期中專題01 空間向量與立體幾何小題綜合（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試真題必刷滿分訓(xùn)練（新高考山東專用）

第第頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁期中專題01空間向量與立體幾何小題綜合備考秘籍備考秘籍歐拉定理(歐拉公式)(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.空間的線線平行或垂直設(shè)，，則；.夾角公式設(shè)，b＝，則.異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）直線與平面所成角，(為平面的法向量).二面角的平面角（，為平面，的法向量）.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南三中?？计谥校┮阎臻g向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因為與垂直，所以，即，所以.又，所以.故選：D.2．（2022秋·山東濟(jì)南·高二?？计谥校┫铝嘘P(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯誤；向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.3．（2022秋·山東臨沂·高二?？计谥校┤粝蛄?，，且a→,b→的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于（

）.A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及夾角公式，代入坐標(biāo)計算即可．【詳解】由題意得，解得或，故選:C．4．（2022秋·山東青島·高二青島二中?？计谥校┤鐖D，平行六面體中，AC與BD的交點為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可．【詳解】由已知得，故選：C．5．（2022秋·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南三中?？计谥校┰诳臻g四邊形中，點，分別是和的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可求解【詳解】如圖所示，是的中點，則，，故選：C.6．（2022秋·山東青島·高二山東省青島第一中學(xué)?？计谥校┮阎匦螢槠矫嫱庖稽c，且平面，分別為上的點，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理求出，求出答案.【詳解】因為，所以，故，故.故選：B7．（2022秋·山東濰坊·高二?？计谥校┤?，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令與共線，求出的值，依題意且與不共線反向，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到不等式組，解得即可.【詳解】因為，，令與共線，則，即，即，解得，此時，，即，此時與反向，又與的夾角為鈍角，所以且與不共線反向，即且，解得或，即.故選：B8．（2022秋·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D.空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：D.9．（2022秋·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南三中?？计谥校┮阎矫姒恋囊粋€法向量，點在α內(nèi)，則到α的距離為（

）A．10 B．3C． D．【答案】D【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，再由平面的距離即可求解.【詳解】由題意，得，又知平面的一個法向量，則到平面的距離，故選：D.10．（2022秋·山東濟(jì)南·高二?？计谥校┤鐖D所示，二面角的棱上有A，B兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，，，則該二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的條件得，，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，根據(jù)圖示可求得二面角的大小.【詳解】由題意得：，，因為，所以，即，解得：，又，則，由圖示得，該二面角為為銳角，即該二面角為，故選：C.二、多選題11．（2022秋·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，若，則（

）A．三棱錐的體積為B．三棱錐的體積為C．點C到直線的距離為D．點C到直線的距離為【答案】AC【分析】利用等體積法和三棱錐的體積公式計算即可判斷AB；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出在上的投影的長度，利用向量法求出點線距即可判斷CD.【詳解】三棱錐即三棱錐，其體積為，故A正確，B不正確；取AC的中點O，則，，以O(shè)為原點，，的方向分別為x，y軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以在上的投影的長度為，故點C到直線的距離，故C正確，D錯誤.故選：AC.12．（2022秋·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)校考期中）關(guān)于空間向量，以下說法不正確的是（

）A．向量，，若，則B．若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個點，，，，，則，，三點共線【答案】AC【分析】根據(jù)向量垂直的性質(zhì)可判斷選項A；由共面向量定理可判斷選項B；由向量的加法法則可判斷選項C；由共線向量定理可判斷選項D.【詳解】對于A，向量，，若，若向量，均為非零向量，則由向量垂直的性質(zhì)可得；若向量，其中一個為零向量，則與不垂直，故A錯誤；對于B，若對空間中任意一點，有，因為，所以，，，四點共面，故B正確；對于C，設(shè)是空間中的一組基底，由向量的加法法則可知：，所以不能構(gòu)成空間的一組基底，故C錯誤；對于D，若空間四個點，，，，，由共線向量定理可知：，，三點共線，故D正確，故選：.13．（2022秋·山東濟(jì)南·高二?？计谥校┫铝忻}中，正確的命題為（

）A．若，分別是平面，的法向量，則B．若，分別是平面，的法向量，則C．若是平面的法向量，是直線的方向向量，若與平面平行，則D．【答案】BD【分析】由面面位置關(guān)系以及法向量的概念判斷A、B；由法向量的概念和直線方向向量的定義判斷C，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則判斷D.【詳解】解：對于A，若，分別是兩個不重合平面，的法向量，則，故A中平面，可能平行或重合，故A錯誤；對于B，若，分別是平面，的法向量，則，故B正確；對于C，若是平面的法向量，是直線的方向向量，與平面平行，則，所以，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：BD．14．（2022秋·山東濱州·高二?？计谥校┮阎蛄?，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項計算判斷作答.【詳解】向量，，則，A正確；顯然，B正確；由數(shù)量積的定義得，C錯誤；顯然，則，即有，D錯誤.故選：AB15．（2022秋·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段上運(yùn)動，則下列說法正確的是（

）A．幾何體的外接球半徑B．平面C．異面直線與所成角的正弦值的取值范圍為D．面與底面所成角正弦值的取值范圍為【答案】BCD【分析】對于A，幾何體的外接球與正方體的外接球相同，可求得半徑；對于B，利用面面平行的性質(zhì)定理即可判斷；對于C，找到異面直線與所成角，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，列出正弦值的等式，再結(jié)合的取值范圍，即可求解；對于D，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式，結(jié)合三角函數(shù)的知識可進(jìn)行求解.【詳解】對于A，因為幾何體關(guān)于正方體的中心對稱，其外接球與正方體的外接球相同，半徑為，故A錯誤；對于B，在正方體中，且，故為平行四邊形，所以，而平面，平面，故平面，同理可證平面，又因為，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；對于C，由平面，平面，可得，即，由于，則異面直線與所成的角為，其正弦值為，在中，易得，所以，所以異面直線與所成角的正弦值的取值范圍為，故C正確；對于D，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則有，，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，故，由題意知，取平面的一個法向量，則，則面與底面所成角正弦值為，由于，故當(dāng)時取最小值，則取到最小值，當(dāng)或時取最大值12，則取到最大值，所以面與底面所成角正弦值的取值范圍為，故D正確，故選：BCD.16．（2022秋·山東青島·高二統(tǒng)考期中）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，平面，PA=AB=2，E為棱PB的中點，F(xiàn)為棱BC上的動點，則下列結(jié)論正確的為（

）A．平面平面PBC B．EF與平面ABCD所成角的最大值為C．E到面PAC的距離為 D．AE與PC所成角的余弦值為【答案】CD【分析】取的中點，可證得兩兩垂直，所以以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量逐個分析判斷.【詳解】取的中點，連接，因為底面ABCD為菱形，，所以，因為平面，平面，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為E為棱PB的中點，所以，設(shè)（），對于A，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，因為，，所以，，令，，則，，若平面平面PBC，則，解得不合題意，所以A錯誤，對于B，平面的一個法向量為，，設(shè)EF與平面ABCD所成角為，則，因為，所以，因為，所以大于，所以B錯誤，對于C，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，，所以E到面PAC的距離為，所以C正確，對于D，設(shè)AE與PC所成角為，，，所以，所以D正確，故選：CD17．（2022秋·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)校考期中）如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（

）A．B．點E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．點到平面的距離為【答案】AC【分析】以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判斷分析各個選項即可.【詳解】如圖以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.18．（2022秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）如圖，四棱柱的底面ABCD是正方形，O為底面中心，平面ABCD，．以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．B．平面C．平面的一個法向量為D．點B到直線的距離為【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件及給定的幾何圖形寫出點的坐標(biāo),再對各個選項逐一分析計算并判斷作答.【詳解】依題意,是正方形,,與的交點為原點,,在給定的空間直角坐標(biāo)系中,,而,則點,,故錯誤;,,設(shè)平面的法向量,則,令,得,故正確;,即平面,故正確;,,,到的距離,故正確故選:19．（2022秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）在平行六面體中，，，則（

）A． B．C． D．點到平面的距離等于【答案】BD【分析】對于A選項，首先根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得，兩邊同時平方，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可求得；對于B選項，首先根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得，然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算得，即可得證；對于C選項，首先根據(jù)邊長證明為直角三角形，然后利用，即可驗證C選項的正誤；對于D選項，首先證明平面，即可得點到平面的距離，進(jìn)而求出距離.【詳解】對于A選項，，得，即得，故A選項錯誤；對于B選項，已知，，，，，故B選項正確；對于C選項，已知，且，得，又，，，故為直角三角形，所以得，，故C選項錯誤；對于D選項，由A選項可知，由C選項可知，即，，平面，即可得點到平面的距離.故D選項正確.故選：BD20．（2022秋·山東濰坊·高二校考期中）點是正方體中側(cè)面正方形內(nèi)的一個動點，正方體棱長為1，則下面結(jié)論正確的是（

）A．滿足的點M的軌跡長度為B．點M存在無數(shù)個位置滿足直線平面C．在線段上存在點M，使異面直線與CD所成的角是30°D．若E是棱的中點，平面與平面所成銳二面角的正切值為【答案】ABD【分析】利用線面垂直判定可得平面，可知點軌跡即為平面與平面的交線可判斷A，利用面面平行得判定可證得平面平面，可知當(dāng)軌跡為平面與平面的交線可判斷B，利用坐標(biāo)法，根據(jù)線線角的向量求法及二面角的向量求法可判斷CD.【詳解】對于A，平面，平面，，又四邊形為正方形，，又平面，，平面，點軌跡即為平面與平面的交線，即為，點軌跡的軌跡長度為，A正確；對于B，，平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面，平面平面，軌跡為平面與平面的交線，即，點存在無數(shù)個位置滿足直線平面，B正確；對于C，以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，在線段上存在點M，設(shè)，則，，設(shè)異面直線與CD所成的角為，又，所以，而，所以在線段上不存在點M，使異面直線與CD所成的角是，故C錯誤；對于D，因為，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，，又平面的一個法向量，，，即平面與平面所成銳二面角的正切值為，D正確.故選：ABD.三、填空題21．（2022秋·山東濰坊·高二?？计谥校┤艨臻g向量不共面，且，其中，為實數(shù)，則．【答案】0【分析】根據(jù)空間向量基本定理求得，即可得解.【詳解】因為空間向量不共面，且，所以，所以.故答案為：.22．（2022秋·山東煙臺·高二統(tǒng)考期中）已知為空間中一點，四點共面且任意三點不共線，若，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)向量共面列方程，結(jié)合已知條件求得的值.【詳解】依題意，四點共面且任意三點不共線，所以，所以，，，所以，解得.故答案為：23．（2022秋·山東德州·高二統(tǒng)考期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，點為線段的中點，則．【答案】【分析】利用中點坐標(biāo)公式及向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合兩點間的距離公式即可求解；【詳解】因為，，點為線段的中點，所以,所以,所以，故答案為：.24．（2022秋·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)校考期中）在棱長為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是．【答案】【分析】由正方體的性質(zhì)可得向量與向量夾角為，先求出的值，進(jìn)而可得答案.【詳解】棱長為的正方體中向量與向量夾角為，所以向量在向量方向上的投影向量是向量在向量方向上的投影向量的模是，故答案為：25．（2022秋·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則λ的值為.【答案】【分析】由已知，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出各點坐標(biāo)，然后通過異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，即可列式計算.【詳解】以D為原點，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以,,所以，所以，解得或（舍去）.故答案為：.26．（2022秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，棱長為2的正方體中，點E是棱的中點，點P在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為．【答案】/【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，由可推出P點軌跡，確定P點在何處時的面積取到最小值，由此可求得答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)，則，，由,可得，故,即,取的中點N，連結(jié)，則P點軌跡為線段，過B作,垂足為Q,由于,則,又平面,平面