2021年暑假自主學(xué)習(xí)北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊1

2021年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊《1.1菱形的性質(zhì)與判定》暑假自主學(xué)習(xí)

優(yōu)生提升訓(xùn)練

1.菱形的對角線長分別是6和8,那么其邊長是（）

A.5B.10C.20D.40

2.如圖，點尸，。分別是菱形ABC。的邊A。，BC上的兩個動點，若線段尸。長的最大值

為8加，最小值為8,則菱形ABCD的邊長為（）

A.476B.10C.12D.16

3.如圖，己知菱形OA8C的兩個頂點。（0,0）,8（2,2）,若將菱形繞點O以每秒45°

的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時，菱形兩對角線交點。的縱坐標(biāo)為（）

4.如圖，已知AC、BQ是菱形ABC。的對角線，那么下列結(jié)論一定正確的是（）

A.△AB。與△ABC的周長相等B.菱形的周長等于兩條對角線長之和的兩倍

C.△48。與△4DC的周長相等D.菱形的面積等于兩條對角線長之積的兩分之一

5.如圖，菱形4BCZ）的對角線的長分別為2和5,P是對角線AC上任一點（點P不與點A、

C重合），且PE〃BC交AB于E,PF//CD交AD于■F,則陰影部分的面積是（）

A.2B.§C.3D.$

23

6.用直尺和圓規(guī)作一個以線段A8為邊的菱形，作圖痕跡如圖所示，能得到四邊形A8CZ）

是菱形的依據(jù)是（）

A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

B.四邊相等的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.每條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形

7.如圖，已知菱形ABCO的兩條對角線AC與BZ）交于平面直角坐標(biāo)系的原點，且

軸，點4的坐標(biāo)為（-2,3）,則點B的坐標(biāo)為（）

8.已知菱形的邊長和一條對角線的長均為2a”，則菱形的面積為（）

A.3cw2B.4cm2C.D.2-\[2cirP

二.填空題（共8小題）

9.如圖，菱形ABC。中，ZBCD=120°，點F是BD上一點,EFLCF,AEVEF,AE=3,

EF=4,則A8的長是.

10.已知菱形的周長為40c,",一條對角線長為16a”，則這個菱形的面積為cm2.

11.在菱形ABC。中，NA=30°,在同一平面內(nèi)，以對角線8。為底邊作頂角為120°的

等腰三角形BDE,則NEBC的度數(shù)為.

12.菱形的兩條對角線長分別為6和8,則這個菱形的周長為

13.如圖，菱形ABCD中，。是兩條對角線的交點，過點。的三條直線將菱形分成陰影部

分和空白部分，當(dāng)菱形的邊長為10,一條對角線為12時，則陰影部分的面積為

14.如圖，已知平行四邊形的兩條邊長分別為1,它能被平行于邊的直線分割成

15.如圖，將兩張長為8,寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分A8CO是一個菱形.菱形周

長的最小值是,菱形周長最大值是.

16.已知菱形A8C。的邊長為6,/A=60°,如果點尸是菱形內(nèi)一點，且P8=P￡>=2?,

那么AP的長為.

17.已知菱形ABC。中，N84￡>=120°,點E為邊上一點，點A關(guān)于8E的對稱點G

位于對角線上.

(1)求證：△EGD為直角三角形；

(2)若AB=4,求線段EG的長.

C

18.如圖四邊形A8CD是平行四邊形，AELBC,AFA.CD,垂足分別為E,F,且BE=DF.

(1)求證：四邊形ABCZ)是菱形；

(2)連接EF并延長，交AO的延長線于點G,若NCEG=30°,AE=2,求EG的長.

19.如圖，在△ABC中，D、E分別是A8,AC的中點，BE=2DE,延長。E到點F,使得

EF=BE,連接C￡

(1)求證：四邊形BCFE是菱形；

(2)若CE=2,ZBEF=\20Q,求菱形8CFE的面積.

20.如圖，已知：在平行四邊形ABC。中，。是對角線8。上一點，點E是對角線BO上異

于點。的另一點，DO=BE,連接AE和CE.

(1)SMBC與SAQIB是否相等，請說明理由.

(2)當(dāng)平行四邊形A8CZ)滿足什么條件時，四邊形AOCE是菱形，請說明理由.

21.如圖，在平行四邊形ABCD中，AO>A8.

(1)作出/A8C的平分線(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若(1)中所作的角平分線交4。于點E,AFLBE,垂足為點O,交BC于點凡連

接E只求證：四邊形ABFE為菱形.

A_____________________D

B

22.如圖，已知菱形4BCD的對角線相交于點0,延長AB至點E,使連接CE.

(1)求證：BD=EC；

(2)若NE=50°,求/54。的大小.

23.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為8c邊上的一點，連接AE、且AE=48.

(1)求證：ZABE=ZEAD；

(2)若/AEB=2/AO8,求證：四邊形4BCD是菱形.

24.如圖，在平行四邊形ABC。中，NBA。的平分線交BC于點E,NA8C的平分線交A。

于點F,4E與8尸相交于點0,連接EF.

(1)求證：四邊形ABE尸是菱形.

(2)若AO=7,BF=8,CE=2,求平行四邊形ABCQ的面積.

BC

答案

1.解：如圖，菱形ABCD中，BD=8,4c=6,

則ACLBO,OB=4,OA=3,

;MB=VoB2-H3A2=V42+32=5,

故選：A.

2.解：如圖，過點C作交AB的延長線于”,

：四邊形ABC。是菱形，

：.AD=AB=BC,

;點P,。分別是菱形ABC。的邊AO,8c上的兩個動點，

.??當(dāng)點P與點A重合，點。與點C重合時，PQ有最大值，即AC=8&,

當(dāng)PQ_LBC時，PQ有最小值，即直線CD,直線AB的距離為8,即C4=8,

???AH=NAC?-CH2="320-64=16,

,：BC2^CH2+BH2,

:.Bd=(16-BC)2+64,

.?.BC=10,

故選：B.

3.解：菱形0ABe的頂點O(0,0),B(2,2),得

D點坐標(biāo)為°+20+2,即(i,i).

22

每秒旋轉(zhuǎn)45°,則第2025秒時，得45°X2025,

45°X2025+360=253.125周，

旋轉(zhuǎn)了2532周，

8

菱形的對角線交點。的坐標(biāo)為（0,圾），

菱形兩對角線交點D的縱坐標(biāo)為加，

故選：D.

4.解：I?四邊形4BCC是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACLBC,

/\ABD的周長=AB+BL>+ZM,AABC的周長=AB+BC+AC,

菱形ABCD的周長=4A8,△AOC的周長=4￡）+AC+C￡>,/\ABC的周長=Z\AOC的周長,

；.A、B、C不正確；

:菱形ABCD的面積

2

D正確；

故選：D.

5.解：設(shè)AP,EF交于。點，

PE//BC交AB于E,PF//C￡>交AO于F,

四邊形AFPE為平行四邊形，，△AE。的面積=△尸OP的面積，

???陰影部分的面積等于AABC的面積.

VAABC的面積等于菱形ABCD的面積的一半，

菱形ABCD的面積=1408。=5,

2

.?.圖中陰影部分的面積為54-2=2.5.

故選：B.

6.解：由作圖痕跡可知，四邊形ABCZ）的邊AQ=BC=CC=AB,

根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形可得四邊形ABCD是菱形.

故選：B.

7.解：如圖，設(shè)A。與y軸交點為￡,

???點A的坐標(biāo)為（-2,3）,AQ〃x軸，

：.AE=2,OE=3,

?.?四邊形488為菱形，

：.AC1BD,

：.ZAOE+ZDOE=<)0°,NEAO+NAOE=90°,

：.ZDOE=ZEAO,

又：NAEO=NOEC=90°,

：.DE=4.5,

點力的坐標(biāo)為（4.5,3）,

?.?點B與點D關(guān)于原點成中心對稱,

...點B的坐標(biāo)為（-4.5,-3）.

故選：D.

8.解：由已知可得，這條對角線與邊長組成了等邊三角形，可求得另一對角線長2?,

貝IJ菱形的面積=2X2?+2=2爪efl?

故選：D.

9.解：如圖所示，連接AC交BO于延長AE與BC交于點M,交BH于點、N,

fZAHN=ZAHF

在△ANH和尸中，＜ZANH=ZCHF

AH=CH

：./\ANH^^CHF（A4S）,

：.NH=HF,AN=CF,

:四邊形4BC￡）是菱形，ZBCD=nO°,

：.NBC4=60°,且BA=8C,

.?.△ABC是等邊三角形，

：.AB=^AC

又?.?EF_LCF,AELEF,AE=3,EF=4,根據(jù)勾股定理:

：.AF=CF=AN=5,EN=2,

又：所二人

NF=YEN2+EF2=2泥,

:.NH=HF=娓,

CW=VCF2-HF2=2^'

.?.A8=BC=2娓X2=4遙.

故4加.

10.解：因為周長是40c、〃z,所以邊長是10C、〃Z.

如圖所示：AB=\0cm,AC=\6cm,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，ACLBD,AO=8C〃2,

:.BO=6cm,BD=12cm.

二面積S=1X16X12=96(cm2).

2

故答案為96.

11.解：如圖，；四邊形ABC。是菱形，

：.AB=AD=BC=CD,NA=NC=30°,

ZABC=ZADC=\50°,

:.NDBA=NDBC=75°,

,:ED=EB,ZDEB=nOa,

：.NEBD=NEDB=30°,

ZEBC=ZEBD+ZDBC=105°,

當(dāng)點E'在BO右側(cè)時，,:NDBE'=30°,

AZE'BC=NDBC-NDBE'=45°,

：.ZEBC=105°或45°,

故答案為105°或45°.

D

12.解：如圖所示，

根據(jù)題意得AO=」X8=4,BO——X6=3,

22

???四邊形ABC。是菱形，

：.AB^BC^CD=DA,AC1BD,

△408是直角三角形，

*i-AB={AO2+B02=416+9=5'

...此菱形的周長為：5X4=20.

故20.

13.解：連接AC、BD,如圖所示：

；四邊形ABCO是菱形，

；.AB=10,OB=OD=1.BD=6,OA=OC,ACYBD,

<9A=VAB2-OB2=V102-62=8,

：.AC=2OA=]6,

菱形ABCD的面積=LCX3。=工X16X12=96,

22

???。是菱形兩條對角線的交點，

陰影部分的面積=工義96=48；

故48.

叼Q

14.解：如圖所示，。=4或a=2.5或。=4?或“=5；

a=45

馬昌

=-5

a3a=a

故答案是：4或2.5或匹或空.

33

15.解：當(dāng)兩紙條互相垂直時，菱形的周長最小，此時菱形的邊長等于紙條的寬，為2,

所以，菱形的周長=4X2=8；

如圖，菱形的一條對角線與矩形的對角線重合時，周長最大,

設(shè)AB=BC=x,貝?。軧E=8-x,

在Rt^BCE中，Bd=B?+C產(chǎn),

即X1—(8-%)2+22,

解得

4

所以，菱形的周長=4義工工=17.

4

16.解：當(dāng)P與A在8。的異側(cè)時：連接4P交8。于M,

'：AD=AB,DP=BP,

：.AP±BD(到線段兩端距離相等的點在垂直平分線上),

在直角△ABM中，N8AW=30°,

：.AM=AB-cos300=3?,BM=A8?sin30°=3,

2

PM=VPB-BM

：.AP=AM+PM=4\f3；

當(dāng)P與A在B￡＞的同側(cè)時：連接AP并延長AP交BQ于點M

AP=AM-PM=2-^3；

當(dāng)尸與例重合時，PD=PB=3,與28=「。=2?矛盾，舍去.

AP的長為4T或2?.

故答案為4?或2M.

：.AB=AD,

VZBAD=120°,

NADB=NAB￡>=30°,

:點A關(guān)于BE的對稱點G位于對角線BD上.

：.AE=GE,ZBAE=ZBGE=\20Q,

AZEGD=60°,

AZGED=90°,

...△EGD為直角三角形；

(2)VZG￡D=90°,ZADB=30°,

:.DE=y[^EG=M\E,

；4B=4,

：.AE+-/3AE=4,

:.AE=2?-2,

；.EG=2?-2.

18.(1)證明：；四邊形ABC。是平行四邊形，

NB=ND,

"：AE±BC,AF±CD,

：.^AEB^ZAFD=90°，且BE=。凡NB=ND,

：./\AEB^^AFD(AAS),

：.AB=AD,

二四邊形ABC。是菱形；

(2)如圖，

'."AD//BC,

：.ZCEG=ZG=30°,

VAElfiC,AD//BC,

4G=90°,且/G=30°,

：.EG=2AE=4.

19.(1)證明：：￡＞、E分別是AB、AC的中點,

J.DE//BCS.2DE^BC,

又,：BE=2DE,EF=BE,

：.EF=BC,EF//BC,

：.四邊形BCFE是平行四邊形，

又，；BE=FE,

...四邊形BCFE是菱形；

(2)解：VZBEF=120",

AZEBC=60°,

...△E8C是等邊三角形，

菱形的邊長為2,高為

二菱形的面積為2X?=2?.

20.(1)解：結(jié)論：S&OBC=SAOAB.

理由：連接AC交8。于K.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AK=CK,

:?S&ABK=S〉BCK，S&AOK=SAOCK,

??SAOBC=SAOAB?

(2)解：當(dāng)ACL8O時，四邊形AOCE是菱形.

理由：??,四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AK=KC,BK=KD,

?:BE=OD,

:.KE=KO,

???四邊形AOCE是平行四邊形,

?.?AC_LE。，

(2)證明：???BE平分NA3C,

，NABE=NFBE,

VZEBF=NAEB,

???NABE=NAEB,

：.AB=AEf

:AOLBE,

???BO=EO,

???在△AB。和△尸80中，

'/ABO二NFBO

,BO=BO，

ZAOB=ZBOF

???△48。絲"8。(ASA),

：.AO=FO,

?；AF上BE,BO=EO,AO=FO,

???四邊形A5在為