為12分

22.解（1）：因?yàn)槎x域?yàn)椋?/p>

所以，1分

當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，2分

當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，3分

當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，4分

綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；5分

解（2）：當(dāng)時(shí)，，

所以，令，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

當(dāng)，即時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；6分

當(dāng)，即時(shí)，又，

所以存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足，8分

即，

其中

，9分

設(shè)，，

則，令，解得，

所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，11分

即恒成立，所以且12分

【方法點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．

龍巖一中2024屆高三上學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

命題人：王珍連審題人：馬洪亮

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知集合，則中的元素個(gè)數(shù)為（）

A．8B．9C．10D．11

【答案】B【詳解】解不等式得：，即，而，由解得：，又，顯然滿足的自然數(shù)有9個(gè)，所以中的元素個(gè)數(shù)為9.故選：B

2．已知是定義在上的函數(shù)，則“是上的偶函數(shù)”是“都是上的偶函數(shù)”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B【詳解】由都是R上的偶函數(shù)，得，設(shè)，，為偶函數(shù)，即“都是R上的偶函數(shù)時(shí)，則必為偶函數(shù)”，反之，“若為偶函數(shù)，則不一定能推出都是R上的偶函數(shù)”，例如：取，則是R上的偶函數(shù)，而都不具備奇偶性，故“是R上的偶函數(shù)”是“都是R上的偶函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B．

3．下列命題中，錯(cuò)誤的命題有（）

A．函數(shù)與不是同一個(gè)函數(shù)

B．命題“，”的否定為“，”

C．設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增

D．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件

【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)是不同的函數(shù)，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，與增函數(shù)定義矛盾，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，若，當(dāng)時(shí)，推不出，當(dāng)時(shí)，且，所以D正確.故選：C.

4．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，故時(shí)有成立

所以；

當(dāng)時(shí)，故時(shí)有成立，所以

綜上所述：

故選：D

5．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少1/4，要使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，則至少應(yīng)過濾的次數(shù)為（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）

A．8B．9C．10D．11

【答案】D【詳解】設(shè)至少需要過濾次，則，即,

所以，即，又，所以，所以至少過濾11次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求,故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查學(xué)生的閱讀能力，考查學(xué)生的建模能力，屬于中檔題．與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解

6．設(shè)定義在R上的奇函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）

A．B．

C．D．

【答案】D【詳解】解：由于奇函數(shù)在上是增函數(shù)，則該函數(shù)在上也是增函數(shù)，且，，，由可得，即.當(dāng)時(shí)，得，解得；

當(dāng)時(shí)，可得，解得.因此，原不等式的解集為或.故選：D.

7．已知，，，則（）

A．B．

C．D．

【答案】A【詳解】解：，，

令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，令，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，

即，所以，由，得，

由，得，，因?yàn)椋?/p>

所以，所以，所以，即，所以，

綜上所述.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了比較大小的問題，考查了同構(gòu)的思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，有一定的難度.

8．定義在上的函數(shù)滿足，時(shí)，若的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）

A．B．C．D．

【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，

作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，又因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋渲?，根?jù)圖象可知：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)為臨界狀態(tài)，此時(shí)，故要使不等式的解集為，其中，則，故選：.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9．已知為實(shí)數(shù)集的非空集合，則的必要不充分條件可以是（）

A．B．C．CRBCRAD．BRA=R

【答案】ABD

10．已知，下列命題為真命題的是（）

A．若，則B．若，則ac2>bc2

C．若，則D．若，則

【答案】CD

【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷ABC，由作差法可判斷D.

【詳解】對(duì)于A，若，則，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若,且時(shí)，則，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若，則，故，則必有，C正確；

對(duì)于D，若，則，

所以，D正確.

故選：CD

11．已知是定義在上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．函數(shù)的周期為2

B．函數(shù)的周期為4

C．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

D．

【答案】BCD

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，

所以，則，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，

因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，

所以，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確，

由與得，即，

故，所以函數(shù)的周期為4，故不正確，B正確；，故D正確.

故選：BCD.

12．函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，則下列說法正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】ABD【詳解】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

由，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

于是有，因此選項(xiàng)AB正確，

兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示：

由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與兩曲線和恰好有三個(gè)交點(diǎn)，

不妨設(shè)，

且，

由，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，所以選項(xiàng)D正確，

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合等式是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．已知實(shí)數(shù)集R，集合A＝{x|log2x0，設(shè)命題，命題，已知命題p是命題q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值圍.

17解：（1）當(dāng)時(shí)，，可得，

又由，所以..5分

（2）當(dāng)時(shí)，可得.因?yàn)槊}是命題的充分不必要條件，則，可得，等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為10分

18.（本題滿分12分）已知函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求；

（2）若，求的范圍.

1分

6分（用特殊值沒檢驗(yàn)的，扣2分）

8分

12分

19．（本題滿分12分）

已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：（1）由題意∵在區(qū)間上為增函數(shù)，

在區(qū)間（2，+）上恒成立2分

即k+1恒成立，又，∴，故

∴的取值范圍為4分(沒有等號(hào)扣2分)

（2）設(shè)，6分

令得或由（1）知，

當(dāng)時(shí)，，在R上遞增，顯然不合題意7分

②當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：

—

↗極大值↘極小值↗

由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，故需，即10分

∴，解得,

綜上，所求的取值范圍為12分

20.（本題滿分12分）

某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬元.為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為萬元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高.

（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？

（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則a的取值范圍是多少？

解：（1）由題意，得，3分

即，又，所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).5分

（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)為萬元，

從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤(rùn)為萬元，7分

21.（本題滿分12分）

已知函數(shù)是上的奇函