2021年山東省青島市黃島區(qū)中考數(shù)學一模試卷（含解析）

2021年山東省青島市黃島區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.1的倒數(shù)是（)

2021

A.2021B.1C.-2021

20212021

2.第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月在我國北京市和張家口市聯(lián)合舉行，在

會微的圖案設計中，設計者常常利用對稱性進行設計，下列四個圖案是歷屆會徽圖案上

3.清代?袁枚的一首詩《苔》中的詩句：“白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學牡

丹開.”若苔花的花粉直徑約為0.0000084米，則數(shù)據(jù)0.0000084用科學記數(shù)法表示為

（）

A.8.4X10-5B.8.4X10-6C.84X107D.8.4X106

4.將一個大正方體的一角截去一個小正方體，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視

圖是（）

5.如圖，在平面直角坐標系中，△A8C位于第二象限，點A的坐標是（-2,3）,先把△

ABC向右平移5個單位長度得到△48C”再作△4B1G關于x軸對稱的△A2&C2,則

點A的對應點A:的坐標是（）

6.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,連接80.若AC=BC，NBDC=50°,則N4OC的度

數(shù)是（）

R

7.如圖，矩形ABCD中，點G,E分別在邊BC,OC上，連接AG,EG,AE,將和

△ECG分別沿AG,EG折疊，使點B,C恰好落在AE上的同一點，記為點凡若CE=

3,CG=4,則DE的長度為（）

8.在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能為

10.在學校的衛(wèi)生檢查中，規(guī)定各班的教室衛(wèi)生成績占30%,環(huán)境衛(wèi)生成績占40%,個人

衛(wèi)生成績占30%.八年級一班這三項成績分別為85分，90分和95分，求該班衛(wèi)生檢查

的總成績.

11.若二次函數(shù)y=-N+6x-的圖象與x軸沒有交點，則的取值范圍是

12.如圖，平面直角坐標系中，。8在x軸上，NA8O=90°,點4的坐標為（-1,2）,

將△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,點。的對應點。恰好落在雙曲線y=K上，則我的值

13.四邊形A8CO是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接。E交AB于點尸，ZAED=2

14.如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，切點為A,BC交。。于點。，直線。E

是0。的切線，切點為。，交AC于E,若0。半徑為1,BC=4,則圖中陰影部分的面

積為

Q

E

B

D

三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.已知：如圖，M,N分別是N8AC兩邊A8,AC上的點，連接MN.

求作：。。，使。。滿足以線段MN為弦，且圓心。到N84C兩邊的距離相等.

B

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

16.（1）化簡：（x-生均4-X2-4X+4.

x-1x-1

’5xT<3（x+l）

（2）解不等式組：2x-l5x+l/-

-2-

17.4張相同的卡片分別寫有數(shù)字1,2,3,4,將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1

張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標號為1,2,3的3個小球,

這些球除標號外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標號作為減數(shù).

（1）求這兩個數(shù)的差為0的概率；（用列表法或樹狀圖說明）

（2）如果游戲規(guī)則規(guī)定：當抽到的這兩個數(shù)的差為非負數(shù)時;則甲獲勝；否則，乙獲勝.你

認為這樣的規(guī)則公平嗎？如果不公平，請設計一個你認為公平的規(guī)則，并說明理由.

18.垃圾分類有利于對垃圾進行分流處理，能有效提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭物

盡其用.為了解同學們對垃圾分類相關知識的掌握情況，增強同學們的環(huán)保意識，某校

對八年級甲，乙兩班各60名學生進行了垃圾分類相關知識的測試，并分別抽取了15份

成績，整理分析過程如下，請補充完整.

【收集數(shù)據(jù)】

甲班15名學生測試成績統(tǒng)計如下：（滿分100分）

68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,78,85,69,76,80.

乙班15名學生測試成績統(tǒng)計如下：（滿分100分）

86,89,83,76,73,78,67,80,80,79,80,84,82,80,83.

【整理數(shù)據(jù)】（1）按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)

組別65.5?70.570.5?75.575.5?80.580.5?85.585.5?90.590.5?95.5

甲224511

乙11ab20

在表中，67=,b—.

（2）補全甲班15名學生測試成績的頻數(shù)分布直方圖.

班級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

甲80X8047.6

乙8080y26.2

（3）兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如表所示：在表中：x=,y

（4）若規(guī)定得分在80分及以上（含80分）為合格，請估計乙班60名學生中垃圾分類

及投放相關知識合格的學生有人.

（5）你認為哪個班的學生掌握垃圾分類相關知識的整體水平較好，說明理由.

19.某住宅小區(qū)有平行建設的南、北兩棟高層建筑.冬至日正午，南樓在北樓墻面上形成的

影子AF的高度為42米，此時太陽高度角（即正午太陽光線與水平面的夾角）

35。，夏至日正午，南樓在水平地面形成的影子與北樓的距離。尸為80米，此時太陽高

度角NC￡>E=80°.求兩樓間的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin35°弋0.57,cos35°七0.82,tan35°

心0.7,sin80°g0.98,cos80°^0.175,tan80°g5.6)

20.春節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃水餃的習俗.某商場在年前準備購進A、8兩種品

牌的水餃進行銷售，據(jù)了解，用3000元購買A品牌水餃的數(shù)量（袋）比用2880元購買

8品牌水餃的數(shù)量（袋）多40袋，且B品牌水餃的單價（元/袋）是A品牌水餃單價（元

/袋）的1.2倍.

（1）求A、8兩種品牌水餃的單價各是多少？

（2）若計劃購進這兩種品牌的水餃共220袋銷售，且購買A品牌水餃的費用不多于購買

8品牌水餃的費用，寫出總費用卬（元）與購買A品牌水餃數(shù)量，"（袋）之間的關系式，

并求出如何購買才能使總費用最低？最低是多少？

21.如圖1,已知矩形4BC。，連接AC,將△ABC沿AC所在直線翻折，得到△AEC,AE

交CD于點F.

（1）求證：DF=EF；

（2）如圖2,若30°,點G是AC的中點，連接。E,EG,求證：四邊形AOEG

是菱形.

22.某公司銷售一種商品，成本為每件20元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量y（件）

與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關系，其銷售單價、日銷售量的三組對應數(shù)值如下表：

銷售單價x（元）406080

日銷售量y（件）806040

（1）求y與x的關系式；

（2）若物價部門規(guī)定每件商品的利潤率不得超過100%,求公司銷售該商品獲得的最大

日利潤；

（3）若物價部門規(guī)定該商品銷售單價不能超過a元，并且由于某種原因，該商品每件成

本變成了之前的2倍，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元）保持（1）中函數(shù)關系不

變的情況下，該商品的日銷售最大利潤是1500元，求a的值.

23.【問題提出】：將一個邊長為〃（〃22）的菱形的四條邊”等分，連接各邊對應的等分

點，則該菱形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)和菱形個數(shù)分別是多少？

【問題探究】：要研究上面的問題，我們不妨先從特例入手，進而找到一般規(guī)律.

探究一：將一個邊長為2的菱形的四條邊分別2等分，連接各邊對應的等分點，則該菱

形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)和菱形個數(shù)分別是多少？

如圖1,從上往下，共有2行，我們先研究平行四邊形的個數(shù)：

（1）第一行有斜邊長為1,底長為1?2的平行四邊形，共有2+1=3個；

（2）第二行有斜邊長為1,底長為1?2的平行四邊形，共有2+1=3個；

為了便于歸納分析，我們把平行四邊形下面的底在第二行的所有平行四邊形均算作第二

行的平行四邊形，以下各行類同第二行.因此底第二行還包括斜邊長為2,底長為1?2

的平行四邊形，共有2+1=3個.

即：第二行平行四邊形共有2X3個.

所以如圖1,平行四邊形共有2X3+3=9=（2+1）2.

我們再研究菱形的個數(shù)：

分析：邊長為1的菱形共有22個，邊長為2的菱形共有了個，

所以：如圖1,菱形共有22+l占5==X2X3X5個.

6

探究二：將一個邊長為3的菱形的四條邊分別3等分，連接各邊對應的等分點，則該菱

形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)和菱形個數(shù)分別是多少？

如圖2,從上往下，共有3行，我們先研究平行四邊形的個數(shù)：

（1）第一行有斜邊長為1，底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個；

（2）第二行有斜邊長為1,底長為1?2的平行四邊形，共有3+2+1=6個；底在第二行

還包括斜邊長為2,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個，即：第二行平行四

邊形共有2X6個.

（3）第三行有斜邊長為1,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個；

底在第三行還包括斜邊長為2,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個.

底在第三行還包括斜邊長為3,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個，即：第

三行平行四邊形共有3X6個.

所以如圖2,平行四邊形共有3X6+2X6+6=（3+2+1）X6=（3+2+1）2.

我們再研究菱形的個數(shù)：分析：邊長為1的菱形共有32個，邊長為2的菱形共有22個，

邊長為3的菱形共有P個.所以：如圖2,菱形共有32+22+12=14=5X3X4X7個.

6

探究三：將一個邊長為4的菱形的四條邊分別4等分，連接各邊對應的等分點，則該菱

形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)和菱形個數(shù)分別是多少？

如圖3,從上往下，共有4行，我們先研究平行四邊形的個數(shù)：

（1）第一行有斜邊長為1,底長為1?4的平行四邊形，共有4+3+2+1=10個；

（2）第二行有斜邊長為1,底長為1?4的平行四邊形，共有4+3+2+1=10個；底在第

二行還包括斜邊長為2,底長為1?4的平行四邊形，共有4+3+2+1=10個，即：第二行

平行四邊形共有2X10個.

（3）模仿上面的探究，第三行平行四邊形總共有個.

（4）按照上邊的規(guī)律，第四行平行四邊形總共有個.

所以，如圖3,平行四邊形總共有個.

我們再研究菱形的個數(shù)：

分析：邊長為1的菱形共有42個，邊長為2的菱形共有32個，邊長為3的菱形共有22

個，邊長為4的菱形共有12個.

所以：如圖3,菱形共有42+32+22+12=”X個，（仿照前面的探究，寫成三個整

數(shù)相乘的形式）

【問題解決】將一個邊長為〃（〃22）的菱形的四條邊〃等分，連接各邊對應的等分點，

根據(jù)上邊的規(guī)律，得出該菱形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)是和菱形個數(shù)

分別是《X.（用含〃的代數(shù)式表示）

【問題應用】將一個邊長為，（〃>2）的菱形的四條邊〃等分，連接各邊對應的等分點，

若得出該菱形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)是441個，則〃=.

【拓展延伸】將一個邊長為〃（〃22）的菱形的四條邊〃等分，連接各邊對應的等分點，

當該菱形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)與菱形個數(shù)之比是135：19時，則n

24.已知：如圖，在矩形ABC￡>中，AB=24cm,BC=16cro,點E為邊CD的中點，連接

BE,EFLBE交于點F.點P從點B出發(fā)，沿BE方向勻速運動，速度為2c/n/s；同

時，點。從點A出發(fā)，沿A8方向勻速運動，速度為3c〃?/s.當一個點停止運動時，另一

個點也停止運動.設運動時間為t（s）（0<f<8）.解答下列問題：

（1）當，為何值時，點P在線段8。的垂直平分線上？

（2）連接產(chǎn)。，設五邊形AFEP。的面積為y（cm。）,求y與/的函數(shù)關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻f,使S砌彩AFEPQ：S^ABCD=33：64?若存在，

求出f的值：若不存在，請說明理由；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻f,使點。在NAFE的平分線上？若存在，求出

/的值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1

1.的倒數(shù)是（)

2021

1

A.2021B.C.-2021

20212021

【分析】直接利用倒數(shù)的定義得出答案.

解：-晨丁的倒數(shù)是：-2021.

2021

故選：C.

2.第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月在我國北京市和張家口市聯(lián)合舉行，在

會微的圖案設計中，設計者常常利用對稱性進行設計，下列四個圖案是歷屆會徽圖案上

的一部分圖形，其中不是軸對稱圖形的是（）

【分析】結合軸對稱圖形的概念進行求解即可.

解：4、是軸對稱圖形，本選項不合題意；

8、是軸對稱圖形，本選項不合題意；

C、是軸對稱圖形，本選項不合題意；

。、不是軸對稱圖形，本選項符合題意.

故選：D.

3.清代?袁枚的一首詩《苔》中的詩句：“白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學牡

丹開.”若苔花的花粉直徑約為0.0000084米，則數(shù)據(jù)0.0000084用科學記數(shù)法表示為

)

A.8.4X10-5B.8.4X106C.84X107D.8.4X106

【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為4X10,與較大

數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)幕，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)

字前面的0的個數(shù)所決定.

解：0.0000084=8.4X10-6,

故選：B.

4.將一個大正方體的一角截去一個小正方體，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視

圖是（）

【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都應表現(xiàn)在

左視圖中.

解：從幾何體的左邊看可得到一個正方形，正方形的右上角處有一個看不見的小正方形

畫為虛線，

故選：D.

5.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC位于第二象限，點A的坐標是（-2,3）,先把△

ABC向右平移5個單位長度得到△48C”再作△△由1G關于x軸對稱的△A2&C2,則

點A的對應點42的坐標是（）

A.(-3,3)B.(3,-3)C.(2,-3)D.(3,3)

【分析】首先利用平移的性質(zhì)得到△48C”進而利用關于x軸對稱點的性質(zhì)得到△

2c2,即可得出答案.

解：如圖所示：點A的對應點A2的坐標是：（3,-3）.

故選：B.

6.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于連接50.若公或，NBDC=50。，則N4OC的度

數(shù)是（）

A.125°B.130°C.135°D.140°

【分析】連接OA,OB,OC,根據(jù)圓周角定理得出NBOC=100。，再根據(jù)余=前得到

乙4OC,從而得到NABC,最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結果.

解：連接。A,OB,OC,

；NBDC=50°,

AZBOC=2ZBDC^100°,

7AC=BO

：.ZBOC=ZAOC=\OQ0,

AZABC=—ZAOC=50Q,

2

AZADC=]S0°-ZABC=\30°.

B

故選：B.

7.如圖，矩形ABC。中，點G,E分別在邊8C,DCh,連接AG,EG,AE,將△ABG和

△ECG分別沿AG,EG折疊，使點B,C恰好落在4E上的同一點，記為點尸.若CE=

3,CG=4,則。E的長度為（）

A.—B.—C.3D.—

332

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結合勾股定理求得GE=5,BC=AD=8,證得RtZsEG/sRt4

EAG,求AE的長，再利用勾股定理得到OE的長.

解：矩形A8CD中，GC=4,CE=3,ZC=90°,

???GE=yjCG2<E2=V42+32=5，

根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF,GF=GC=4f

CE=EF=3,ZAGB=ZAGF,

NEGC=NEGF,NGFE=NC=90°,

N8=N4尸G=90°,

：.BG=GF=GC=4,ZAFG+ZEFG=180°,

???8C=A￡>=8,點A,點尸，點￡三點共線，

VZAGB+ZAGF+ZEGC+ZEGF=180°,

AZAGE=90°,

ARtAEGF^RtAEAG,

,GEEF

?A?EG二」E,

?㈤哼

DE=｛血2_皿2T管「一產(chǎn),

故選：B.

8.在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y^ax+b和二次函數(shù)y^ax^+bx+c的圖象可能為

【分析】本題可先由二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象得到字母系數(shù)的正負，再與一次函數(shù)y=

ax+b的圖象相比較看是否一致.

解：A、由拋物線可知，“VO,x--—<0,得匕<0,由直線可知，a<0,b<0,故本

2a

選項正確；

B、由拋物線可知，a>0,由直線可知，”<0,故本選項錯誤；

C、由拋物線可知，a>0,x=-—>0,得人<0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項

2a

錯誤；

D、由拋物線可知，a>0,由直線可知，a<0,故本選項錯誤.

故選：A.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.計算：患）-^V3=_y_-

【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的混合運算法則計算即可.

解：原式=(3?-乎)

=7_

~~3'

故答案為:(?.

10.在學校的衛(wèi)生檢查中，規(guī)定各班的教室衛(wèi)生成績占30%,環(huán)境衛(wèi)生成績占40%,個人

衛(wèi)生成績占30%.八年級一班這三項成績分別為85分，90分和95分，求該班衛(wèi)生檢查

的總成績90分.

【分析】根據(jù)加權平均數(shù)的計算公式求解即可.

解：該班衛(wèi)生檢查的總成績=85X30%+90X40%+95X30%=90(分).

故答案為90分.

11.若二次函數(shù)尸-/+6x-m的圖象與x軸沒有交點，則m的取值范圍是加>9.

【分析】利用判別式的意義得到4=62-4X(-1)X(-/?)<0,然后解不等式即可.

解：；二次函數(shù)y=-x2+6x-'"的圖像與x軸沒有交點，

.\A=62-4X(-1)X(-m)<0,

解得w>9.

故答案為相>9.

12.如圖，平面直角坐標系中，OB在x軸上，NABO=90°,點A的坐標為(-1,2),

將△408繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,點。的對應點。恰好落在雙曲線>=區(qū)上，則k的值

X

【分析】因為點。在雙曲線y=K上，求出點。的坐標即可，根據(jù)A(-l,2)和旋轉(zhuǎn),

x

可以求出相應線段的長，根據(jù)相應線段的長轉(zhuǎn)化為點的坐標，代入反比例函數(shù)的關系式

即可.

解：過點。作。ELv軸，DF1AB,垂足為E、凡4(-1,2)

???/\AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°

???△AOB四△ADC,NBAC=90°

又???NC=NA8O=90°,

???四邊形ACE3是矩形，

：.AC=DF=EB=AB=2fCD=BC=AF=l,

：.DE=BF=AB-AF=2-1=1,OE=OB+BE=2+1=3,

：.D(-3,1)

???點D恰好落在雙曲線y=K上，

x

:.k=(-3)X1=-3.

13.四邊形ABC。是矩形，點E在線段C3的延長線上，連接QE交A3于點憶ZAED=2

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出NAGE=N

ADG+ZDAG=2ZDAG9然后求出N4EQ=N4G￡：,根據(jù)等角對等邊可得AE=AG,再

利用勾股定理列式求出AB,進而得出CD,

解：在△ADG中，ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG,

又丁NAED=2/CED,

：.NAED=ZAGE9

：.AE=AG,

???AG=4,

：.AE=4t

在RtAAEB中，由勾股定理可求A5=印42_/二色區(qū),

：?CD=yl~^,

故答案為：

14.如圖，A8是。。的直徑，4C是。。的切線，切點為4,8c交。0于點。，直線DE

是。。的切線，切點為。，交AC于E,若。。半徑為1,3。=4,則圖中陰影部分的面

積為-F?二

【分析】連接0。、0E、AD,A。交0E于尸，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NBAC=90°,

利用余弦的定義可計算出/8=60°,則根據(jù)圓周角定理得到/4。8=90°,ZAOD=

120°,于是可計算出BO=1,AD=M，接著證明△4OE為等邊三角形，求出0尸=卷,

1

根據(jù)扇形的面積公式，利用S陰影部分=5四邊形OAE。-S就形AOO=SZ\AOE+SA4OO-S血形AO。進行計*

算.

解：連接O。、OE、AD,AO交OE于F,如圖，

TAC是OO的切線，切點為A,

：.AB±AC,

：.ZBAC=90°,

在Rtz^ABC中，VcosB=—,

BC42

???NB=60°,

AZAOD=2ZB=nO°,

TAB為直徑,

???NADB=90°,

???NBAD=30°,

：.ZDAE=60°

在RtZ^AOB中，BD=—AB=\,

2

:.AD=gD=M，

?.?直線OE、EA都是。。的切線,

；.EA=ED,

.?.△人。￡為等邊三角形，

而OA=OQ,

???OE垂直平分AD,

在RtZ\AO/中，。尸=』04=」，

22

**?5陰影部分=S四邊形OAED-SWAOD

=S^ADE^-S^AOD-S扇形A。。

哼X（V3）2+品遂*手皿需￡1

=后於

故答案為--^Tt.

三、作圖題（本大題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.已知：如圖，M,N分別是NBAC兩邊AB,4c上的點，連接MN.

求作：。0,使O。滿足以線段MN為弦，且圓心。到NBAC兩邊的距離相等.

【分析】作線段的垂直平分線。E,作NBAC的角平分線AP,AP交DE于點0,以

O為圓心0M為半徑作OO即可.

解：如圖，o。即為所求.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

16.（1）化簡：（x-生三）-?X2-4X+4.

x-1x-1

’5xT<3（x+l）

（2）解不等式組：<2x-l5x+l/-

~2-

【分析】（1）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則變形，同時利用除法法

則變形，約分即可得到結果；

（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可確定出不等式組

的解集.

解：（1）原式=x（x-l）;4+x.產(chǎn)%

x-1（x-2）2

_（x+2）（x-2）.x-1_

x-1（x-2）2

x+2

’5x-l〈3（x+l）①

x

（2）年QY,~15x+②1/.?

o/

由①得：x<2,

由②得：x2-1,

則不等式組的解集為-lWx<2.

17.4張相同的卡片分別寫有數(shù)字1,2,3,4,將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1

張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標號為1,2,3的3個小球,

這些球除標號外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標號作為減數(shù).

（1）求這兩個數(shù)的差為。的概率；（用列表法或樹狀圖說明）

（2）如果游戲規(guī)則規(guī)定：當抽到的這兩個數(shù)的差為非負數(shù)時，則甲獲勝；否則，乙獲勝.你

認為這樣的規(guī)則公平嗎？如果不公平，請設計一個你認為公平的規(guī)則，并說明理由.

【分析】（1）利用樹狀圖法列舉出所有可能，進而求出概率;

（2）利用概率公式進而得出甲、乙獲勝的概率即可得出答案.

解：（1）列表如下：

1234

10123

2-1012

3-2-101

?.?共有12種等可能的結果，其中兩個數(shù)的差為0的情況占3種,

：.p（兩個數(shù)的差為0）=義=4.

124

（2）???兩個數(shù)的差為非負數(shù)的情況有9種,

：.P（甲獲勝），P（乙獲勝）1

12-4124

?：P（甲獲勝）＞P（乙獲勝），

...這樣的規(guī)則不公平

可將規(guī)則改為：兩個數(shù)的差為正數(shù)時，甲獲勝，否則，乙獲勝.

此時尸（甲獲勝）=P（乙獲勝）=，?.

18.垃圾分類有利于對垃圾進行分流處理，能有效提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭物

盡其用.為了解同學們對垃圾分類相關知識的掌握情況，增強同學們的環(huán)保意識，某校

對八年級甲，乙兩班各60名學生進行了垃圾分類相關知識的測試，并分別抽取了15份

成績，整理分析過程如下，請補充完整.

【收集數(shù)據(jù)】

甲班15名學生測試成績統(tǒng)計如下：（滿分100分）

68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,78,85,69,76,80.

乙班15名學生測試成績統(tǒng)計如下：（滿分100分）

86,89,83,76,73,78,67,80,80,79,80,84,82,80,83.

【整理數(shù)據(jù)】（1）按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)

組別65.5?70.570.5-75.575.5?80.580.5?85.585.5?90.590.5~95.5

甲224511

乙h20

班級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

甲80X8047.6

乙8080y26.2

（3）兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如表所示：在表中：x=85,>?=

80.

（4）若規(guī)定得分在80分及以上（含80分）為合格，請估計乙班60名學生中垃圾分類

及投放相關知識合格的學生有40人.

（5）你認為哪個班的學生掌握垃圾分類相關知識的整體水平較好，說明理由.

【分析】（1）由收集的數(shù)據(jù)即可得;

(2)根據(jù)題意不全頻數(shù)分布直方圖即可;

(3)根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得;

(4)用總?cè)藬?shù)乘以乙班樣本中合格人數(shù)所占比例可得;

(5)甲、乙兩班的方差判定即可.

解:（1）乙班75.5?80.5分數(shù)段的學生數(shù)為4,80.5?85.5分數(shù)段的學生數(shù)為5,

故</=7,6=4,

故答案為:7,4；

（2）補全甲班15名學生測試成績頻數(shù)分布直方圖如圖所示,

（3）甲班15名學生測試成績中85出現(xiàn)的次數(shù)最多，故x=85；

把乙班學生測試成績按從小到大排列為:67,73,76,78,79,80,80,80,80,82,

83,83,84,86,89,

處在中間位置的數(shù)為80,故)，=80；

故答案為：85,80；

(4)60X—X100%=40(人)，

15

答：乙班60名學生中垃圾分類及投放相關知識合格的學生有40人；

故答案為：40；

(5)乙班的學生掌握垃圾分類相關知識的整體水平較好，

?.?甲班的方差〉乙班的方差，

，乙班的學生掌握垃圾分類相關知識的整體水平較好.

19.某住宅小區(qū)有平行建設的南、北兩棟高層建筑.冬至日正午，南樓在北樓墻面上形成的

影子4尸的高度為42米，此時太陽高度角(即正午太陽光線與水平面的夾角)NC4B=

35。，夏至日正午，南樓在水平地面形成的影子與北樓的距離。F為80米，此時太陽高

度角NC￡>E=80°.求兩樓間的距離.(參考數(shù)據(jù)：sin35°-0.57,cos35°~0.82,tan35°

心0.7,sin80°~0.98,cos80°?=0.175,tan80°g5.6)

【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關系表示出8C,DE,EC的長，進而得出答案.

解：根據(jù)題意，設兩樓之間的距離為x米，

由題意可得：四邊形ABE尸是矩形，/CAB=35°,ZCDE=80°,

FD=80米，AF=42米,

在RtAABC中，

BC=x,tan35°,

在Rtz^QEC中，CE=QE?tan80°

=(x-80)?tan80°

又BE=AF=42米，BE=CE-CB,

所以(JC-80),tan800-x*tan350=42,

解得：4100,

答：兩樓之間的距離為100米.

20.春節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃水餃的習俗.某商場在年前準備購進A、B兩種品

牌的水餃進行銷售，據(jù)了解，用3000元購買A品牌水餃的數(shù)量（袋）比用2880元購買

8品牌水餃的數(shù)量（袋）多40袋，且8品牌水餃的單價（元/袋）是A品牌水餃單價（元

/袋）的12倍.

（1）求A、8兩種品牌水餃的單價各是多少？

（2）若計劃購進這兩種品牌的水餃共220袋銷售，且購買A品牌水餃的費用不多于購買

8品牌水餃的費用，寫出總費用卬（元）與購買A品牌水餃數(shù)量相（袋）之間的關系式,

并求出如何購買才能使總費用最低？最低是多少？

【分析】（1）設A品牌水餃單價為x元/袋，則8品牌水餃單價為1.2x元/袋，由題意列

出分式方程，解方程即可；

（2）設購進A品牌水餃加袋，則購進B品牌水餃（220-加）袋，先由題意得不等式15機

W18（220-m）,解得加，120,再由題意得w=-3，〃+3960,然后由一次函數(shù)的性質(zhì)解

答即可.

解：（1）設A品牌水餃單價為x元/袋，則B品牌水餃單價為1.2x元/袋,

根據(jù)題意'得：等-黑=4。,

解得：x=15,

經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，

；.1.2%=18；

答：A品牌水餃單價為15元/袋，B品牌水餃單價為18元/袋；

(2)設購進A品牌水餃〃?袋，則購進8品牌水餃(220-〃?)袋,

依題意，得：15mW18(220-m),

解得：〃?2120,

由題意得：w—15/H+18(220-/?)=-3〃z+3960,

當加=120時,w最小=3600,

220-120=100,

答：A品牌水餃購買120袋，B品牌水餃購買100袋時，總費用最低，最低是3600元.

21.如圖1,己知矩形A8CD,連接AC,將AABC沿AC所在直線翻折，得到AE

交CD于點F.

(1)求證：DF=EF；

(2)如圖2,若/BAC=30°,點G是AC的中點，連接OE,EG,求證：四邊形ADEG

是菱形.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到4D=8C,/￡>=/8=90°,由折疊的性質(zhì)得到/E

=NB=90°,CE=BC.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結論；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到/AEC=NB=90°,CE=BC,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得至I」

CE=^AC,CE=AG=EG=AD,根據(jù)菱形的判定定理即可得到結論.

解：(1)1?四邊形ABCC是矩形，

：.AD=BC,ND=NB=90°,

?.?將△ABC沿AC所在直線翻折，得到△AEC,

AZ￡=ZB=90°,

CE=BC.

；./D=NE,AD=CE,

?.*/AFD=/CFE,

AAADF^ACEF（A4S）,

：.DF=EF；

（2）??,四邊形48co是矩形，

：.AD=BC,ZADC=ZB=90°,

??,將aABC沿AC所在直線翻折，得到△4EC,

AZAEC=ZB=90°,CE=BC,

VZCAB=30°,

：.ZCAE=30°,

.?.CE=—AC,

2

:點G是AC的中點，

：.CE=AG=EG=AD,

；.N4EG=NEAG=30°,

：.ZDAE=30°,

，ZDAE=ZAEG,

J.AD//GE,

四邊形4OEG是菱形.

22.某公司銷售一種商品，成本為每件20元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量y（件）

與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關系，其銷售單價、日銷售量的三組對應數(shù)值如下表：

銷售單價X（元）406080

日銷售量y（件）806040

（1）求y與x的關系式；

（2）若物價部門規(guī)定每件商品的利潤率不得超過100%,求公司銷售該商品獲得的最大

日利潤；

（3）若物價部門規(guī)定該商品銷售單價不能超過a元，并且由于某種原因，該商品每件成

本變成了之前的2倍，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元）保持（1）中函數(shù)關系不

變的情況下，該商品的日銷售最大利潤是1500元，求a的值.

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)公司銷售該商品獲得的最大日利潤為w元，則卬=(x-20)y=(x-20)(-x+120)

=-(JC-70)2+2500,進而求解；

(3)由題意得：w=(x-20X2)(-%+120)=-x2+160x-4800=-(x-80)2+1600,

當w刑大=1500時，-(x-80)2+1600=1500,解得xi=70,n=90,而40WxWa,進

而求解.

解：(1)設函數(shù)的表達式為y=fcv+4

將(40,80)、(60,60)代入上式得：［4°k+b=80,解得(k=-l,

I60k+b=60lb=120

故y與x的關系式為y=-x+120：

(2)公司銷售該商品獲得的最大日利潤為川元，

貝ijw=(x-20)y=(x-20)(-x+120)=-(x-70)2+2500,

Vx-20>0,-x+12020,x-20^20X100%,

，2(XW40,

V-l<0,

故拋物線開口向下，

故當x<70時，w隨x的增大而增大，

.?.當x=40(元)時，w的最大值為1600(元)，

故公司銷售該商品獲得的最大日利潤為1600元；

(3)當M/增大=1500時,-(x-80)2+1600=1500,

解得xi=70,及=90,

2X2020,

；.x-40,

又'.'xWa,

???有兩種情況,

①a<80時，即40WxWa,

在對稱軸左側(cè)，卬隨X的增大而增大,

.?.當x=a=70時，wia大=1500,

②。，80時，即40WxWa,

在40WxWa范圍內(nèi)wa/^^OO^lSOO,

,這種情況不成立，

."=70.

23.【問題提出］：將一個邊長為〃(〃22)的菱形的四條邊”等分，連接各邊對應的等分

點，則該菱形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)和菱形個數(shù)分別是多少？

【問題探究】：要研究上面的問題，我們不妨先從特例入手，進而找到一般規(guī)律.

探究一：將一個邊長為2的菱形的四條邊分別2等分，連接各邊對應的等分點，則該菱

形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)和菱形個數(shù)分別是多少？

如圖1,從上往下，共有2行，我們先研究平行四邊形的個數(shù)：

(1)第一行有斜邊長為1,底長為1?2的平行四邊形，共有2+1=3個；

(2)第二行有斜邊長為1,底長為1?2的平行四邊形，共有2+1=3個；

為了便于歸納分析，我們把平行四邊形下面的底在第二行的所有平行四邊形均算作第二

行的平行四邊形，以下各行類同第二行.因此底第二行還包括斜邊長為2,底長為1?2

的平行四邊形，共有2+1=3個.

即：第二行平行四邊形共有2X3個.

所以如圖1,平行四邊形共有2X3+3=9=(2+1)2.

我們再研究菱形的個數(shù)：

分析：邊長為1的菱形共有22個，邊長為2的菱形共有了個，

所以：如圖1,菱形共有22+12=5=5X2X3X5個.

6

探究二：將一個邊長為3的菱形的四條邊分別3等分，連接各邊對應的等分點，則該菱

形被剖分的網(wǎng)格中的平行四邊形的個數(shù)和菱形個數(shù)分別是多少？

如圖2,從上往下，共有3行，我們先研究平行四邊形的個數(shù)：

（1）第一行有斜邊長為1,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個；

（2）第二行有斜邊長為1,底長為1?2的平行四邊形，共有3+2+1=6個；底在第二行

還包括斜邊長為2,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個，即：第二行平行四

邊形共有2X6個.

（3）第三行有斜邊長為1,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個；

底在第三行還包括斜邊長為2,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個.

底在第三行還包括斜邊長為3,底長為1?3的平行四邊形，共有3+2+1=6個，即：第

三行平行四邊形共有3X6個.

所以如圖2,平行四邊形共有3X6+2X6+6=（3+2+1）X6=（3+2+1）2.

我們再研究菱形的個數(shù)：分析：邊長為1的菱形共有32個，邊長為2的菱形共有22個，

邊長為3的菱形共有I2個.所以：如圖2,菱形共有32+22+12=i4=^X3X4X