2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 　第三章 1-1　點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 學(xué)案

1.1點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解空間直角坐標(biāo)系.2.能在空間直角坐標(biāo)系中寫出所給定點(diǎn)的坐標(biāo)．導(dǎo)語我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出：“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡單講就是形與數(shù)，歐幾里得幾何體系的特點(diǎn)是排除了數(shù)量關(guān)系，對于研究空間形式，你要真正的‘騰飛’，不通過數(shù)量關(guān)系，我想不出有什么好的辦法…….”吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”，也就是坐標(biāo)系的引入，使得幾何問題“代數(shù)化”，為了使得空間幾何“代數(shù)化”，因此我們引入了坐標(biāo)及其運(yùn)算．一、空間直角坐標(biāo)系問題1在數(shù)軸上確定點(diǎn)的位置需要幾個實(shí)數(shù)？在平面直角坐標(biāo)系中確定一個點(diǎn)的位置需要幾個實(shí)數(shù)？提示在數(shù)軸上，一個實(shí)數(shù)確定一個點(diǎn)的位置；在平面直角坐標(biāo)系中，需要一個有序?qū)崝?shù)對(x，y)才能確定一個點(diǎn)的位置．知識梳理空間直角坐標(biāo)系：過空間任意一點(diǎn)O，作三條兩兩垂直的直線，并以點(diǎn)O為原點(diǎn)，在三條直線上分別建立數(shù)軸：x軸、y軸和z軸，這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O－xyz.點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)叫作坐標(biāo)軸，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫作坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面．注意點(diǎn)：(1)畫空間直角坐標(biāo)系O－xyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三個坐標(biāo)平面把空間分成八個部分．(2)將x軸和y軸放在水平面上．(3)x軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°與y軸正半軸重合．(4)建立的坐標(biāo)系一般為右手系．二、點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)問題2如果點(diǎn)P是空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的任意一點(diǎn)，那么如何刻畫它的位置呢？提示類比平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方式，可以先作出點(diǎn)P在三條坐標(biāo)軸上的投影，再根據(jù)投影在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)寫出表示點(diǎn)P位置的三元有序?qū)崝?shù)組即可．如圖，當(dāng)點(diǎn)P不在任何坐標(biāo)平面上時，過點(diǎn)P分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，則點(diǎn)A，B，C分別是點(diǎn)P在x軸、y軸和z軸上的投影．設(shè)點(diǎn)A在x軸上、點(diǎn)B在y軸上、點(diǎn)C在z軸上的坐標(biāo)依次為a，b，c，那么點(diǎn)P就對應(yīng)唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(a，b，c)．知識梳理空間中點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，對于空間任意一點(diǎn)P，都可以用唯一的一個三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示；反之，對于任意給定的一個三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，都可以確定空間中的一個點(diǎn)P.這樣，在空間直角坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P與三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)之間，就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系：P?(x，y，z)．三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫作點(diǎn)P在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作P(x，y，z)，其中x叫作點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，y叫作點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，z叫作點(diǎn)P的豎坐標(biāo)．注意點(diǎn)：(1)過點(diǎn)P作垂直于坐標(biāo)軸的平面，與三條坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，實(shí)際上就是作點(diǎn)P在各條坐標(biāo)軸上的投影，即從點(diǎn)P向坐標(biāo)軸引垂線，垂足分別為點(diǎn)A，B，C.設(shè)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)．(2)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點(diǎn)的位置xOy平面內(nèi)yOz平面內(nèi)zOx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)例1(1)畫一個正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則①頂點(diǎn)A，D1的坐標(biāo)分別為________________；②棱C1C中點(diǎn)的坐標(biāo)為________；③正方形AA1B1B對角線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為________．答案①(0,0,0)，(0,1,1)②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))(2)已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解∵正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，∴正四棱錐的高為2eq\r(23).以正四棱錐的底面中心O為原點(diǎn)，平行于BC，AB的直線分別為x軸、y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則正四棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2eq\r(23))．答案不唯一．反思感悟(1)建立空間直角坐標(biāo)系的原則①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．②充分利用幾何圖形的對稱性．(2)求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法①垂線法：向坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面作垂線．注意坐標(biāo)符號．②公式法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、重心坐標(biāo)公式求出坐標(biāo)．③方程(組)法：利用向量平行或相等關(guān)系設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組．作MM′垂直于xOy平面，垂足為M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點(diǎn)在z軸上投影的豎坐標(biāo)z，即為M點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，于是得到M點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)正四棱錐S－P1P2P3P4的所有棱長均為2，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解如圖所示，以底面正方形的中心O為原點(diǎn)，平行于P1P2，P1P4的直線分別為x軸、y軸，垂直于底面P1P2P3P4的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)S在z軸上．∵|P1P2|＝2，且P1，P2，P3，P4均在xOy平面內(nèi)，∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)．同理可得P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)．又|SP1|＝2，|OP1|＝eq\r(2)，∴在Rt△SOP1中，|SO|＝eq\r(2)，∴S(0,0，eq\r(2))．(答案不唯一，也可選擇其他的點(diǎn)建系)三、空間點(diǎn)的對稱問題例2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)對稱的點(diǎn)P3的坐標(biāo)．解(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸上的坐標(biāo)不變，在y軸、z軸上的坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(－2，－1，－4)．(2)由點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸上的坐標(biāo)不變，在z軸上的坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐標(biāo)為(6，－3，－12)．反思感悟空間點(diǎn)的對稱問題的解題策略(1)空間點(diǎn)的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．(2)對稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)為P2，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)為P3，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為________．答案(2，－3,1)解析點(diǎn)P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,3,1)，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－2,3,1)，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)是(2，－3,1)．1．知識清單：(1)空間直角坐標(biāo)系的概念．(2)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．(3)空間點(diǎn)的對稱問題．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、類比聯(lián)想．3．常見誤區(qū)：由于對右手系理解有誤而導(dǎo)致建立的坐標(biāo)系不符合要求．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,3，－5)關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)答案B2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－1，－2，－3)到y(tǒng)Oz平面的距離是()A．1B．2C．3D.eq\r(14)答案A解析點(diǎn)到y(tǒng)Oz平面的距離就是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值．3.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面為正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，點(diǎn)E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B，C，E，A1的坐標(biāo)分別為_________