2023-2024學年高一數(shù)學2019單元復習試題單元復習09平面向量基礎(chǔ)題

單元復習09平面向量01平面向量的基礎(chǔ)概念與運算一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．若，則B．零向量的長度是0C．長度相等的向量叫相等向量D．共線向量是在同一條直線上的向量【答案】B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】A：僅表示與的大小相等，但是方向不確定，故未必成立，所以A錯誤；B：根據(jù)零向量的定義可判斷B正確；C：長度相等的向量方向不一定相同，故C錯誤；D：共線向量不一定在同一條直線上，也可平行，故D錯誤.故選：B.2．在中，為的中點，為上靠近點的三等分點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法則，轉(zhuǎn)化為和即可．【詳解】.故選：B3．已知平面向量，滿足，，與的夾角為45°，，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】，，，∴.故選：A4．已知平面向量，不共線，，，，則（

）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線【答案】D【分析】根據(jù)給定條件逐項計算對應(yīng)三點確定的某兩個向量，再判斷是否共線作答.【詳解】平面向量，不共線，，，，對于A，，與不共線，A不正確；對于B，因，，則與不共線，B不正確；對于C，因，，則與不共線，C不正確；對于D，，即，又線段與有公共點，則，，三點共線，D正確.故選：D5．給出下列四個命題：①若，則；②若A，B，C，D是不共線的四點，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若,，則；④的充要條件是且.其中正確命題的序號是（

）A．②③ B．①② C．③④ D．②④【答案】A【分析】對于①，根據(jù)向量相等的概念分析可知不正確；對于②，根據(jù)向量相等的概念以及充要條件的概念分析可知正確；對于③，根據(jù)向量相等的概念分析可知正確；對于④，根據(jù)向量相等的概念以及充要條件的概念分析可知不正確.【詳解】對于①，兩個向量的長度相等，不能推出兩個向量的方向的關(guān)系，故①錯誤；對于②，因為A，B，C，D是不共線的四點，且等價于且，即等價于四邊形ABCD為平行四邊形，故②正確；對于③，若,，則；顯然正確，故③正確；對于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分條件，故④不正確,故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握向量相等的概念和充要條件的概念是解題關(guān)鍵.6．已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取、為基底，把，都用、表示，再計算.【詳解】因為，則，所以，，所以，，即，因此.故選：D.【點睛】方法點睛：向量運算的技巧：（1）構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；（2）樹立“基底”意識，利用基向量進行運算.二、多選題7．如果，，都是非零向量.下列判斷正確的有（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【分析】利用平行向量的定義可判斷AD，利用數(shù)量積的概念及性質(zhì)可判斷BC.【詳解】∵，，都是非零向量，∴若，，則，故A正確；若，，則，但不一定等于，故B錯誤；由，可得，整理可得，所以，故C正確；若，則，故D正確.故選：ACD.8．已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若在上的投影為，則向量與夾角為C．與共線的單位向量只有一個為D．存在，使得【答案】BD【分析】對A：由向量垂直的坐標表示即可求解判斷；對B：根據(jù)投影的定義即可求解判斷；對C：與共線的單位向量為即可判斷；對D：根據(jù)向量與共線同向時，滿足即可判斷.【詳解】解：向量，，對A：因為，所以，所以，故選項A錯誤；對B：因為在上的投影向量為，即，所以，又，所以，因為，所以向量與夾角為，故選項B正確；對C：與共線的單位向量有兩個，分別為和，故選項C錯誤；對D：當時，，此時向量與共線同向，滿足，所以存在，使得，故選項D正確；故選：BD.三、填空題9．在中，點D，E，F(xiàn)分別是邊，，的中點，則__________.【答案】【分析】根據(jù)平面向量的加法法則運算可得，由題意得，進而求得.【詳解】如圖所示，在中，，又點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，所以，所以.故答案為：10．已知平面向量，滿足，，若，則_____．【答案】2【分析】利用模長公式，數(shù)量積的定義及運算法則即求.【詳解】由題知，，，，則，代值運算得：，解得或（舍去），故．故答案為：2．四、解答題11．若平面向量滿足，.（1）若，求的坐標.（2）若，求與的夾角.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）設(shè)，由向量共線得，再根據(jù)模的關(guān)系即可得或，進而得答案；（2）根據(jù)已知條件得，再根據(jù)向量夾角的公式計算即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)，因為，所以.①又因為，所以.②由①?②，解得或，所以的坐標為或.（2）由可知，由可得，即，解得，設(shè)與的夾角為，則，又因為，所以.12．已知向量，且與的夾角為（1）求;（2）若與垂直，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）λ=.【分析】（1）根據(jù)向量，且與的夾角為，由，求得m，再得到的坐標求解.(2)由（1)得到，與的坐標，根據(jù)與垂直求解.【詳解】（1）因為向量，且與的夾角為，所以，解得，所以，則.(2)由（1)知m=1，故，，因為與垂直，所以，解得.02平面向量的基本定理及應(yīng)用一、單選題1．在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，設(shè)，，則=（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合向量加減法法則求解即可.【詳解】由題意，，設(shè)，由對應(yīng)系數(shù)相等得.故選：D.2．已知AB是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由平面向量的線性運算法則求解．【詳解】是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，且，．故選：A．3．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB=1km，水的流速為2，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的時間為6min，則客船在靜水中的速度為（

）A． B．8C． D．10【答案】A【分析】設(shè)靜水中的速度為，水流速度為，合速度，將正交分解為，由已知條件知，，進而求，即得，則可求.【詳解】設(shè)客船在靜水中的速度大小為，水流速度為，則，則船實際航行的速度，，由題意得.把船在靜水中的速度正交分解為，即，∵km/h，而與同向，即，∴∴.故選：A.4．如圖所示的矩形中，滿足，為的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】將作為基底，根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件把用表示，從而可求出的值.【詳解】連接，由題可知，又因為為的中點，所以，所以，所以，所以.故選：A.5．在中，，點D在線段上，點E在線段上，且滿足，，交于點F，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運算，推出，由B，E，F(xiàn)三點共線求得λ，再將表示成以為基底的向量，由平面向量數(shù)量積的運算法則得答案．【詳解】如圖：由，得AB＝4，AC＝3，設(shè)，則三點共線，，即，則故選：C.6．已知在中，為的中點，，，點為邊上的動點，則最小值為（

）A．2 B． C． D．－2【答案】C【分析】由，結(jié)合投影幾何意義，建立平面直角坐標系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由,結(jié)合投影幾何意義有：過點作的垂線，垂足落在的延長線上，且,以所在直線為軸，以中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則設(shè)，其中則解析式是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向上，對稱軸時取得最小值，當時取得最小值故選：【點睛】本題考查向量方法解決幾何最值問題，屬于中等題型.二、多選題7．給出下列命題，其中正確的選項有（

）A．非零向量、滿足，則與的夾角為B．若，則△為等腰三角形．C．等邊△的邊長為，則D．已知向量，且，則【答案】AB【分析】A應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律得、，進而求與的夾角；B利用向量加法、數(shù)量積的幾何意義判斷即可；C應(yīng)用向量數(shù)量積的定義計算；D應(yīng)用向量垂直的坐標表示求參數(shù)k.【詳解】A：由可得，則，，，易知與的夾角為，正確；B：若為邊上的中線，則，結(jié)合已知有，即，所以△中，正確；C：由題意，，錯誤；D：，由題意有，即，錯誤.故選：AB8．中，為上一點且滿足，若為線段上一點，且（，為正實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為3【答案】AD【分析】由題設(shè)結(jié)合三點共線可得，再應(yīng)用基本不等式求、的最值，利用向量加減、數(shù)乘的幾何意義求的線性關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，可得，又三點共線，∴，即，B錯誤；由，為正實數(shù)，，則，當且僅當時等號成立，故C錯誤；，當且僅當時等號成立，故D正確；，又，∴，故A正確.故選：AD.9．設(shè)是平面直角坐標系中相異的四點，若，，且，則稱調(diào)和分割，已知平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B，則下面說法正確的是（

）A．A、B、C、D四點共線B．D可能是線段的中點C．C、D可能同時在線段上D．C、D不可能同時在線段的延長線上【答案】AD【分析】根據(jù)題設(shè)條件可先判斷出、、、四點共線，從而判斷出選項A，然后可設(shè)、、、，結(jié)合題設(shè)條件可得，然后對各選項一一判斷即可.【詳解】∵，∴，∴、、、四點共線∵平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B∴A、B、C、D四點共線，故A正確；由題意可設(shè)、、、，則，.∴，∵∴對于B，若D是線段的中點，則，代入到，不存在，故B錯誤；對于C，若C、D同時在線段上，則，，代入到，可得，此時C、D重合，與題意不符，故C錯誤；對于D，若C、D同時在線段的延長線上，則，，所以，與矛盾，故C、D不可能同時在線段的延長線上，故D正確.故選：AD.10．如圖，正方形中，為中點，為線段上的動點，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當為線段上的中點時，B．的最大值為C．的取值范圍為D．的取值范圍為【答案】ABC【分析】以為原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，結(jié)合向量的坐標表示及向量的坐標運算表示條件，由此判斷各選項.【詳解】以為原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，設(shè)，則，設(shè)，則，因為，所以，所以，即，對于選項A，因為為線段上的中點，所以，故，A正確；對于選項B，，，當時，取最大值為，B正確；對于選項C，因為，，所以，的取值范圍為，C正確；對于選項D，，，所以，所以的取值范圍為，D錯誤.故選：ABC.三、解答題11．如圖，在菱形中，，.（1）若，求的值；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合平面圖形以及平面向量的線性運算即可求出，的值，進而求出結(jié)果；（2）根據(jù)平面向量的加法運算得到，在結(jié)合（1）中，利用平面向量數(shù)量積的運算律以及定義即可求解.【詳解】（1）因為，，所以，所以，，故.（2）∵，∴，∵為菱形，∴，∴，即.12．在△ABC中，已知，，，D為BC的中點，E為AB邊上的一個動點，AD與CE交于點O.設(shè).(1)若，求的值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)向量的線性運算得到和，從而得到，，即可得到.（2）首先根據(jù)題意得到，根據(jù)，，得到，從而得到，再求解最小值即可.【詳解】（1）因為C，O，E三點共線，所以有，即，得，同理可設(shè)，所以得，，解得.所以，即.（2）解：，由（1）可知，，所以，所以，令，則，等號當且僅當，即時，的最小值為.13．在如圖所示的平面圖形中，已知，，，，求：(1)設(shè)，求的值；(2)若，且，求的最小值及此時的夾角.【答案】(1)(2)的最小值為，為.【分析】（1）由向量的減法公式，結(jié)合題意和平面向量共線定理，即可求得，進而求出結(jié)果；（2）記，因為，所以，設(shè)，根據(jù)平面向量加法理和平面向量共線定可得，進而求得，化簡整理可得，再根據(jù)二次函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）解：因為，，所以，所以，即.（2）解：記，因為，所以，設(shè)，則，所以當時，取最小值，即最小值為，又，所以，所以，即，所以的最小值為，此時為.14．如圖所示，是的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于，兩點.(1)求證：；(2)設(shè)，，，，求的值；(3)如果是邊長為的等邊三角形，