時(shí)間序列分析：方法與應(yīng)用（第二版）ARMA模型

ARMA模型一、

概述（一）模型引進(jìn)多元線性回歸

自回歸移動(dòng)平均模型簡(jiǎn)單平均：序列平穩(wěn)

圍繞均值波動(dòng)y

y

...

y1

2TFT

1Y=

=T

y

y

...

y

yFT

2

Y

1

2T

T

1=

=T1移動(dòng)平均：近期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)的影響更重要加進(jìn)新數(shù)據(jù)，則刪除遠(yuǎn)離現(xiàn)在的數(shù)據(jù)y

y

...

y1

2TF

YT

=1=Ty

...

y

y2T

T

1FYT

2==TT的作用：平滑數(shù)據(jù)T的取值：自然數(shù)數(shù)值大小對(duì)結(jié)果的影響2y1以均值替代

有1y

FT

1

T

1F

FT

T

=

1+

（2）T1eT

1FT

1=+T特點(diǎn)：利用誤差修正，調(diào)整前期預(yù)測(cè)值跟蹤數(shù)據(jù)變化時(shí)間序列可以用過(guò)去的誤差項(xiàng)表出eyeb

e

ttt

1

t

k=b

++……+

bk+103（二）

方法性工具1.

自相關(guān)函數(shù)1）

自相關(guān)含義時(shí)間序列諸項(xiàng)之間的簡(jiǎn)單相關(guān)2）

自相關(guān)系數(shù)n

k

(Y

Y

)

(Y

Y

)Tt

k計(jì)算公式rk

1Tn

(Yt

Y

)2t

1式中：n為樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；k為滯后期；Y為樣本數(shù)據(jù)平均值。4r自相關(guān)系數(shù)

與簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)一樣，取值范k圍為[-1,+1]。其絕對(duì)值越接近于1，表明自相關(guān)程度越高。

nn最大滯后階數(shù)k取

、

、

n

，n為觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

10

4

例2.13）

自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布完全隨機(jī)序列自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布，近似于以0為均值，

為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布。5對(duì)于給定的概率F（t）可以構(gòu)成一個(gè)置信區(qū)間時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)全部落入這個(gè)區(qū)間，則可斷定其為完全隨機(jī)的序列。不同的樣本容量，可以構(gòu)成不同的隨機(jī)區(qū)間。rk將時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)繪制成圖，并標(biāo)出一定的隨機(jī)區(qū)間，被稱作自相關(guān)分析圖。它可以分析時(shí)序的特性以及識(shí)別時(shí)序中存在的模型。2.

偏自相關(guān)含義：時(shí)間序列

t

，在給定了

，yyt

1yy

yt

2y

t

t

k，……，t

k

1

條件下，

與之間的條件相關(guān)。

偏自相關(guān)系數(shù)：

k8計(jì)算公式

rk

1k

1

k

1

r

r

k

1,

j

k

j

k

j

12,3...kk

k

1

1rk

1,

j

j

j

1其中，

j

k

1,2,...,

1kjk

1

jkkk

1,k

j取值

同自相關(guān)系數(shù)，在正負(fù)1之間例2.29二、時(shí)序特性的分析1.隨機(jī)性的測(cè)定若一個(gè)時(shí)間序列由完全隨機(jī)的數(shù)字構(gòu)成，那么這個(gè)序列的各項(xiàng)之間不會(huì)有任何相關(guān)關(guān)系，序列為純隨機(jī)序列，即完全隨機(jī)的序列。純隨機(jī)序列中不會(huì)存在任何模型。測(cè)定時(shí)序的隨機(jī)性，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)方法也可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)方法是依據(jù)時(shí)序的自相關(guān)系數(shù)。時(shí)序的自相關(guān)系數(shù)基本落入隨機(jī)區(qū)間，該時(shí)間序列為純隨機(jī)序列；有較多自相關(guān)系數(shù)落入隨機(jī)區(qū)間外，時(shí)間序列就是非純隨機(jī)序列。10純隨機(jī)序列的自相關(guān)圖非純隨機(jī)序列的自相關(guān)圖11二、時(shí)序特性的分析1.隨機(jī)性的測(cè)定若一個(gè)時(shí)間序列由完全隨機(jī)的數(shù)字構(gòu)成，那么這個(gè)序列的各項(xiàng)之間不會(huì)有任何相關(guān)關(guān)系，序列為純隨機(jī)序列，即完全隨機(jī)的序列。純隨機(jī)序列中不會(huì)存在任何模型。測(cè)定時(shí)序的隨機(jī)性，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)方法也可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)方法是依據(jù)時(shí)序的自相關(guān)系數(shù)。時(shí)序的自相關(guān)系數(shù)基本落入隨機(jī)區(qū)間，該時(shí)間序列為純隨機(jī)序列；有較多自相關(guān)系數(shù)落入隨機(jī)區(qū)間外，時(shí)間序列就是非純隨機(jī)序列。122.時(shí)序的平穩(wěn)性（1）

平穩(wěn)的含義和判定描述性定義：如果一個(gè)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間推移而變化，即滿足下面兩個(gè)條件：對(duì)于任意的時(shí)間t，其均值恒為一常數(shù)；對(duì)于任意的時(shí)間t和s，其自相關(guān)系數(shù)只與時(shí)間間隔t-s有關(guān)，而與t和s的起始點(diǎn)無(wú)關(guān),則被稱為平穩(wěn)時(shí)間序列。rk自相關(guān)的特點(diǎn)：

自相關(guān)系數(shù)

在K等于2或3后迅速趨于零。13SY16012080400-40-807273

7475

76

777879

8081

82平穩(wěn)時(shí)間序列曲線圖14平穩(wěn)時(shí)序自相關(guān)分析圖15Y3,5003,0002,5002,0001,5001,000500080828486889092949698非平穩(wěn)時(shí)間序列曲線圖非平穩(wěn)時(shí)序自相關(guān)分析曲線圖非平穩(wěn)時(shí)序自相關(guān)分析曲線圖（2）時(shí)序趨勢(shì)的消除非平穩(wěn)性能夠被消除的時(shí)間序列稱為齊次非平穩(wěn)時(shí)間序列。一階差分（逐期、短差）▽Yt=Yt-Yt-1

(t＞1)二階差分▽(▽Yt)=

▽2Yt=▽(Yt-Yt-1)=▽Yt-▽Yt-1=Yt-2Yt-1-Yt-2

(t＞2)19d階差分Z

Y

(t>d)

dttB

Yt

Y2引進(jìn)后移算子B，記，B

Y

表示Y

，t

t

12t以此類推，進(jìn)行d階差分可表示為（1

-

B）Y

，dt即有

dZ

（1

-

B）Y

(t>d)tt203.

時(shí)序的季節(jié)性識(shí)別1）含義：季節(jié)性是指時(shí)間序列在某一固定時(shí)間間隔上，重復(fù)出現(xiàn)前面的某種特性。這種規(guī)律通常由于季節(jié)變化所引起，稱具有這種特性的時(shí)間序列為季節(jié)性序列。時(shí)間序列的季節(jié)周期常用的時(shí)間單位是月、季。2）識(shí)別：自相關(guān)系數(shù)與0的顯著性差異查看時(shí)滯k=12，24，36，···時(shí)的自相關(guān)系數(shù)；k=4，8，12，···時(shí)的自相關(guān)系數(shù)。當(dāng)序列有較強(qiáng)趨勢(shì)時(shí)，其自相關(guān)系數(shù)常表現(xiàn)出趨勢(shì)性季節(jié)性會(huì)被掩蓋，趨勢(shì)去除后方可通過(guò)自相關(guān)系數(shù)識(shí)別。Y4003503002502001501005007273747576777879808182汗衫背心零售量時(shí)序圖22汗衫背心零售量自相關(guān)分析圖23Y9,0008,0007,0006,0005,0004,0003,0002,0001,000080828486889092949698商品零售額曲線圖24汗衫背心零售量自相關(guān)分析圖25季節(jié)性消除：時(shí)序的季節(jié)性也可以通過(guò)差分的方法加以消除。注意差分步長(zhǎng)一階季節(jié)差分（月度）

Y

Y

Y(t

12)12

ttt

12二階季節(jié)差分

2Y

Y

Y()12

ttt

12

(Y

Y

)

(Y

Y

)tt

12t

12t

24

Y

2Y

Y(t

24)tt

12t

2426D階差分t＞Ds引進(jìn)后移算子B，也可以寫(xiě)成W

(1

B

)

Y

s

D

t>Dstt示例

商品零售額序列季節(jié)性識(shí)別一階逐期差分自相關(guān)分析圖圖28季節(jié)差分后自相關(guān)分析圖圖29三、ARMA模型及其改進(jìn)（一）ARMA模型1.

自回歸模型

AR（p）模型的一般形式Y(jié)

Y

Y

......

Y

et1

t

12

t

2p

t

pt引進(jìn)自回歸算子

（

）

1

-

......

BB

Bp

B2p12模型可以寫(xiě)成e

(B)

y

=tt模型參數(shù)約束條件

(B)=0的所有根都在單位園外。

(B)

稱為AR（p）特征多項(xiàng)式，

是特征多項(xiàng)式的系數(shù)，B的值是特征多項(xiàng)式的根。AR

(p)

序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)r：拖尾性k32

k

：截尾性

1

j

p

1

j

kj

pj

k0

0

k

p

kk

0

k

p

332.移動(dòng)平均模型

MA(

q

)模型形式Y(jié)

e

e

e

......

ett1

t

12

t

2q

t

q引進(jìn)移動(dòng)平均算子

(B)

（

）

1

-

......

BB

BB2q12q模型可以寫(xiě)成

(B)yet

=

t34MA

(q)

序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)rk

：截尾性

...

1

k

qk1

k

1q

kq

rk

21

22...

2q

1

k

q

0

35

：拖尾性k363.

AR與MA間的對(duì)偶性1）相互表出

1AR（P）

(B)

y

eyet

=

tt

=

t(B)eyt

可以用既往的

t有限加權(quán)和表出yte可以用既往的

t無(wú)限加權(quán)和表出e

1

y

e

(B)y

t

t(B)

=MA

(q)=ttyet

可以用既往的

有限加權(quán)和表出tyett

可以用既往的

無(wú)限加權(quán)和表出2）相關(guān)函數(shù)拖尾和截尾3）平穩(wěn)與可逆若一個(gè)序列可以用無(wú)限階的自回歸模型逼近，即逆函數(shù)存在，稱為具有可逆性，也就是可逆的。AR有條件平穩(wěn)，MA無(wú)條件平穩(wěn)；AR無(wú)條件可逆，MA有條件可逆。383.

自回歸移動(dòng)平均混合模型ARMA(

p,

q

)1）模型形式Y(jié)

Y

Y

...

Y

e

e

...

et1

t

12

t

2p

t

pt1

t

1q

t

q引進(jìn)后移算子可以寫(xiě)為

(B)Yt

(B)etB

B

(

)

1

...

BpB12pB

B

(

)

1

...

BqB12q392）

ARMA

(p,q)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)r

k：拖尾性：拖尾性k40（二）

ARMA模型的改進(jìn)序列經(jīng)過(guò)某些處理后，可能生成一個(gè)平穩(wěn)的新序列，從而可用ARMA（p，q）模型加以描述。逐期差分平穩(wěn)季節(jié)差分平穩(wěn)逐期差分再季節(jié)差分平穩(wěn)改進(jìn)的自回歸—求和—移動(dòng)平均模型411.

ARIMA（p，d，q）模型序列僅存在趨勢(shì)，且經(jīng)過(guò)d階逐期差分可以平穩(wěn)模型形式

(B)(1

B)

Y

(B)edtt或

(B

)

Y

(B

)edttARIMA（1，1，1）[1

(1

)

B

B2

Y

e

e]11tt1

t

1Y

(1

)Y

Y

e

e也可以寫(xiě)成t1t

11

t

2t1

t

1422.

ARIMA(P,

D,Q)s

模型序列僅存在季節(jié)變動(dòng)而沒(méi)有明顯的趨勢(shì)，且通過(guò)D階季節(jié)差分季節(jié)變化基本消除模型形式

(B)Y

(1

B

)

(B)e

s

Dtt

(

)

1

1Bs

B2s

......

B

是季節(jié)自回歸算子，PPs其中，

B2P是季節(jié)自回歸階數(shù)；是季節(jié)移動(dòng)

(B)

1

Bs

B2s

......

BQs12Q平均算子，Q

是季節(jié)移動(dòng)平均階數(shù)；D是季節(jié)差分階數(shù)；s是季節(jié)周期長(zhǎng)度。ARIMA(1,1,1)4

(1

B

)(1

B

)Y

(1

B

)e4

4

41t1t也可以寫(xiě)成Y

(

1)Y

Y

e

et1t

41

t

8t1

t

4433.模型ARIMA(

p,d,q)(P,

D,Q)s通過(guò)逐期差分和季階差分序列可以平穩(wěn)模型形式(B)

(B

)(1

B)

(1

B

)

Y

(B)

(B

)e

s

d

s

D

stt或(B)

(B

)

Y

s

d

Ds

t(B)

(B

)e

spPqQtARIMA(1,1,1)(1,1,1)4

4

4

4(1

B)(1

B

)(1

B)(1

B

)Y

(1

B)(1

B

)e11t11t也可以寫(xiě)成Y

(1

)Y

(1

)Y

Y

(1

)Yt1t

11t

41

t

21111t

5

(

)Y

Y

(

)Y

Y

e

e

e

e111t

61

t

8111t

911

t

10t1

t

11

t

411

t

544四、

隨機(jī)時(shí)序模型的建立（一）模型識(shí)別1.

差分化識(shí)別差分階數(shù)d

，D通常d和D取0,1,2，需要取更高階的情況，需慎重。45IY1,6001,200800d=14000-400-80080828486889092949698商品零售額一階逐期差分序列46SY4003002001000D=1-100-200-30080828486889092949698商品零售額一階逐期差分一階季節(jié)差分序列472.

選擇p、q可以借用AR模型、MA模型的自相關(guān)、偏自相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)，為平穩(wěn)序列選出備選的階數(shù)483.選擇P，Q含有季節(jié)變化的時(shí)間序列，在模型識(shí)別時(shí)，除考慮上面兩點(diǎn)外，還須考慮季節(jié)自回歸和季節(jié)移動(dòng)平均的階數(shù)P、Q。識(shí)別的基本原則和方法與識(shí)別p、q相同，只是在觀察自相關(guān)及偏自相關(guān)函數(shù)時(shí)，只分析k=12（或4），24（或8）······時(shí)的情況。49續(xù)前面示例d=1,

D=1,

p=0

1

q=0

1

P=2

Q=1

,組合備選或

，

或

，

，模型504.定階的最小信息準(zhǔn)則

越小越好（1）AIC準(zhǔn)則2L

2kAIC

n

n式中，L是對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，n是觀測(cè)值數(shù)目，k是被估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)。（2）SC準(zhǔn)則2L

k

log

nSC

nn符號(hào)意義同上。（3）HQC準(zhǔn)則2L

2k

log

nHQC

nn符號(hào)意義同前。51（二）參數(shù)估計(jì)

初估計(jì)

精估計(jì)（三）模型檢驗(yàn)1.

直觀判斷

殘差序列完全隨機(jī)的判定殘差序列的自相關(guān)系數(shù)是否落入隨機(jī)區(qū)間殘差序列的自相關(guān)與0無(wú)顯著不同，或說(shuō)基本落入隨機(jī)區(qū)間，殘差序列為白噪聲即完全隨機(jī)。殘差序列的自相關(guān)有顯著不為0的，或說(shuō)有較多的落入隨機(jī)區(qū)間外，殘差序列不是白噪聲即非隨機(jī)。適合模型殘差的自相關(guān)分析圖不適合模型殘差的自相關(guān)分析圖

22.

檢驗(yàn)原假設(shè)：殘差序列相互獨(dú)立m

Q

[

N

(e)]

2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量kk

1m

N

2k(e)k

1

2服從

（

m–

p–q）分布。其中，m

是最大時(shí)滯數(shù)，rn為計(jì)算

（e）的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。k543.LM檢驗(yàn)檢驗(yàn)是將有限制和無(wú)限制模型進(jìn)行比較作出判斷。有限制條件的模型記作R，可以寫(xiě)成AR(p)的形式e

Y

Y

......

Ytt1

t

1p

t

p無(wú)限制條件模型記作UR，可以寫(xiě)成AR(p+r)的形式e

Y

Y

......

Y

Y

......

Ytt1

t

1pt

pp

1

t

p

1p

r

t

p

r或ARMA(p,r)e

Y

Y

......

Y

e

......

ett1

t

1p

t

p1

t

1r

t

r原假設(shè)：殘差序列不存在自相關(guān)，即AR(p)模型合理

2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

LM

nR其服從自由度為r的

2

分布，r是UR模型與R模型待估計(jì)2參數(shù)個(gè)數(shù)之差。

是UR模型的擬合優(yōu)度。R55例5.1五、時(shí)序模型預(yù)測(cè)1.最小方差預(yù)測(cè)：使時(shí)間序列未來(lái)值的預(yù)測(cè)誤差盡可能小預(yù)測(cè)誤差

eWk（L）=

-

（L）

的方差k

LWk

22e))E（

（L）

=E（W

-

（L）k

k

LWk應(yīng)達(dá)到最小

。56也就是要使選擇的時(shí)間序列L步預(yù)測(cè)值（L）與時(shí)間序列實(shí)際值之間距離比其它任何一點(diǎn)都短。2.預(yù)測(cè)值的計(jì)算1）

AR序列的預(yù)測(cè)

遞推W

(1)

W

W

...

Wk1k2k

1pk

p

1W

(2)

W

(1)

W

...

Wk1k2kpk

p

2……W

(p)

W

(p

1)

W

(p

2)

...

W

(1)

Wkk1k2kp

1kpW

(L)

W

(L

1)

W

(L

2)

...

W

(L

p

1)

W

(L

p)k1k2kp

1kpkL

p572）

MA序列的預(yù)測(cè)

遞推MA（1）序列預(yù)測(cè)Y

e

e若模型為tt1

t

1在t=k時(shí)刻進(jìn)行一步預(yù)測(cè)有

Yk(1)

e1

k進(jìn)行二步預(yù)測(cè)有

Yk(2)

e1

k

1由于k+1時(shí)刻沒(méi)有到來(lái)，故無(wú)法得到k+1時(shí)刻殘差的估計(jì)值。對(duì)于MA（1）序列只能進(jìn)行外推一步的預(yù)測(cè)。類似地MA（q）序列只能進(jìn)行q步預(yù)測(cè)。583.預(yù)測(cè)的置信限U

W

(L)

T

V

(L)

SUKeU

W

(L)

T

V

(L)

SLKeKL

1

2

ee

/

k

p

q

V

(L)2

2

1/

2V(L)

(1S)t0jT

1

j

159示

例我國(guó)工業(yè)總產(chǎn)值預(yù)測(cè)

計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)1.建立工作文件File/New/Workfile月度數(shù)據(jù)，點(diǎn)選M，輸入起始時(shí)間和終止時(shí)間1990：01

1997：122.讀入數(shù)據(jù)File/Import/Excel找到文件存儲(chǔ)路徑（如A盤(pán)或D盤(pán)），然后在對(duì)話框中，輸入變量的個(gè)數(shù)1，點(diǎn)擊OK。603.繪制時(shí)序圖Quick/Graph/Line

Graph/y觀察序列的特點(diǎn)4.選擇模型季節(jié)乘法模型ARIMA模型保留一年數(shù)據(jù)，作為試預(yù)測(cè)用。在窗口輸入SMPL

1990：01

1996：1261（1）季節(jié)性交乘趨向模型輸入時(shí)間變量t（可調(diào)入，也可直接輸入）建立趨勢(shì)方程：LS

Y

C

t在回歸結(jié)果窗口，點(diǎn)選Forcast,命名預(yù)測(cè)值序列，例如為YF，則YF為各期趨勢(shì)值。求各期季節(jié)比：GENR

V=Y/YF62求理論季節(jié)指數(shù)：Quick/Series

Statistics/Seasonal

Adjustment在對(duì)話框中點(diǎn)選乘法，并為因子命名，如S，點(diǎn)擊OK，屏幕出現(xiàn)結(jié)果，S同時(shí)保存在內(nèi)存中。求估計(jì)值：GENR

YT=YF*S若記住參數(shù)（截距、斜率）的數(shù)值，也可以直接定義GENR

YT=（1374.9597+35.5915*t）*S63模型分析評(píng)價(jià)：繪制時(shí)間序列實(shí)際值與預(yù)測(cè)值曲線圖Quick/Graph/Line

Graph/Y

YT計(jì)算MAPEGENR

APE=ABS（（Y-YT）/Y）Quick/

SeriesStatistics/Histogram

andStats觀察均值Mean，乘以100則為MAPE。64試預(yù)測(cè)：擴(kuò)展樣本期

SMPL

1990：01

1997：12GENR

YT=（1374.9597+