出租車數(shù)量估計(jì)趙朋飛修改版 B題

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寶雞文理學(xué)院2023年數(shù)學(xué)建模

培訓(xùn)其次次模擬

B題

姓名趙朋飛王文鵬葉鵬系別數(shù)學(xué)系計(jì)科系物理系學(xué)號(hào)202390014087202396014053202391024078

出租車數(shù)量的估計(jì)問題

摘要

本文運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的思想，解決了出租車數(shù)量的估計(jì)問題。依據(jù)題目要求，我們建立了兩種估計(jì)模型，估算出了該小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量，并且對(duì)模型的可靠性進(jìn)行了檢驗(yàn)。

對(duì)于模型一：首先，題目所給樣本數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，通過MATLAB軟件作圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)間間隔為100時(shí)，落在每個(gè)區(qū)間車牌號(hào)數(shù)量是均勻分布的，即車牌號(hào)聽從于均勻分布。而車牌號(hào)又是按順序排列的，所以樣本中的最小車牌號(hào)與最大車牌號(hào)趨近于該市機(jī)動(dòng)車出租車車牌號(hào)的起始號(hào)與終止號(hào)，試假設(shè)該機(jī)動(dòng)車出租車車牌號(hào)區(qū)間為?24000,31999?，進(jìn)而求出該市機(jī)動(dòng)車出租車的總數(shù)量為N?8000輛；然后，對(duì)于樣本中所給的出租車牌號(hào)，經(jīng)過后減運(yùn)算，得到每兩個(gè)相鄰的車牌號(hào)之間間隔的車牌號(hào)數(shù)量，用EXCEL軟件排序并作圖，剔除了極端差值，其余求其平均數(shù),即每輛出租車車牌號(hào)之間間隔平均是?x?55；最終計(jì)算出該小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量n?146輛。

對(duì)于模型二：由于模型一中確定該市機(jī)動(dòng)車出租車車牌號(hào)區(qū)間不甚確切，我們考慮對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。首先，我們運(yùn)用了兩種方法估計(jì)了該市機(jī)動(dòng)車的總數(shù)量：方法一，引用盟軍估計(jì)德軍坦克數(shù)量的模型估計(jì)出該市機(jī)動(dòng)車的總數(shù)為8046；方法二，運(yùn)用極大似然估計(jì)函數(shù)確定該市機(jī)動(dòng)車出租車的車牌號(hào)區(qū)間為[24176,31982]，經(jīng)端點(diǎn)值作差得出該市機(jī)動(dòng)車出租車的總數(shù)為7806；（這兩種方法貌似得去掉一個(gè)）將兩種方法（去掉）所求的該市機(jī)動(dòng)車總數(shù)均值作為該市機(jī)動(dòng)車最終數(shù)量N'?7928。然后，把樣本的車牌號(hào)每隔1000進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到每1000個(gè)車牌號(hào)中的出租車車牌數(shù)量,對(duì)得到的數(shù)據(jù)用SPSS軟件進(jìn)行檢驗(yàn)，顯示呈正態(tài)分布并得其均值y?17，采用極大似然估計(jì)法求得正態(tài)分布總體

??y?17，即該市每1000輛機(jī)動(dòng)車出租車中有17輛出租車屬于分派在N(?,?2)中參數(shù)?該小鎮(zhèn)。最終計(jì)算出該小鎮(zhèn)有出租車n?153輛。

綜合兩種模型，模型一對(duì)機(jī)動(dòng)車車牌號(hào)范圍的區(qū)間估計(jì)不夠確切，而模型二在估算機(jī)動(dòng)車牌號(hào)范圍的區(qū)間時(shí)，恰當(dāng)運(yùn)用盟軍估計(jì)德軍坦克數(shù)量模型與極大似然估計(jì)法，比較確切地求得該市機(jī)動(dòng)車的數(shù)量。另外，模型二對(duì)車牌號(hào)分區(qū)間考慮使得估算更為合理。模型檢驗(yàn)中偏態(tài)系數(shù)與峰度系數(shù)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析使得模型更為完善。（改為）最終我們對(duì)兩種模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵字：極大似然估計(jì)正態(tài)分布SPSS軟件偏態(tài)系數(shù)峰度系數(shù)

一、問題重述

小張寒假回到他的家鄉(xiāng)某小鎮(zhèn)，在出門探親訪友過程中，他發(fā)現(xiàn)小鎮(zhèn)的出租車，存在諸多問題。他計(jì)劃從小鎮(zhèn)的出租車數(shù)量入手，解決這些問題。在接下來的幾天時(shí)間里，他隨機(jī)的記錄了133輛出租車車牌號(hào)的后5位見（附錄1）。他只知道車牌號(hào)是按順序排列的，但他不知道車牌的起始號(hào)，也不知道車牌的終止號(hào)，他希望通過上述數(shù)據(jù)估計(jì)出小鎮(zhèn)的出租車數(shù)量。

要求幫助小張?jiān)O(shè)計(jì)一種或多種數(shù)學(xué)模型，來估計(jì)小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量，并分析方法的可靠性。

二、模型假設(shè)

1、樣本統(tǒng)計(jì)過程中沒有考慮外來車輛。2、該市機(jī)動(dòng)車的車牌號(hào)連續(xù)。3、該市機(jī)動(dòng)車與車牌號(hào)一一對(duì)應(yīng)。

4、該市機(jī)動(dòng)車車牌號(hào)的后五位均由數(shù)字組成。

三、符號(hào)說明

符號(hào)

含義該市機(jī)動(dòng)車數(shù)量原始車牌號(hào)序列樣本相鄰車牌號(hào)的差值序列

差值的平均值倆車牌號(hào)的間隔小鎮(zhèn)出租車數(shù)量樣本均值樣本方差方差樣本中最小的車牌號(hào)樣本中最大的車牌號(hào)樣本中車牌號(hào)的數(shù)量

2

N

X(0)(i)X(1)(i)i?1,2,…，133i?2,…，133

X

?x

n

??

a

bk

pq??XiFia3a4

該市機(jī)動(dòng)車下限的最大似然估計(jì)值該市機(jī)動(dòng)車上限的最大似然估計(jì)值

總體均值組中值

對(duì)應(yīng)比重偏態(tài)系數(shù)峰度系數(shù)

四、問題分析

此題屬于概率統(tǒng)計(jì)問題。要估算出該小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量，首先需要估算出該市機(jī)動(dòng)

車出租車的數(shù)量?？紤]到題目所給樣本數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，通過MATLAB軟件作圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)間間隔為100時(shí)，落在每個(gè)區(qū)間車牌號(hào)數(shù)量是均勻分布的，即車牌號(hào)聽從于均勻分布。我們可以采用點(diǎn)估計(jì)，即以實(shí)際樣本指標(biāo)數(shù)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值，估算出該市機(jī)動(dòng)車的數(shù)量，進(jìn)而估計(jì)出小鎮(zhèn)出租車數(shù)量。我們可以從以下兩種思路來求解：

思路一：由于樣本中的車牌號(hào)均勻分布，考慮到所在地為小鎮(zhèn)且車牌號(hào)是按順序排列的，所給車牌號(hào)碼的最小值與最大值就十分趨近于起初號(hào)和終止號(hào)，所以假設(shè)車牌號(hào)區(qū)間為[24000，31999]。經(jīng)過后減運(yùn)算，剔除壞數(shù)據(jù)，得出每兩輛車牌號(hào)之間相差的個(gè)數(shù)，從而得出小鎮(zhèn)出租車的數(shù)量。

思路二：對(duì)思路一中確定總體車牌號(hào)區(qū)間存在的不確切性，我們將其進(jìn)行優(yōu)化，可以用點(diǎn)估計(jì)[1]與極大似然函數(shù)（和摘要對(duì)應(yīng)，去掉一種方法）確定總體的車牌號(hào)區(qū)間。參照點(diǎn)估計(jì)中最小無偏估計(jì)，采用較為確鑿的計(jì)算公式確定車牌號(hào)區(qū)間，即為該市機(jī)動(dòng)車總數(shù)，當(dāng)然，我們還可以利用極大似然函數(shù)確定車牌號(hào)區(qū)間。（與上對(duì)應(yīng)，去掉一種方法）其次，將樣本的車牌號(hào)每隔1000進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求其平均值，把所得平均值與機(jī)動(dòng)車總數(shù)的千分之一的乘積作為該小鎮(zhèn)出租車數(shù)量的估計(jì)值。

五、模型建立與求解

5.1模型一：

對(duì)于隨機(jī)分布的樣本數(shù)據(jù)，若其聽從于均勻分布，可取接近樣本最大值與最小值的數(shù)據(jù)作為總體區(qū)間的上下限，即區(qū)間?a,b?，進(jìn)而可得總體的數(shù)量為N?b?a?1。

據(jù)問題分析知樣本中的車牌號(hào)均勻分布，且已設(shè)車牌號(hào)區(qū)間為?24000,31999?，故得總的車牌號(hào)數(shù)量，即該市機(jī)動(dòng)車的數(shù)量N?8000。由題目已給條件知原始車牌號(hào)序列：

x(0)?{x(0)(1),x(0)(2),…，x(0)(133)}

即：x(0)?{24176,24231,…,31982}

3

由后減運(yùn)算計(jì)算，即求出后前兩個(gè)數(shù)據(jù)之差：

x(1)(i)?x(0)(i)?x(0)(i?1)，其中i?2,…,133；

可得一個(gè)新的序列：

x(1)?{x(1)(2),x(1)(3),…，x(1)(133)}

利用EXCEL軟件，以此新序列排序作為縱坐標(biāo)并作圖1：

數(shù)據(jù)差值圖160140120230差值80604020237131925313743495561677379859197103109115121127

圖1

觀測圖1，發(fā)現(xiàn)中間部分有好多均勻的差值，兩端出現(xiàn)較大的波動(dòng)，忽略兩端極端差值，即剔除40以下和90100以上的差值，其余求平均值，經(jīng)EXCEL軟件計(jì)算得平均值約為X?55，即兩車牌號(hào)之間間隔?x?55。

由此估計(jì)出出租車數(shù)量為：

N?x結(jié)合以上數(shù)據(jù)，估計(jì)出該小鎮(zhèn)共有出租車146輛。5.2模型二：（去掉一種方法，建議去掉盟軍模型）

1.估計(jì)樣本對(duì)應(yīng)總體的取值空間(該市機(jī)動(dòng)車數(shù)量)：

方法一：在統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的估計(jì)中，用不放回抽樣來估計(jì)離散型均勻分布最大值問題是著名的德國坦克問題[1]。針對(duì)該問題，建立盟軍估計(jì)德軍坦克數(shù)量模型。

對(duì)于點(diǎn)估計(jì)（實(shí)際樣本指標(biāo)數(shù)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值），最小方差無偏估計(jì)由下式給出并以此確定總體取值區(qū)間：

k?1N?b?a

ka是樣本最小值，b是樣本最大值，k是樣本大小。題目中所給車牌號(hào)為隨機(jī)抽取的一組數(shù)據(jù)，其為離散均勻分布,結(jié)合題目已知，樣本中出租車車牌號(hào)的最小值a?241