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時(shí)間序列分析:方法與應(yīng)用(第二版)ARMA模型_第2頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

ARMA模型一、

概述(一)模型引進(jìn)多元線性回歸

自回歸移動(dòng)平均模型簡(jiǎn)單平均:序列平穩(wěn)

圍繞均值波動(dòng)y

y

...

y1

2TFT

1Y=

=T

y

y

...

y

yFT

2

Y

1

2T

T

1=

=T1移動(dòng)平均:近期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)的影響更重要加進(jìn)新數(shù)據(jù),則刪除遠(yuǎn)離現(xiàn)在的數(shù)據(jù)y

y

...

y1

2TF

YT

=1=Ty

...

y

y2T

T

1FYT

2==TT的作用:平滑數(shù)據(jù)T的取值:自然數(shù)數(shù)值大小對(duì)結(jié)果的影響2y1以均值替代

有1y

FT

1

T

1F

FT

T

=

1+

(2)T1eT

1FT

1=+T特點(diǎn):利用誤差修正,調(diào)整前期預(yù)測(cè)值跟蹤數(shù)據(jù)變化時(shí)間序列可以用過(guò)去的誤差項(xiàng)表出eyeb

e

ttt

1

t

k=b

++……+

bk+103(二)

方法性工具1.

自相關(guān)函數(shù)1)

自相關(guān)含義時(shí)間序列諸項(xiàng)之間的簡(jiǎn)單相關(guān)2)

自相關(guān)系數(shù)n

k

(Y

Y

)

(Y

Y

)Tt

k計(jì)算公式rk

1Tn

(Yt

Y

)2t

1式中:n為樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù);k為滯后期;Y為樣本數(shù)據(jù)平均值。4r自相關(guān)系數(shù)

與簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)一樣,取值范k圍為[-1,+1]。其絕對(duì)值越接近于1,表明自相關(guān)程度越高。

nn最大滯后階數(shù)k取

、

、

n

,n為觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

10

4

例2.13)

自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布完全隨機(jī)序列自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布,近似于以0為均值,

為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布。5對(duì)于給定的概率F(t)可以構(gòu)成一個(gè)置信區(qū)間時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)全部落入這個(gè)區(qū)間,則可斷定其為完全隨機(jī)的序列。不同的樣本容量,可以構(gòu)成不同的隨機(jī)區(qū)間。rk將時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)繪制成圖,并標(biāo)出一定的隨機(jī)區(qū)間,被稱作自相關(guān)分析圖。它可以分析時(shí)序的特性以及識(shí)別時(shí)序中存在的模型。2.

偏自相關(guān)含義:時(shí)間序列

t

,在給定了

,yyt

1yy

yt

2y

t

t

k,……,t

k

1

條件下,

與之間的條件相關(guān)。

偏自相關(guān)系數(shù):

k8計(jì)算公式

rk

1k

1

k

1

r

r

k

1,

j

k

j

k

j

12,3...kk

k

1

1rk

1,

j

j

j

1其中,

j

k

1,2,...,

1kjk

1

jkkk

1,k

j取值

同自相關(guān)系數(shù),在正負(fù)1之間例2.29二、時(shí)序特性的分析1.隨機(jī)性的測(cè)定若一個(gè)時(shí)間序列由完全隨機(jī)的數(shù)字構(gòu)成,那么這個(gè)序列的各項(xiàng)之間不會(huì)有任何相關(guān)關(guān)系,序列為純隨機(jī)序列,即完全隨機(jī)的序列。純隨機(jī)序列中不會(huì)存在任何模型。測(cè)定時(shí)序的隨機(jī)性,可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)方法也可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)方法是依據(jù)時(shí)序的自相關(guān)系數(shù)。時(shí)序的自相關(guān)系數(shù)基本落入隨機(jī)區(qū)間,該時(shí)間序列為純隨機(jī)序列;有較多自相關(guān)系數(shù)落入隨機(jī)區(qū)間外,時(shí)間序列就是非純隨機(jī)序列。10純隨機(jī)序列的自相關(guān)圖非純隨機(jī)序列的自相關(guān)圖11二、時(shí)序特性的分析1.隨機(jī)性的測(cè)定若一個(gè)時(shí)間序列由完全隨機(jī)的數(shù)字構(gòu)成,那么這個(gè)序列的各項(xiàng)之間不會(huì)有任何相關(guān)關(guān)系,序列為純隨機(jī)序列,即完全隨機(jī)的序列。純隨機(jī)序列中不會(huì)存在任何模型。測(cè)定時(shí)序的隨機(jī)性,可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)方法也可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)方法是依據(jù)時(shí)序的自相關(guān)系數(shù)。時(shí)序的自相關(guān)系數(shù)基本落入隨機(jī)區(qū)間,該時(shí)間序列為純隨機(jī)序列;有較多自相關(guān)系數(shù)落入隨機(jī)區(qū)間外,時(shí)間序列就是非純隨機(jī)序列。122.時(shí)序的平穩(wěn)性(1)

平穩(wěn)的含義和判定描述性定義:如果一個(gè)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間推移而變化,即滿足下面兩個(gè)條件:對(duì)于任意的時(shí)間t,其均值恒為一常數(shù);對(duì)于任意的時(shí)間t和s,其自相關(guān)系數(shù)只與時(shí)間間隔t-s有關(guān),而與t和s的起始點(diǎn)無(wú)關(guān),則被稱為平穩(wěn)時(shí)間序列。rk自相關(guān)的特點(diǎn):

自相關(guān)系數(shù)

在K等于2或3后迅速趨于零。13SY16012080400-40-807273

7475

76

777879

8081

82平穩(wěn)時(shí)間序列曲線圖14平穩(wěn)時(shí)序自相關(guān)分析圖15Y3,5003,0002,5002,0001,5001,000500080828486889092949698非平穩(wěn)時(shí)間序列曲線圖非平穩(wěn)時(shí)序自相關(guān)分析曲線圖非平穩(wěn)時(shí)序自相關(guān)分析曲線圖(2)時(shí)序趨勢(shì)的消除非平穩(wěn)性能夠被消除的時(shí)間序列稱為齊次非平穩(wěn)時(shí)間序列。一階差分(逐期、短差)▽Yt=Yt-Yt-1

(t>1)二階差分▽(▽Yt)=

▽2Yt=▽(Yt-Yt-1)=▽Yt-▽Yt-1=Yt-2Yt-1-Yt-2

(t>2)19d階差分Z

Y

(t>d)

dttB

Yt

Y2引進(jìn)后移算子B,記,B

Y

表示Y

,t

t

12t以此類推,進(jìn)行d階差分可表示為(1

-

B)Y

,dt即有

dZ

(1

-

B)Y

(t>d)tt203.

時(shí)序的季節(jié)性識(shí)別1)含義:季節(jié)性是指時(shí)間序列在某一固定時(shí)間間隔上,重復(fù)出現(xiàn)前面的某種特性。這種規(guī)律通常由于季節(jié)變化所引起,稱具有這種特性的時(shí)間序列為季節(jié)性序列。時(shí)間序列的季節(jié)周期常用的時(shí)間單位是月、季。2)識(shí)別:自相關(guān)系數(shù)與0的顯著性差異查看時(shí)滯k=12,24,36,···時(shí)的自相關(guān)系數(shù);k=4,8,12,···時(shí)的自相關(guān)系數(shù)。當(dāng)序列有較強(qiáng)趨勢(shì)時(shí),其自相關(guān)系數(shù)常表現(xiàn)出趨勢(shì)性季節(jié)性會(huì)被掩蓋,趨勢(shì)去除后方可通過(guò)自相關(guān)系數(shù)識(shí)別。Y4003503002502001501005007273747576777879808182汗衫背心零售量時(shí)序圖22汗衫背心零售量自相關(guān)分析圖23Y9,0008,0007,0006,0005,0004,0003,0002,0001,000080828486889092949698商品零售額曲線圖24汗衫背心零售量自相關(guān)分析圖25季節(jié)性消除:時(shí)序的季節(jié)性也可以通過(guò)差分的方法加以消除。注意差分步長(zhǎng)一階季節(jié)差分(月度)

Y

Y

Y(t

12)12

ttt

12二階季節(jié)差分

2Y

Y

Y()12

ttt

12

(Y

Y

)

(Y

Y

)tt

12t

12t

24

Y

2Y

Y(t

24)tt

12t

2426D階差分t>Ds引進(jìn)后移算子B,也可以寫(xiě)成W

(1

B

)

Y

s

D

t>Dstt示例

商品零售額序列季節(jié)性識(shí)別一階逐期差分自相關(guān)分析圖圖28季節(jié)差分后自相關(guān)分析圖圖29三、ARMA模型及其改進(jìn)(一)ARMA模型1.

自回歸模型

AR(p)模型的一般形式Y(jié)

Y

Y

......

Y

et1

t

12

t

2p

t

pt引進(jìn)自回歸算子

1

-

......

BB

Bp

B2p12模型可以寫(xiě)成e

(B)

y

=tt模型參數(shù)約束條件

(B)=0的所有根都在單位園外。

(B)

稱為AR(p)特征多項(xiàng)式,

是特征多項(xiàng)式的系數(shù),B的值是特征多項(xiàng)式的根。AR

(p)

序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)r:拖尾性k32

k

:截尾性

1

j

p

1

j

kj

pj

k0

0

k

p

kk

0

k

p

332.移動(dòng)平均模型

MA(

q

)模型形式Y(jié)

e

e

e

......

ett1

t

12

t

2q

t

q引進(jìn)移動(dòng)平均算子

(B)

1

-

......

BB

BB2q12q模型可以寫(xiě)成

(B)yet

=

t34MA

(q)

序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)rk

:截尾性

...

1

k

qk1

k

1q

kq

rk

21

22...

2q

1

k

q

0

35

:拖尾性k363.

AR與MA間的對(duì)偶性1)相互表出

1AR(P)

(B)

y

eyet

=

tt

=

t(B)eyt

可以用既往的

t有限加權(quán)和表出yte可以用既往的

t無(wú)限加權(quán)和表出e

1

y

e

(B)y

t

t(B)

=MA

(q)=ttyet

可以用既往的

有限加權(quán)和表出tyett

可以用既往的

無(wú)限加權(quán)和表出2)相關(guān)函數(shù)拖尾和截尾3)平穩(wěn)與可逆若一個(gè)序列可以用無(wú)限階的自回歸模型逼近,即逆函數(shù)存在,稱為具有可逆性,也就是可逆的。AR有條件平穩(wěn),MA無(wú)條件平穩(wěn);AR無(wú)條件可逆,MA有條件可逆。383.

自回歸移動(dòng)平均混合模型ARMA(

p,

q

)1)模型形式Y(jié)

Y

Y

...

Y

e

e

...

et1

t

12

t

2p

t

pt1

t

1q

t

q引進(jìn)后移算子可以寫(xiě)為

(B)Yt

(B)etB

B

(

)

1

...

BpB12pB

B

(

)

1

...

BqB12q392)

ARMA

(p,q)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)r

k:拖尾性:拖尾性k40(二)

ARMA模型的改進(jìn)序列經(jīng)過(guò)某些處理后,可能生成一個(gè)平穩(wěn)的新序列,從而可用ARMA(p,q)模型加以描述。逐期差分平穩(wěn)季節(jié)差分平穩(wěn)逐期差分再季節(jié)差分平穩(wěn)改進(jìn)的自回歸—求和—移動(dòng)平均模型411.

ARIMA(p,d,q)模型序列僅存在趨勢(shì),且經(jīng)過(guò)d階逐期差分可以平穩(wěn)模型形式

(B)(1

B)

Y

(B)edtt或

(B

)

Y

(B

)edttARIMA(1,1,1)[1

(1

)

B

B2

Y

e

e]11tt1

t

1Y

(1

)Y

Y

e

e也可以寫(xiě)成t1t

11

t

2t1

t

1422.

ARIMA(P,

D,Q)s

模型序列僅存在季節(jié)變動(dòng)而沒(méi)有明顯的趨勢(shì),且通過(guò)D階季節(jié)差分季節(jié)變化基本消除模型形式

(B)Y

(1

B

)

(B)e

s

Dtt

(

)

1

1Bs

B2s

......

B

是季節(jié)自回歸算子,PPs其中,

B2P是季節(jié)自回歸階數(shù);是季節(jié)移動(dòng)

(B)

1

Bs

B2s

......

BQs12Q平均算子,Q

是季節(jié)移動(dòng)平均階數(shù);D是季節(jié)差分階數(shù);s是季節(jié)周期長(zhǎng)度。ARIMA(1,1,1)4

(1

B

)(1

B

)Y

(1

B

)e4

4

41t1t也可以寫(xiě)成Y

(

1)Y

Y

e

et1t

41

t

8t1

t

4433.模型ARIMA(

p,d,q)(P,

D,Q)s通過(guò)逐期差分和季階差分序列可以平穩(wěn)模型形式(B)

(B

)(1

B)

(1

B

)

Y

(B)

(B

)e

s

d

s

D

stt或(B)

(B

)

Y

s

d

Ds

t(B)

(B

)e

spPqQtARIMA(1,1,1)(1,1,1)4

4

4

4(1

B)(1

B

)(1

B)(1

B

)Y

(1

B)(1

B

)e11t11t也可以寫(xiě)成Y

(1

)Y

(1

)Y

Y

(1

)Yt1t

11t

41

t

21111t

5

(

)Y

Y

(

)Y

Y

e

e

e

e111t

61

t

8111t

911

t

10t1

t

11

t

411

t

544四、

隨機(jī)時(shí)序模型的建立(一)模型識(shí)別1.

差分化識(shí)別差分階數(shù)d

,D通常d和D取0,1,2,需要取更高階的情況,需慎重。45IY1,6001,200800d=14000-400-80080828486889092949698商品零售額一階逐期差分序列46SY4003002001000D=1-100-200-30080828486889092949698商品零售額一階逐期差分一階季節(jié)差分序列472.

選擇p、q可以借用AR模型、MA模型的自相關(guān)、偏自相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn),為平穩(wěn)序列選出備選的階數(shù)483.選擇P,Q含有季節(jié)變化的時(shí)間序列,在模型識(shí)別時(shí),除考慮上面兩點(diǎn)外,還須考慮季節(jié)自回歸和季節(jié)移動(dòng)平均的階數(shù)P、Q。識(shí)別的基本原則和方法與識(shí)別p、q相同,只是在觀察自相關(guān)及偏自相關(guān)函數(shù)時(shí),只分析k=12(或4),24(或8)······時(shí)的情況。49續(xù)前面示例d=1,

D=1,

p=0

1

q=0

1

P=2

Q=1

,組合備選或

,

,

,模型504.定階的最小信息準(zhǔn)則

越小越好(1)AIC準(zhǔn)則2L

2kAIC

n

n式中,L是對(duì)數(shù)似然函數(shù)值,n是觀測(cè)值數(shù)目,k是被估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)。(2)SC準(zhǔn)則2L

k

log

nSC

nn符號(hào)意義同上。(3)HQC準(zhǔn)則2L

2k

log

nHQC

nn符號(hào)意義同前。51(二)參數(shù)估計(jì)

初估計(jì)

精估計(jì)(三)模型檢驗(yàn)1.

直觀判斷

殘差序列完全隨機(jī)的判定殘差序列的自相關(guān)系數(shù)是否落入隨機(jī)區(qū)間殘差序列的自相關(guān)與0無(wú)顯著不同,或說(shuō)基本落入隨機(jī)區(qū)間,殘差序列為白噪聲即完全隨機(jī)。殘差序列的自相關(guān)有顯著不為0的,或說(shuō)有較多的落入隨機(jī)區(qū)間外,殘差序列不是白噪聲即非隨機(jī)。適合模型殘差的自相關(guān)分析圖不適合模型殘差的自相關(guān)分析圖

22.

檢驗(yàn)原假設(shè):殘差序列相互獨(dú)立m

Q

[

N

(e)]

2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量kk

1m

N

2k(e)k

1

2服從

m–

p–q)分布。其中,m

是最大時(shí)滯數(shù),rn為計(jì)算

(e)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。k543.LM檢驗(yàn)檢驗(yàn)是將有限制和無(wú)限制模型進(jìn)行比較作出判斷。有限制條件的模型記作R,可以寫(xiě)成AR(p)的形式e

Y

Y

......

Ytt1

t

1p

t

p無(wú)限制條件模型記作UR,可以寫(xiě)成AR(p+r)的形式e

Y

Y

......

Y

Y

......

Ytt1

t

1pt

pp

1

t

p

1p

r

t

p

r或ARMA(p,r)e

Y

Y

......

Y

e

......

ett1

t

1p

t

p1

t

1r

t

r原假設(shè):殘差序列不存在自相關(guān),即AR(p)模型合理

2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

LM

nR其服從自由度為r的

2

分布,r是UR模型與R模型待估計(jì)2參數(shù)個(gè)數(shù)之差。

是UR模型的擬合優(yōu)度。R55例5.1五、時(shí)序模型預(yù)測(cè)1.最小方差預(yù)測(cè):使時(shí)間序列未來(lái)值的預(yù)測(cè)誤差盡可能小預(yù)測(cè)誤差

eWk(L)=

-

(L)

的方差k

LWk

22e))E(

(L)

=E(W

-

(L)k

k

LWk應(yīng)達(dá)到最小

。56也就是要使選擇的時(shí)間序列L步預(yù)測(cè)值(L)與時(shí)間序列實(shí)際值之間距離比其它任何一點(diǎn)都短。2.預(yù)測(cè)值的計(jì)算1)

AR序列的預(yù)測(cè)

遞推W

(1)

W

W

...

Wk1k2k

1pk

p

1W

(2)

W

(1)

W

...

Wk1k2kpk

p

2……W

(p)

W

(p

1)

W

(p

2)

...

W

(1)

Wkk1k2kp

1kpW

(L)

W

(L

1)

W

(L

2)

...

W

(L

p

1)

W

(L

p)k1k2kp

1kpkL

p572)

MA序列的預(yù)測(cè)

遞推MA(1)序列預(yù)測(cè)Y

e

e若模型為tt1

t

1在t=k時(shí)刻進(jìn)行一步預(yù)測(cè)有

Yk(1)

e1

k進(jìn)行二步預(yù)測(cè)有

Yk(2)

e1

k

1由于k+1時(shí)刻沒(méi)有到來(lái),故無(wú)法得到k+1時(shí)刻殘差的估計(jì)值。對(duì)于MA(1)序列只能進(jìn)行外推一步的預(yù)測(cè)。類似地MA(q)序列只能進(jìn)行q步預(yù)測(cè)。583.預(yù)測(cè)的置信限U

W

(L)

T

V

(L)

SUKeU

W

(L)

T

V

(L)

SLKeKL

1

2

ee

/

k

p

q

V

(L)2

2

1/

2V(L)

(1S)t0jT

1

j

159示

例我國(guó)工業(yè)總產(chǎn)值預(yù)測(cè)

計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)1.建立工作文件File/New/Workfile月度數(shù)據(jù),點(diǎn)選M,輸入起始時(shí)間和終止時(shí)間1990:01

1997:122.讀入數(shù)據(jù)File/Import/Excel找到文件存儲(chǔ)路徑(如A盤(pán)或D盤(pán)),然后在對(duì)話框中,輸入變量的個(gè)數(shù)1,點(diǎn)擊OK。603.繪制時(shí)序圖Quick/Graph/Line

Graph/y觀察序列的特點(diǎn)4.選擇模型季節(jié)乘法模型ARIMA模型保留一年數(shù)據(jù),作為試預(yù)測(cè)用。在窗口輸入SMPL

1990:01

1996:1261(1)季節(jié)性交乘趨向模型輸入時(shí)間變量t(可調(diào)入,也可直接輸入)建立趨勢(shì)方程:LS

Y

C

t在回歸結(jié)果窗口,點(diǎn)選Forcast,命名預(yù)測(cè)值序列,例如為YF,則YF為各期趨勢(shì)值。求各期季節(jié)比:GENR

V=Y/YF62求理論季節(jié)指數(shù):Quick/Series

Statistics/Seasonal

Adjustment在對(duì)話框中點(diǎn)選乘法,并為因子命名,如S,點(diǎn)擊OK,屏幕出現(xiàn)結(jié)果,S同時(shí)保存在內(nèi)存中。求估計(jì)值:GENR

YT=YF*S若記住參數(shù)(截距、斜率)的數(shù)值,也可以直接定義GENR

YT=(1374.9597+35.5915*t)*S63模型分析評(píng)價(jià):繪制時(shí)間序列實(shí)際值與預(yù)測(cè)值曲線圖Quick/Graph/Line

Graph/Y

YT計(jì)算MAPEGENR

APE=ABS((Y-YT)/Y)Quick/

SeriesStatistics/Histogram

andStats觀察均值Mean,乘以100則為MAPE。64試預(yù)測(cè):擴(kuò)展樣本期

SMPL

1990:01

1997:12GENR

YT=(1374.9597+

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